Լագրանժյան մեխանիկա

Ժոզեֆ-Լուի Լագրանժ (1736–1813)

Ֆիզիկայում Լագրանժյան մեխանիկան դասական մեխանիկայի այլընտրանքային ձևակերպումն է՝ հիմնված դ'Ալամբերի վիրտուալ աշխատանքի սկզբունքի վրա: Այն ներկայացվել է իտալա-ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Ժոզեֆ-Լուի Լագրանժի կողմից 1760 թվականին Թուրինի գիտությունների ակադեմիայում ունեցած իր ներկայացման ժամանակ, հետագայում իր գագաթնակետին է հասնելով նրա՝ 1788 թվականի «Անալիտիկ մեխանիկա» մեծ աշխատությունում: Լագրանժի մոտեցումը էապես պարզեցնում է մեխանիկայի բազմաթիվ խնդիրների վերլուծությունը և հսկայական ազդեցություն է ունեցել ֆիզիկայի այլ ճյուղերի՝ հարաբերականության տեսության և քվանտային դաշտի տեսության զարգացման վրա:

Լագրանժիան մեխանիկան նկարագրում է մեխանիկական համակարգը որպես զույգ (M,L) ՝բաղկացած M կոնֆիգուրացիոն տարածությունից և L անընդհատ ֆունկցիայից, որը այդ տարածության մեջկոչվում է Լագրանժյան ։ Բազմաթիվ համակարգերի համար L = T − V, որտեղ T-ն և V-ն համապատասխանաբար համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաներն են։

Համաձայն փոքրագույն գործողության սկզբունքի, համակարգը, որը նկարագրվում է L Լագրանժի ֆունկցիայով,կատարում է այնպիսի շարժում,որ գործողությանը լինի էքստրեմումի կետում (մասնավորապես՝ մաքսիմումի, մինիմումի կամ թամբի կետում) համակարգի շարժման ողջ ընթացքում։ Նման ձևակերպումը թույլ է տալիս դուրս բերել մեխանիկական համակարգի շարժման հավասարումները, որոնք հայտնի են որպես Լագրանժի հավասարումներ։

Ներածություն

Գնդիկը առանց շփման շարժվում է մետաղալարի վրայով։ Մետաղալարը հակազդեցության C ուժով ազդում է գնդիկի վրա՝ այն պահելով մետաղալարի վրա։ Այս դեպքում ոչ սահմանափակող ուժ N-ը ձգողականությունն է։ Ուշադրություն դարձրեք, որ գնդիկի սկզբնական դիրքը մետաղալարի վրա կարող է հանգեցնել տարբեր շարժումների։

Պարզ ճոճանակ։ Քանի որ ձողը կոշտ է, գլանի դիրքը սահմանափակված է f(x, y) = 0 հավասարմամբ, սահմանափակող ուժ C-ն ձողի լարվածությունն է։ Այս դեպքում կրկին ոչ սահմանափակող ուժ N-ը ձգողականությունն է։

Լագրանժյան

Ուժերի փոխարեն, Լագրանյան մեխանիկայում օգտագործվում են համակարգի էներգիաները: Լագրանժյան մեխանիկայի հիմանական հասկացություններից մեկը Լագրանժիանն է, որը ֆունկցիա է, որը նկարագրում է ամբողջ մեխանիկական համակարգի վիճակը: Ընդհանուր առմամբ, Լագրանժիանն ունի էներգիայի չափողականություն, սակայն դրա տեսքը կախված է հաշվարկման համակարգի և անկախ փոփոխականների ընտրությունից: Ցանկացած ֆունկցիա, որը ֆիզիկական օրենքներին համապատասխանելով առաջ է քաշում շարժման ճիշտ հավասարումներ, կարող է ընդունվել որպես Լագրանժիան: Այնուամենայնիվ, դեպքերի մեծ մասի համար կարելի է կատարել որոշակի դատողություններ Լագրանժի ֆունկիայի մասին: Մասնիկների համակարգի Լագրանժիանն, հարաբերականության տեսության սահմաններից դուրս, էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայության դեպքում տրվում է -ով: $$L=T-V,$$ որտեղ $$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$$ -ն համակարգի լրիվ կինետիկ էներգիան է, որը հավասար է $N$ մասնիկներից կազմված համակարգի կինետիկ էներգիաների Σ գումարին։ Յուրաքանչյուր մասնիկ նշված է $k$ ինդեքսով, ունի $m_{k}$ զանգված և v_k² = v_k · v_k արագություն, որը նրա արագության քառակուսի մեծությունն է, որը հավասար է իր արագության իր իսկ հետ կազմած սկալյար արտադրյալին ։

T Կինետիկ էներգիան համակարգի շարժման էներգիան է, որը կախված է միայն v _k արագություններից, այն կախված չէ ոչ r _k շառավիղ վեկտորներից, ոչ էլ t ժամանակից, ուստի T = T(v₁, v₂, ...).

Համակարգի պոտենցիալ էներգիան՝ V-ն,համակարգի այլ մասնիկների ինչպես նաև արտաքին ուժերի և տրված մասնիկի փոխազդեցության չափն է։ Պահպանողական(Կոնսերվատիվ) ուժերի համար (օրինակ՝ Նյուտոնյան ձգողականություն ուժերի ) այն ֆունկցիա է միայն մասնիկների կոորդինատներից, ուստի V = V(r₁, r₂, ...). Մինչդեռ ոչ պահպանողական ուժերի համար, որոնք կարող են ծագել համապատասխան պոտենցիալից (օրինակ՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի պոտենցիալ ), պոտենցիալ էներգիան կախված կլինի նաև ընդհանրացված արագություններից V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ...). Եթե կա որևէ արտաքին դաշտ կամ արտաքին դաշտում տրված ուժ, որը տրված է որպես ֆունկցիա ժամանակից, պոտենցիալ էներգիան կախված է նաև ժամանակից, ուստի դեպքերի մեծամասնությունում V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ..., t).

Հղումներ

• Lagrange, J. L. (1811). Mécanique analytique. Vol. 1.
• Lagrange, J. L. (1815). Mécanique analytique. Vol. 2.
• Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976 թ․ հունվարի 15). Mechanics (3rd ed.). Butterworth Heinemann. էջ 134. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1975). The Classical Theory of Fields. Elsevier Ltd. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Hand, L. N.; Finch, J. D. (1998). Analytical Mechanics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
• Saletan, E. J.; José, J. V. (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0.
• Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. էջ 236. ISBN 978-1-86094-435-2.
• Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
• Lanczos, Cornelius (1986). «II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method». The variational principles of mechanics (Reprint of University of Toronto 1970 4th ed.). Courier Dover. էջ 43. ISBN 0-486-65067-7.
• Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. էջեր 53–57. ISBN 978-0-486-43261-8.
• The Principle of Least Action, R. Feynman
• Dvorak, R.; Freistetter, Florian (2005). «§ 3.2 Lagrange equations of the first kind». Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser. էջ 24. ISBN 3-540-28208-4.
• Haken, H (2006). Information and self-organization (3rd ed.). Springer. էջ 61. ISBN 3-540-33021-6.
• Henry Zatzkis (1960). «§1.4 Lagrange equations of the second kind». In DH Menzel (ed.). Fundamental formulas of physics. Vol. 1 (2nd ed.). Courier Dover. էջ 160. ISBN 0-486-60595-7.
• Hildebrand, Francis Begnaud (1992). Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd ed.). Courier Dover. էջ 156. ISBN 0-486-67002-3.
• Zak, Michail; Zbilut, Joseph P.; Meyers, Ronald E. (1997). From instability to intelligence. Springer. էջ 202. ISBN 3-540-63055-4.
• Shabana, Ahmed A. (2008). Computational continuum mechanics. Cambridge University Press. էջեր 118–119. ISBN 978-0-521-88569-0.
• Taylor, John Robert (2005). Classical mechanics. University Science Books. էջ 297. ISBN 1-891389-22-X.
• Padmanabhan, Thanu (2000). «§2.3.2 Motion in a rotating frame». Theoretical Astrophysics: Astrophysical processes (3rd ed.). Cambridge University Press. էջ 48. ISBN 0-521-56632-0.
• Doughty, Noel A. (1990). Lagrangian Interaction. Addison-Wesley Publishers Ltd. ISBN 0-201-41625-5.
• Kosyakov, B. P. (2007). Introduction to the classical theory of particles and fields. Berlin, Germany: Springer. doi:10.1007/978-3-540-40934-2. ISBN 978-3-540-40933-5.
• Galley, Chad R. (2013). «Classical Mechanics of Nonconservative Systems». Physical Review Letters. 110 (17) 174301. arXiv:1210.2745. Bibcode:2013PhRvL.110q4301G. doi:10.1103/PhysRevLett.110.174301. PMID 23679733. S2CID 14591873.
• Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2014). «Radiation reaction at the level of the action». International Journal of Modern Physics A. 29 (24): 1450132–1450190. arXiv:1402.2610. Bibcode:2014IJMPA..2950132B. doi:10.1142/S0217751X14501322. S2CID 118541484.
• Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2013). «Theory of post-Newtonian radiation and reaction». Physical Review D. 88 (10) 104037. arXiv:1305.6930. Bibcode:2013PhRvD..88j4037B. doi:10.1103/PhysRevD.88.104037. S2CID 119170985.
• Roger F Gans (2013). Engineering Dynamics: From the Lagrangian to Simulation. New York: Springer. ISBN 978-1-4614-3929-5.
• Gannon, Terry (2006). Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics. Cambridge University Press. էջ 267. ISBN 0-521-83531-3.
• Torby, Bruce (1984). «Energy Methods». Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
• Foster, J; Nightingale, J.D. (1995). A Short Course in General Relativity (2nd ed.). Springer. ISBN 0-03-063366-4.
• M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. էջեր 79–80. ISBN 978-0-521-82951-9.
• Synge, J.L.; Schild, A. (1949). Tensor Calculus. first Dover Publications 1978 edition. ISBN 978-0-486-63612-2.
• Kay, David (1988 թ․ ապրիլ). Schaum's Outline of Tensor Calculus (անգլերեն). McGraw Hill Professional. ISBN 978-0-07-033484-7.