Ժամանակակից պորտֆելի տեսություն

Ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը ենթադրում է, որ բաժնետոմսերի և այլ ակտիվների դասերի (օրինակ՝ կորպորատիվ պարտատոմսերի, գանձապետական պարտատոմսերի կամ դրամական շուկայի ֆոնդերի պարտքը) դիվերսիֆիկացված պորտֆելը կապահովի ավելի կանխատեսելի եկամուտ, եթե լինի խելամիտ շուկայական կարգավորում։

Ժամանակակից պորտֆելի տեսություն ((MPT), կամ միջին-տարբերակային վերլուծություն), մաթեմատիկական շրջանակ է ակտիվների պորտֆել կազմելու համար, որպեսզի ակնկալվող եկամտաբերությունը առավելագույնի հասցվի տվյալ ռիսկի մակարդակի համար: Այն ներդրումների մեջ դիվերսիֆիկացիայի ձևականացում և ընդլայնում է, այն գաղափարը, որ տարբեր տեսակի ֆինանսական ակտիվներ ունենալը պակաս ռիսկային է, քան միայն մեկ տեսակի ունենալը: Դրա հիմնական հասկացողությունն այն է, որ ակտիվի ռիսկն ու եկամտաբերությունը չպետք է գնահատվեն առանձին վերցրած, այլ նրանով, թե ինչպես է այն նպաստում պորտֆելի ընդհանուր ռիսկին և եկամտաբերությանը: Եկամտի դիսպերսիան (կամ դրա փոխակերպումը, ստանդարտ շեղումը) օգտագործվում է որպես ռիսկի չափանիշ, քանի որ այն կառավարելի է, երբ ակտիվները միավորվում են պորտֆելներում։ Հաճախ եկամտաբերության պատմական դիսպերսիան և կովարիացիան օգտագործվում են որպես այս մեծությունների ապագա տարբերակների փոխարինող, բայց հասանելի են այլ, ավելի բարդ մեթոդներ։

Տնտեսագետ Հարրի Մարկովիցը 1952 թվականի իր հոդվածում ավելի կոնկրետ ներկայացրել է MPT-ն կամ միջին շեղման համակարգը, որի համար հետագայում նա արժանացել է տնտեսագիտության Նոբելյան մրցանակի։

1940 թվականին Բրունո դե Ֆինետտին հրապարակեց միջին-տարբերակային վերլուծության մեթոդը՝ համամասնական վերաապահովագրության համատեքստում, ավելի ուժեղ ենթադրության ներքո: Հետագա աշխատանքները կապեցին պորտֆելի ռիսկը և սպասվող եկամտաբերությունը հավասարակշռության պայմաններում ակտիվների գնագոյացման հետ: Հոդվածը անհայտ էր և անգլիախոս աշխարհի տնտեսագետներին հայտնի դարձավ միայն 2006 թվականին։

Մաթեմատիկական մոդել

Ռիսկի և սպասվող եկամտաբերության վերլուծություն

Ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը (ԺՊՏ) ենթադրում է, որ ռիսկից խուսափող ներդրողները կընդունեն ավելի բարձր անկայունություն միայն այն դեպքում, եթե այն փոխհատուցվի ավելի բարձր սպասվող եկամտաբերությամբ։ Առանձին ակտիվի եկամտաբերությունը $R_{i}$ սահմանվում է որպես ընդհանուր զուտ եկամտաբերություն։

Կախված ակտիվի դասից, եկամտի բաղադրիչը $D_{t}$ և գինը $P$ սահմանվում են մասնավորապես՝

• Բաժնետոմսերի համար՝ $D_{t}$ ներկայացնում է շահաբաժիններ։
• Պարտատոմսերի համար՝ $D_{t}$ ներկայացնում է կտրոնների վճարումները, իսկ գները՝ $P$ դիտարկվում են որպես կեղտոտ գներ (մաքուր գին + կուտակված տոկոսներ) $S=K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}$ )։

Ընդհանուր զուտ եկամտաբերության հաշվարկ

Բաղադրիչ	Բանաձև
Ընդհանուր զուտ եկամտաբերություն ( $R_{i}$ )	$R_{i}={\frac {(P_{t}+S_{t}-C_{sale})-(P_{t-1}+S_{t-1}+C_{buy})+D_{t}}{P_{t-1}+S_{t-1}+C_{buy}}}$

Փոփոխականների սահմանումը (բանաձևի հերթականությամբ)

Իրատեսական զուտ կատարողականը արտացոլելու համար եկամտաբերության բանաձևի բաղադրիչները սահմանվում են հետևյալ կերպ.

• $P$ (Շուկայական գին): Ակտիվի գնանշված գինը ժամանակաշրջանի վերջում ( $P_{t}$ ) և սկիզբը ( $P_{t-1}$ )։
• $S$ (Կուտակված տոկոս): Հաշվարկվում է որպես $K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}$, որտեղ $K$ անվանական արժեքն է, $f$ կտրոնի տոկոսադրույքն է, և $A/D$ օրերի քանակի մասնաբաժինն է։
• $C_{sale}$ / $C_{buy}$ (Գործարքի ծախսեր): Ներառում է միջնորդավճարներ, փոխանակման վճարներ, ֆինանսական գործարքների հարկեր և պահպանման վճարներ, որոնք համամասնորեն բաշխվում են պահպանման ժամանակահատվածի ընթացքում։
• $D_{t}$ (Բաշխումներ). Պարբերական եկամտի համընդհանուր խորհրդանիշ, ինչպիսիք են բաժնետոմսերի դիվիդենտները կամ պարտատոմսերի կտրոնների վճարումները:

Պորտֆելի ռիսկի և եկամտաբերության չափանիշներ

Բարդություն	Ակնկալվող եկամտաբերություն $\operatorname {E} (R_{p})$	Տարբերություն (ռիսկ) $\sigma _{p}^{2}$
Մեկ ակտիվ	$\operatorname {E} (R_{A})$	$\sigma _{A}^{2}$
Երկու ակտիվ	$w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})$	$\underbrace {w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}} _{\text{Variance Component}}+\underbrace {2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}} _{\text{Correlation Component}}$
Երեք ակտիվ	$\sum _{i=A}^{C}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})$	$\underbrace {\sum w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}} _{\text{Variance}}+\underbrace {2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{BC}} _{\text{Pairwise Covariances}}$
N ակտիվ	$\mathbf {w} ^{\intercal }{\boldsymbol {\mu }}$	$\mathbf {w} ^{\intercal }\Sigma \mathbf {w}$

Գործնական կիրառություն. պարտատոմսեր ընդդեմ բաժնետոմսերի

Մինչդեռ MPT-ի մաթեմատիկական կառուցվածքը նույնական է բոլոր ակտիվների համար, հաշվարկը $R_{i}$ պարտատոմսերի համար պետք է հաշվի առնվեն «pull-to-par» էֆեկտը և օրերի հաշվարկի կոնվենցիաները։ Սա ապահովում է, որ պորտֆելի կշիռները $w_{i}$ արտացոլում են բաժնետոմսերի իրական արդար շուկայական արժեքը (կեղտոտ գինը) ցանկացած պահի $t$-ն։

Դիվերսիֆիկացում

Ներդրողը կարող է նվազեցնել պորտֆելի ռիսկը (մասնավորապես՝ պորտֆելի ստանդարտ շեղումը) $\sigma _{p}$ )՝ պահպանելով գործիքների համակցություններ, որոնք կատարյալ դրականորեն չեն կապված ($\rho _{ij}<1$)։ Սա տեղի է ունենում, քանի որ դիվերսիֆիկացված պորտֆելի դիսպերսիան ավելի շատ կախված է ակտիվների միջև կովարիացիայից, քան ակտիվների առանձին դիսպերսիաներից։

Կոռելյացիայի ազդեցությունը ռիսկ-եկամտաբերություն պրոֆիլի վրա. Քանի որ կոռելյացիան ($\rho$) նվազում է, դիվերսիֆիկացիայի օգուտը մեծանում է, ինչը թույլ է տալիս ավելի ցածր ռիսկ ունենալ եկամտաբերության նույն մակարդակի դեպքում։

Կոռելյացիայի ազդեցությունը պորտֆելի ռիսկի վրա

Համակցման սցենար	Մաթեմատիկական արդյունք	Ռիսկի հետևանքներ
Կատարյալ դրական ( $\rho _{ij}=1$ )	$\sigma _{p}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{i}$	Ռիսկի նվազեցում չկա. Ռիսկը պարզապես անհատական անկայունությունների կշռված միջինն է։
Զրոյական կորելյացիա ( $\rho _{ij}=0$ )	$\sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}$	Իդիոսինկրատիկ ռիսկի վերացում. որպես $n\to \infty$, պորտֆելի դիսպերսիան մոտենում է զրոյի։
Մասնակի համադրություն ( $0<\rho <1$ )	$\sigma _{p}<\sum w_{i}\sigma _{i}$	Դիվերսիֆիկացիայի օգուտ. Ապահովում է «անվճար ճաշ»՝ նվազեցնելով ռիսկը՝ առանց զոհաբերելու եկամտաբերությունը։

Իրականում, ակտիվների մեծ մասը կապված է $0<\rho <1$ Մարկովիցը ապացուցեց, որ քանի դեռ $\rho <1$, պորտֆելի ստանդարտ շեղումը միշտ փոքր կլինի առանձին ակտիվների ստանդարտ շեղումների կշռված միջինից, այդպիսով ստեղծելով ռիսկի նվազեցման «անվճար ճաշ»՝ առանց պարտադիր կերպով զոհաբերելու սպասվող եկամտաբերությունը։

Արդյունավետ սահման՝ առանց ռիսկերից զերծ ակտիվի

Արդյունավետ սահման։ Հիպերբոլան երբեմն անվանում են «Մարկովիցի գնդակ» և արդյունավետ սահմանն է, եթե ռիսկերից զերծ ակտիվ չկա։ Ռիսկային ակտիվի դեպքում ուղիղ գիծը արդյունավետ սահմանն է։

MPT-ն միջին-տարբերակային տեսություն է, և այն համեմատում է պորտֆելի սպասվող (միջին) եկամտաբերությունը նույն պորտֆելի ստանդարտ շեղման հետ: Նկարը ցույց է տալիս սպասվող եկամտաբերությունը ուղղահայաց առանցքի վրա և ստանդարտ շեղումը՝ հորիզոնական առանցքի վրա (անկայունություն): Անկայունությունը նկարագրվում է ստանդարտ շեղմամբ և ծառայում է որպես ռիսկի չափանիշ։

'return - standard deviation space'-ը երբեմն անվանում են «ակնկալվող եկամտաբերության և ռիսկի» տարածություն: Ռիսկային ակտիվների յուրաքանչյուր հնարավոր համադրություն կարող է գծագրվել այս ռիսկ-ակնկալվող եկամտաբերության տարածքում, և բոլոր այդպիսի հնարավոր պորտֆելների հավաքածուն սահմանում է այս տարածության մի տարածաշրջան:

Այս տարածքի ձախ սահմանը հիպերբոլիկ է, և հիպերբոլիկ սահմանի վերին մասը արդյունավետ սահմանն է ռիսկային ակտիվի բացակայության դեպքում (երբեմն կոչվում է «Մարկովիցի գնդակ»): Այս վերին եզրի երկայնքով համակցությունները ներկայացնում են պորտֆելներ (ներառյալ ռիսկային ակտիվի բացակայությունը), որոնց համար սպասվող եկամտաբերության տրված մակարդակի համար կա ամենացածր ռիսկը: Համարժեքորեն, արդյունավետ սահմանի վրա գտնվող պորտֆելը ներկայացնում է այն համակցությունը, որն առաջարկում է տվյալ ռիսկի մակարդակի համար լավագույն հնարավոր եկամտաբերությունը: Հիպերբոլիկ սահմանի վերին մասի շոշափողը կապիտալի բաշխման գիծն է (CAL): Հիպերբոլայի գագաթնակետը ներկայացնում է գլոբալ նվազագույն շեղման պորտֆելը (GMVP), որը ռիսկային ակտիվների բոլոր համակցությունների մեջ ամենացածր հնարավոր ռիսկ ունեցող պորտֆելն է:

Մատրիցները նախընտրելի են արդյունավետ սահմանի (efficient frontier) հաշվարկների համար։

Մատրիցային ձևով, տրված «ռիսկի հանդուրժողականության»

q∈[0,∞)

դեպքում արդյունավետ սահմանը գտնվում է հետևյալ արտահայտության մինիմալացման միջոցով․

$w^{T}\Sigma w-qR^{T}w$

որտեղ՝

• $w\in \mathbb {R} ^{N}$ պորտֆելի կշիռների վեկտորն է, և $\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.$ (կշիռները կարող են նաև բացասական լինել)
• $\Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}$ պորտֆելում գտնվող ակտիվների եկամտաբերությունների կովարիացիոն մատրիցն է,
• $q\geq 0$ «ռիսկի հանդուրժողականության» գործոնն է, որտեղ 0-ը տալիս է նվազագույն ռիսկ ունեցող պորտֆելը, իսկ ∞-ն տալիս է սահմանի այնպիսի կետ, որտեղ և՛ սպասվող եկամուտը, և՛ ռիսկը անսահմանափակ են,
• $R\in \mathbb {R} ^{N}$ սպասվող եկամուտների վեկտորն է։
• $w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R}$ պորտֆելի եկամտաբերության դիսպերսիան է։
• $R^{T}w\in \mathbb {R}$ պորտֆելի սպասվող եկամուտն է։

Վերոնշյալ օպտիմալացումը գտնում է սահմանի այն կետը, որտեղ սահմանի թեքության հակադարձ մեծությունը հավասար կլիներ q-ի, եթե հորիզոնական առանցքի վրա պատկերվեր ոչ թե ստանդարտ շեղումը, այլ պորտֆելի եկամտաբերության դիսպերսիան։ Սահմանն ամբողջությամբ պարամետրական է q-ի նկատմամբ։

Harry Markowitz մշակել է վերոնշյալ խնդրի լուծման հատուկ մեթոդ, որը կոչվում է critical line algorithm։ Այն կարող է աշխատել հավելյալ գծային սահմանափակումների, ակտիվների վերին և ստորին սահմանների հետ և ապացուցված է, որ գործում է նաև կիսադրական որոշակի (semi-positive definite) կովարիացիոն մատրիցների դեպքում։

Critical line algorithm-ի իրականացումներ գոյություն ունեն Visual Basic for Applications-ում, JavaScript-ում և մի շարք այլ ծրագրավորման լեզուներում։

Բացի այդ, բազմաթիվ ծրագրային փաթեթներ, ներառյալ MATLAB, Microsoft Excel, Mathematica և R, տրամադրում են ընդհանուր օպտիմալացման գործիքներ, ուստի դրանց միջոցով նույնպես հնարավոր է լուծել վերոնշյալ խնդիրը, թեև կարող են առաջանալ որոշ խնդիրներ (օրինակ՝ թույլ թվային ճշգրտություն կամ կովարիացիոն մատրիցի դրական որոշակիության պահանջ)։

Արդյունավետ սահմանը սահմանելու այլընտրանքային մոտեցում է այն պարամետրական ձևով ներկայացնել ըստ պորտֆելի սպասվող եկամտի՝

$w^{T}\Sigma w$

այն պայմաններով, որ․

$R^{T}w=\mu$

և

$\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1$

որտեղ μ-ն պարամետր է։ Այս խնդիրը հեշտությամբ լուծվում է Լագրանժի բազմապատկիչների մեթոդով, որը բերում է հետևյալ գծային հավասարումների համակարգին․

${\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}$

Երկու փոխադարձ ֆոնդերի թեորեմ

Մարկովիցի վերլուծության հիմնարար արդյունքը երկու փոխադարձ ֆոնդերի թեորեմն է (հայտնի է նաև որպես բաժանման թեորեմ)։ Այս թեորեմը մաթեմատիկորեն նշում է, որ արդյունավետ սահմանի վրա գտնվող ցանկացած պորտֆել կարող է կառուցվել որպես սահմանի վրա արդեն գտնվող ցանկացած երկու տարբեր պորտֆելների գծային համադրություն:

Մաթեմատիկորեն, եթե $P_{1}$ և $P_{2}$ երկու արդյունավետ պորտֆելներ են, ապա ցանկացած երրորդ արդյունավետ պորտֆել $P_{target}$ կարող է արտահայտվել որպես՝

$$P_{target}=\alpha P_{1}+(1-\alpha )P_{2}$$where $\alpha$ is the weighting factor. Because the underlying assets in $P_{1}$ and $P_{2}$ are valued based on their Total Net Return (including capital gains, dividends, and interest, net of transaction costs), the resulting combination $P_{target}$ inherently accounts for all income streams and expenses.

Սա ենթադրում է, որ ռիսկից զերծ ակտիվի բացակայության դեպքում ներդրողը կարող է հասնել ռիսկ-եկամտաբերության ցանկացած օպտիմալ պրոֆիլի՝ օգտագործելով միայն երկու «փոխադարձ ֆոնդեր» (հիմնական պորտֆելներ): Կազմը կախված է երկու ֆոնդերի նկատմամբ նպատակային տեղակայումից.

• Երկար դիրքեր ($0<\alpha <1$): Եթե թիրախային պորտֆելը $P_{target}$ գտնվում է սահմանային հատվածի միջև $P_{1}$ և $P_{2}$, ներդրողը դրական կոտորակ է հատկացնում $\alpha$ դեպի Հիմնադրամ 1 և $1-\alpha$ դեպի Ֆինանսավորում 2: Փոխառություն կամ կարճ վաճառք չի պահանջվում:
• Կարճ վաճառք և լծակ. Եթե նպատակը գտնվում է սահմանային կորի վրա, բայց երկու ֆոնդերի միջև ընկած հատվածից դուրս, ներդրողը պետք է օգտագործի կարճ վաճառք .
  • Կարճաժամկետ ֆոնդ 2 ($\alpha >1$): Երկուսից էլ բարձր եկամտաբերություն ստանալու համար $P_{1}$ և $P_{2}$ (ենթադրելով $E(R_{1})>E(R_{2})$), ներդրողը կարճ ժամանակով վաճառում է 2-րդ ֆոնդը (բացասական կշիռ) և իր կապիտալի ավելի քան 100%-ը ներդնում է 1-ին ֆոնդում։
  • Կարճաժամկետ ֆոնդ 1 ($\alpha <0$) Երկու ֆոնդերից էլ ցածր եկամտաբերություն ստանալու համար (կամ ժամանակահատվածից այն կողմ ռիսկը նվազագույնի հասցնելու համար) , ներդրողը կարճ ժամանակով վաճառում է 1-ին ֆոնդը և ստացված եկամուտը ներդնում է 2-րդ ֆոնդում։

Այս թեորեմը կարևոր է, քանի որ այն պարզեցնում է բարդ օպտիմալացման խնդիրը. սահմանը որոշելուց հետո ներդրողը այլևս կարիք չունի վերլուծելու յուրաքանչյուր առանձին ակտիվ (բաժնետոմսեր, պարտատոմսեր և այլն), այլ պարզապես պետք է ընտրի երկու սահմանային պորտֆելների ճիշտ համադրությունը՝ իր ռիսկի նկատմամբ հանդուրժողականությունը բավարարելու համար։

Ռիսկ չպարունակող ակտիվ և կապիտալի բաշխման գիծ

Ռիսկ չպարունակող ակտիվը տեսական ակտիվ է, որը վճարում է դետերմինիստական ռիսկ չպարունակող տոկոսադրույք։ Գործնականում, կարճաժամկետ պետական արժեթղթերը, ինչպիսիք են ԱՄՆ գանձապետական պարտատոմսերը, ծառայում են որպես ռիսկ չպարունակող ակտիվի փոխարինող՝ իրենց ֆիքսված տոկոսադրույքների և աննշան չվճարման ռիսկի շնորհիվ։ Ըստ սահմանման, ռիսկ չպարունակող ակտիվն ունի զրոյական տատանումներ եկամտաբերության մեջ, եթե պահվում է մինչև մարման ժամկետը, և մնում է անկապ որևէ ռիսկային ակտիվի կամ պորտֆելի հետ։ Հետևաբար, երբ այն համակցվում է ռիսկային պորտֆելի հետ, սպասվող եկամտաբերության արդյունքում առաջացող փոփոխությունը գծայինորեն կապված է ռիսկի փոփոխության հետ, քանի որ բաշխման համամասնությունները փոխվում են։

Ռիսկ չպարունակող ակտիվի ներդրումը արդյունավետ սահմանը վերափոխում է գծային կիսագծային շոշափողի Մարկովիցի կետի՝ ամենաբարձր Շարփի հարաբերակցություն ունեցող պորտֆելի մոտ։ Այս գծի ուղղահայաց հատման կետը ներկայացնում է պորտֆել, որը 100%-ով բաշխված է ռիսկ չպարունակող ակտիվին։ $R_{F}$ շփման կետը նշանակում է պորտֆել, որի 100% ներդրումը ռիսկային ակտիվներում է, մինչդեռ հատման կետի և շփման կետի միջև ընկած հատվածները ներկայացնում են վարկային պորտֆելներ (երկարաժամկետ $R_{F}$ )։ Շփման կետից այն կողմ ձգվող կետերը ներկայացնում են փոխառությունների պորտֆելներ, որտեղ ներդրողը օգտագործում է ռիսկային շփման պորտֆելը ռիսկային ակտիվը կարճ գներով վաճառելով։ Այս արդյունավետ դիրքը սահմանվում է որպես կապիտալի բաշխման գիծ (ԿԲԳ), որը արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝

Կապիտալի բաշխման գծի (CAL) բանաձևը

Բաղադրիչ	Հավասարում
Ակնկալվող եկամտաբերություն ($E(R_{C})$)	$E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}$

Այս համատեքստում P-ն ներկայացնում է ռիսկային ակտիվների շոշափելի պորտֆելը, F-ը ՝ ռիսկից զերծ ակտիվը, իսկ C-ն ՝ համակցված պորտֆելը։ Ներածություն $R_{F}$ բարելավում է ներդրումային հնարավորությունների շրջանակը, քանի որ CAL-ը ապահովում է ավելի բարձր սպասվող եկամտաբերություն ռիսկի յուրաքանչյուր մակարդակի համար՝ համեմատած միայն ռիսկային հիպերբոլայի հետ։ Սկզբունքը, որ բոլոր ներդրողները կարող են հասնել իրենց օպտիմալ ռիսկ-եկամտաբերության պրոֆիլին՝ օգտագործելով միայն ռիսկազուրկ ակտիվը և մեկ ռիսկային ֆոնդ, հայտնի է որպես փոխադարձ ֆոնդերի բաժանման թեորեմ, մասնավորապես՝ մեկ ֆոնդի թեորեմ։

Երկրաչափական ինտուիցիա

Արդյունավետ սահմանը կարելի է պատկերացնել որպես քառակուսային կորերի խնդիր։ Շուկայում մենք ունենք ակտիվներ $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$։ Մենք ունենք որոշ միջոցներ, և պորտֆելը մեր միջոցները ակտիվների բաժանելու միջոց է: Յուրաքանչյուր պորտֆել կարող է ներկայացվել որպես վեկտոր $w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$, այնպես որ $\sum _{i}w_{i}=1$, և մենք ակտիվները պահում ենք համաձայն $w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}$ .

Մարկովիցի փամփուշտbullet

Էլիպսոիդը հաստատուն դիսպերսիայի ուրվագիծն է։ $x+y+z=1$ Հարթությունը հնարավոր պորտֆելների տարածությունն է։ Մյուս հարթությունը հաստատուն սպասվող եկամտաբերության ուրվագիծն է։ Էլիպսոիդը հատում է հարթությունը՝ ստանալով հաստատուն դիսպերսիայով պորտֆելների էլիպս։ Այս էլիպսի վրա առավելագույն (կամ նվազագույն) սպասվող եկամտաբերության կետը այն կետն է, որտեղ այն շոշափում է հաստատուն սպասվող եկամտաբերության ուրվագիծը։ Այս բոլոր պորտֆելները ընկնում են մեկ գծի վրա։

Քանի որ մենք ցանկանում ենք առավելագույնի հասցնել սպասվող եկամտաբերությունը՝ միաժամանակ նվազագույնի հասցնելով եկամտաբերության ստանդարտ շեղումը, մենք պետք է լուծենք քառակուսային օպտիմալացման խնդիր՝ $${\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}$$ Պորտֆելները կետեր են Էվկլիդեսյան տարածության մեջ $\mathbb {R} ^{n}$ Երրորդ հավասարումը նշում է, որ պորտֆելը պետք է գտնվի սահմանված հարթության վրա՝ $\sum _{i}w_{i}=1$ Առաջին հավասարումը նշում է, որ պորտֆելը պետք է գտնվի սահմանված հարթության վրա՝ $w^{T}E[R]=\mu$ Երկրորդ պայմանը նշում է, որ պորտֆելը պետք է ընկնի ուրվագծային մակերեսի վրա $\sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}$ որը հնարավորինս մոտ է սկզբնակետին։ Քանի որ հավասարումը քառակուսային է, յուրաքանչյուր նման կոնտուրային մակերես էլիպսոիդ է (ենթադրելով, որ կովարիացիոն մատրիցը $\rho _{ij}$ շրջելի է): Հետևաբար, մենք կարող ենք լուծել քառակուսային օպտիմալացումը գրաֆիկորեն՝ հարթության վրա գծելով էլիպսոիդային ուրվագծեր: $\sum _{i}w_{i}=1$, ապա հատեք ուրվագծերը հարթության հետ $\{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}$ Քանի որ էլիպսոիդային ուրվագծերը կծկվում են, ի վերջո դրանցից մեկը կդառնա հարթությանը ճիշտ շոշափող, նախքան ուրվագծերը լիովին անջատվեն հարթությունից։ Շոշափող կետը օպտիմալ պորտֆելն է սպասվող եկամտաբերության այս մակարդակում։

Ինչպես մենք տարբերվում ենք $\mu$, շոշափող կետը նույնպես փոփոխվում է, բայց միշտ ընկնում է մեկ գծի վրա (սա երկու փոխադարձ ֆոնդերի թեորեմն է):

Թող գիծը պարամետրացված լինի որպես $\{w+w't:t\in \mathbb {R} \}$ Մենք գտնում ենք, որ գծի երկայնքով, $${\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}$$ հիպերբոլ տալը $(\sigma ,\mu )$ հարթություն։ Հիպերբոլան ունի երկու ճյուղ, որոնք սիմետրիկ են $\mu$ առանցք։ Սակայն, միայն ճյուղը $\sigma >0$ իմաստալից է։ Համաչափության դեպքում հիպերբոլայի երկու ասիմպտոտները հատվում են մի կետում $\mu _{MVP}$ վրա $\mu$ առանցք։ Կետը $\mu _{mid}$ հիպերբոլայի ձախ կետի բարձրությունն է և կարող է մեկնաբանվել որպես գլոբալ նվազագույն վարիացիոն պորտֆելի (գլոբալ MVP) սպասվող եկամտաբերություն։

Շփման պորտֆել

Ռիսկազուրկ ակտիվի եկամտաբերության մակարդակի փոփոխության ազդեցության նկարազարդում: Երբ ռիսկազուրկ եկամտաբերության մակարդակը մոտենում է գլոբալ նվազագույն շեղման պորտֆելի եկամտաբերության մակարդակին, շոշափելի պորտֆելը ձգվում է դեպի անվերջություն: Անիմացիան ներկայացված է աղբյուրում :

Շփոթեցնող պորտֆելը գոյություն ունի միայն և միայն այն դեպքում, եթե $\mu _{RF}<\mu _{MVP}$ .

Մասնավորապես, եթե ռիսկից զերծ եկամտաբերությունը մեծ կամ հավասար է $\mu _{MVP}$, ապա շոշափող պորտֆելը գոյություն չունի ։ Կապիտալի շուկայի գիծը (ԿՇԳ) դառնում է զուգահեռ հիպերբոլայի վերին ասիմպտոտային գծին։ ԿՇԳԳ- ի վրա կետերին հասնելը դառնում է անհնար, չնայած դրանց կարելի է մոտենալ ներքևից։

Սովորաբար ենթադրվում է, որ ռիսկից զերծ եկամտաբերությունը փոքր է գլոբալ MVP-ի եկամտաբերությունից, որպեսզի գոյություն ունենա շոշափելի պորտֆելը։ Սակայն, նույնիսկ այս դեպքում, քանի որ $\mu _{RF}$ մոտեցումներ $\mu _{MVP}$ Ներքևից, շոշափելի պորտֆելը դիվերսացվում է անսահման եկամտաբերությամբ և տատանողականությամբ պորտֆելի։ Քանի որ շուկայում ակտիվների քանակը սահմանափակ է, նման պորտֆելը պետք է որոշ ակտիվների վրա մեծապես կարճաժամկետ գնագոյացում կատարի, մինչդեռ որոշ այլ ակտիվների վրա մեծապես պահանջարկ ունենա։ Գործնականում նման շոշափելի պորտֆել ստեղծելն անհնար կլինի, քանի որ ակտիվի վրա չափազանց կարճաժամկետ գնում չի կարելի անել կարճաժամկետ վաճառքի սահմանափակումների, ինչպես նաև գնի ազդեցության պատճառով, այսինքն՝ ակտիվի մեծ քանակի պահանջարկը կբարձրացնի դրա գինը՝ խախտելով այն ենթադրությունը, որ ակտիվների գները կախված չեն պորտֆելից։

Անշրջելի կովարիացիոն մատրիցա

Եթե կովարիացիոն մատրիցան շրջելի չէ, ապա գոյություն ունի որոշակի ոչ զրոյական վեկտոր $v$, այնպես որ $v^{T}R$ զրոյական դիսպերսիայով պատահական փոփոխական է, այսինքն՝ այն ընդհանրապես պատահական չէ։

Ենթադրենք $\sum _{i}v_{i}=0$ և $v^{T}R=0$, ապա դա նշանակում է, որ ակտիվներից մեկը կարող է ճշգրտորեն վերարտադրվել՝ օգտագործելով մյուս ակտիվները նույն գնով և նույն եկամտաբերությամբ: Հետևաբար, երբեք պատճառ չկա այդ ակտիվը գնելու, և մենք կարող ենք այն հանել շուկայից:

Ենթադրենք $\sum _{i}v_{i}=0$ և $v^{T}R\neq 0$, ապա դա նշանակում է, որ կա անվճար գումար, խախտելով արբիտրաժի բացակայության ենթադրությունը։

Ենթադրենք $\sum _{i}v_{i}\neq 0$, ապա մենք կարող ենք վեկտորը մասշտաբավորել մինչև $\sum _{i}v_{i}=1$ Սա նշանակում է, որ մենք կառուցել ենք ռիսկից զերծ ակտիվ՝ եկամտաբերությամբ։ $v^{T}R$ Մենք կարող ենք շուկայից հեռացնել յուրաքանչյուր նման ակտիվ՝ յուրաքանչյուր հեռացված ակտիվի համար կառուցելով մեկ ռիսկից զերծ ակտիվ։ Արբիտրաժի բացակայության ենթադրության համաձայն՝ բոլորի եկամտաբերության մակարդակները հավասար են։ Շուկայում դեռևս մնացած ակտիվների համար դրանց կովարիացիոն մատրիցը շրջելի է։

Ակտիվների գնագոյացում

Վերոնշյալ վերլուծությունը նկարագրում է անհատ ներդրողի օպտիմալ վարքագիծը: Ակտիվների գնագոյացման տեսությունը հիմնված է այս վերլուծության վրա՝ թույլ տալով MPT-ին ստանալ ճիշտ գնանշված ակտիվի համար անհրաժեշտ սպասվող եկամտաբերությունը այս համատեքստում:

Ինտուիտիվ կերպով, ռացիոնալ ներդրողներով կատարյալ շուկայում, եթե արժեթուղթը թանկ էր մյուսների համեմատ՝ ապահովելով չափազանց մեծ ռիսկ գնի համար, պահանջարկը կնվազեր, և դրա գինը կնվազեր։ Եվ հակառակը, եթե ակտիվը էժան էր, պահանջարկը և գինը կաճեին։ Այս գործընթացը շարունակվում է մինչև շուկան հասնի «շուկայական հավասարակշռության» վիճակի։ Այս հավասարակշռության մեջ հարաբերական առաջարկները հավասար են հարաբերական պահանջարկին։ Քանի որ բոլորը ռիսկային ակտիվները պահում են նույն համամասնություններով (շփման գծի պորտֆել), ռիսկային ակտիվների գները և սպասվող եկամտաբերությունը ճշգրտվում են մինչև շփման գծի պորտֆելի հարաբերակցությունները համապատասխանեն շուկային մատակարարվող ակտիվների հարաբերակցություններին։

Հավասարակշռության պայման (Թրեյնորի հարաբերակցություն)

Concept	Formula	Description
Հավասարակշռության թեքություն	${\frac {E(R_{i})-R_{f}}{\beta _{i}}}=E(R_{M})-R_{f}$	Հավասարակշռության մեջ, համակարգային ռիսկի մեկ միավորի համար ռիսկի պարգևավճարը ( $\beta _{i}$ ) հավասար է բոլոր ակտիվների համար։

Համակարգային ռիսկ և հատուկ ռիսկ

Արժեթղթերի շուկայի գիծը ցույց է տալիս, որ շուկան փոխհատուցում է միայն համակարգային ռիսկը ( $\beta$ Մինչդեռ ընդհանուր ռիսկը ներառում է յուրահատուկ գործոններ, ռիսկի պարգևավճարը որոշվում է բացառապես ակտիվի և ավելի լայն շուկայի կապով։

Համակարգային ռիսկը (հայտնի է նաև որպես շուկայական ռիսկ կամ ոչ դիվերսիֆիկացվող ռիսկ) վերաբերում է տվյալ շուկայում բոլոր արժեթղթերի համար ընդհանուր ռիսկին, որը պայմանավորված է մակրոտնտեսական գործոններով։

• Հատուկ ռիսկը (հայտնի է նաև որպես դիվերսիֆիկացվող, եզակի կամ յուրօրինակ ռիսկ) կապված է առանձին ակտիվների հետ։ Պորտֆելի շրջանակներում այս ռիսկերը կարող են մեղմվել դիվերսիֆիկացիայի միջոցով, քանի որ չկապակցված ակտիվների եզակի գնային տատանումները հակված են չեզոքացնել միմյանց։
• Համակարգային ռիսկը (հայտնի է նաև որպես շուկայական ռիսկ կամ ոչ դիվերսիֆիկացվող ռիսկ) վերաբերում է տվյալ շուկայում բոլոր արժեթղթերի համար ընդհանուր ռիսկին, որը պայմանավորված է մակրոտնտեսական գործոններով։

Քանի որ ռացիոնալ ներդրողները կարող են առանց որևէ ծախսի վերացնել եզակի ռիսկը՝ դիվերսիֆիկացիայի միջոցով, շուկան միայն համակարգված ռիսկ կրելու համար ապահովում է ռիսկի պարգևավճար։ Սա ենթադրում է, որ ակտիվի սպասվող եկամտաբերությունը որոշվում է ոչ թե դրա ընդհանուր շեղումով, այլ մասնավորապես՝ շուկայական պորտֆելի հետ դրա կովարիացիայով։ Հետևաբար, ակտիվի հավասարակշռության գինը պետք է ճշգրտվի մինչև դրա ռիսկի ճշգրտված եկամտաբերությունը համապատասխանի դիագրամում ցույց տրված արժեթղթերի շուկայի գծին։ Այս ենթադրությունների համաձայն, նույն Բետա գործակից ունեցող ակտիվները պետք է առաջարկեն նույն սպասվող եկամտաբերությունը՝ անկախ իրենց անհատական ռիսկի պրոֆիլներից։ Այս հիմնարար տարբերությունը ծառայում է որպես ժամանակակից պորտֆելի կառավարման հիմք, որտեղ նպատակն է օպտիմալացնել պարգևատրվող համակարգված գործոնների ազդեցությունը՝ միաժամանակ չեզոքացնելով չպարգևատրված յուրօրինակ աղմուկը։

Ռիսկի առաջադեմ դեկոմպոզիցիա (մեկ ինդեքսային մոդել)

Բաղադրիչ (Սիմվոլ)	Մաթեմատիկական բանաձև	Նկարագրություն
Ընդհանուր ռիսկ ($\sigma _{i}^{2}$)	$\sigma _{i}^{2}=\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}+\sigma ^{2}(\epsilon _{i})$	Համակարգային և իդիոսինկրատիկ դիսպերսիոն բաղադրիչների գումարը։
Համակարգային բաղադրիչ ($\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}$)	$\underbrace {\left({\frac {\operatorname {Cov} (R_{i},R_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}\right)^{2}} _{\beta _{i}^{2}}\sigma _{M}^{2}$	Ռիսկ, որը պայմանավորված է ակտիվի զգայունությամբ շուկայական շարժերի նկատմամբ (շուկայի դիսպերսիա՝ $\sigma _{M}^{2}$).
Հատուկ բաղադրիչ ($\sigma ^{2}(\epsilon _{i})$)	$\sigma ^{2}(\epsilon _{i})$	Մնացորդային դիսպերսիա (սխալի անդամ՝ $\epsilon _{i}$ ϵi​, որը հատուկ է ընկերությանը․ ռիսկի դիվերսիֆիկացվող մասը)։
Բետա գործոն ($\beta _{i}$)	$\beta _{i}={\frac {\operatorname {Cov} (R_{i},R_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}=\rho _{i,M}{\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{M}}}$	Ակտիվի զգայունությունը շուկայի նկատմամբ (որոշվում է կովարիացիայով՝ $\sigma _{i,M}$ և կորելյացիայով՝ $\rho _{i,M}$)
Համակարգային բաժին ($R^{2}$)	$R^{2}={\frac {\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}$	Որոշման գործակից (ցույց է տալիս ընդհանուր ռիսկի այն տոկոսը, որը համակարգային է)։

Կապիտալ ակտիվների գնագոյացման մոդել

CAPM-ը ( Կորպորատիվ արժեթղթերի շուկայի գծի վերլուծություն) որոշում է ակտիվի համար տեսականորեն պահանջվող սպասվող եկամտաբերությունը՝ հաշվի առնելով ռիսկից զերծ տոկոսադրույքը և շուկայական ռիսկը որպես ամբողջություն: Այն պաշտոնապես սահմանվում է Արժեթղթերի շուկայի գծով (SML):

CAPM հավասարումը (արժեթղթերի շուկայի գիծ)
$$\operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})$$
Variable Description $R_{f}$ Ռիսկ չպարունակող տոկոսադրույք (զրոյական ռիսկ ունեցող ներդրման եկամտաբերություն, ինչպիսիք են բանկային ավանդը կամ կառավարության կողմից ապահովված պարտատոմսը): $\beta _{i}$ (Բետա) Ակտիվների զգայունության չափանիշը ընդհանուր շուկայի նկատմամբ։ Գնահատվել է պատմական տվյալների վրա հիմնված ռեգրեսիոն վերլուծության միջոցով։ $E(R_{m})-R_{f}$ Շուկայական պարգևավճարը (շուկայական պորտֆելի սպասվող ավելցուկային եկամտաբերությունը ռիսկից զերծ տոկոսադրույքի նկատմամբ) $R_{f}$)։

CAPM հավասարման ստացումը

Հետևյալ աղյուսակը ներկայացնում է շուկայական m պորտֆելում a ակտիվի ավելացման սահմանային ազդեցությունը։ Հավասարակշռության դեպքում սահմանային ռիսկի մեկ միավորի համար սպասվող եկամտաբերության սահմանային շահույթը պետք է նույնական լինի բոլոր ակտիվների համար։

Մաթեմատիկական ածանցման քայլեր

Քայլ	Բանաձև	Լոգիկա / Ենթադրություն
1. Սահմանային ռիսկ	$\Delta \sigma _{P}\approx 2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}$	Քաշից ի վեր $w_{a}$ շատ փոքր է, քառակուսային անդամը ( $w_{a}^{2}$ ) անհետանում է։
2. Սահմանային եկամտաբերություն	$\Delta E(R_{P})=w_{a}(E(R_{a})-R_{f})$	The additional return gained by the allocation Բաշխման արդյունքում ստացված լրացուցիչ եկամուտը $w_{a}$ (ռիսկազուրկ տոկոսադրույքի համեմատ) $R_{f}$ $R_{f}$ )։ (relative to the risk-free rate $R_{f}$).
3. Հավասարակշռության հարաբերակցություն	${\frac {w_{a}(E(R_{a})-R_{f})}{2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}}}={\frac {E(R_{m})-R_{f}}{2\sigma _{m}^{2}}}$	Ակտիվից ստացված բարելավումը պետք է համապատասխանի շուկայի շահույթի և ռիսկի հարաբերակցությանը։
4. Լուծում $E(R_{a})$	$E(R_{a})=R_{f}+[E(R_{m})-R_{f}]{\frac {\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}}{\sigma _{m}^{2}}}$	Հանրահաշվական վերադասավորում (սպասվող եկամտաբերության մեկուսացում) $E(R_{a})$ )։
5. Վերջնական բետա ձև	$E(R_{a})=R_{f}+\beta _{a}(E(R_{m})-R_{f})$	Բետայի սահմանումը փոխարինելով ( $\beta _{a}={\frac {\sigma _{am}}{\sigma _{m}^{2}}}$, օգտագործելով կովարիացիայի նույնությունը):

Գնահատում և կիրառում

CAPM հավասարումը գնահատվում է վիճակագրորեն՝ օգտագործելով անվտանգության բնութագրական գիծը (SCL), որը ռեգրեսիա է կատարում բաժնետոմսի ավելցուկային եկամտաբերության նկատմամբ շուկայի ավելցուկային եկամտաբերության նկատմամբ։

SCL հավասարումը (վիճակագրական գնահատական)
$${\text{SCL}}:R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}$$
Variable (Symbol) Description $\alpha _{i}$ (Ալֆա) Աննորմալ եկամտաբերությունը ներկայացնող հատման կետը։ Տեսականորեն, սպասվող ալֆան զրո է ( $\alpha =0$ )։ $\beta _{i}$ (Բետա) Ռեգրեսիայի թեքությունը, որը ներկայացնում է ակտիվի համակարգված ռիսկը։ $R_{i,t},R_{M,t}$ Ակտիվի և շուկայի եկամտաբերությունը որոշակի ժամանակահատվածում ( $t$ )։ $R_{f}$ Ռիսկերից զերծ տոկոսադրույքը (օրինակ՝ բանկային ավանդի կամ պետական պարտատոմսերի եկամտաբերությունը): $\epsilon _{i,t}$ (Սխալի տերմին) Մնացորդային կամ յուրօրինակ եկամտաբերություն (կոնկրետ ռիսկ), որը յուրահատուկ է միայն ընկերությանը։

Երբ անհրաժեշտ սպասվող եկամուտը $E(R_{i})$ հաստատվում է, այն օգտագործվում է որպես զեղչի տոկոսադրույք՝ ակտիվի ներքին արժեքը որոշելու համար՝ հիմնվելով ապագա դրամական հոսքերի (CF) վրա։

Հիմնարար գնահատում (ներկա արժեք)
$${\text{Value}}_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {E(CF_{t})}{(1+E(R_{i}))^{t}}}$$
Փոփոխական (Նշան) Նկարագրություն $Value_{0}$ Տեսական արդար գինը (ներկա արժեք) այսօր։ $E(CF_{t})$ Ժամանակահատվածում սպասվող դրամական հոսքը $t$ . $E(R_{i})$ CAPM-ից ստացված պահանջվող եկամտաբերությունը (զեղչի տոկոսադրույքը): $n$ Ժամանակաշրջանների ընդհանուր քանակը (ժամանակային հորիզոն):

Ակտիվը համարվում է «թերագնահատված», եթե այն հաշվարկված է $Value_{0}$ ավելի բարձր է, քան ընթացիկ շուկայական գնը, և «գերագնահատված» է, եթե գինը գերազանցում է այս ներքին արժեքը։

Քննադատություններ

Չնայած տեսական կարևորությանը, MPT-ի քննադատները կասկածի տակ են դնում, թե արդյոք այն իդեալական ներդրումային գործիք է, քանի որ ֆինանսական շուկաների դրա մոդելը շատ առումներով չի համապատասխանում իրական աշխարհին։

MPT-ի կողմից օգտագործվող ռիսկի, եկամտաբերության և կորելյացիայի չափանիշները հիմնված են սպասվող արժեքների վրա, ինչը նշանակում է, որ դրանք ապագայի վերաբերյալ վիճակագրական հայտարարություններ են (եկամտաբերության սպասվող արժեքը հստակ է վերը նշված հավասարումներում և անուղղակիորեն՝ վարիացիայի և կովարիացիայի սահմանումներում): Նման չափանիշները հաճախ չեն կարող արտացոլել ռիսկի և եկամտաբերության իրական վիճակագրական առանձնահատկությունները, որոնք հաճախ հետևում են խիստ թեքված բաշխումներին (օրինակ՝ լոգարիթմական նորմալ բաշխումը) և կարող են հանգեցնել, բացի անկայունության նվազումից, նաև եկամտաբերության ուռճացված աճի։ Գործնականում ներդրողները պետք է հավասարումներում այս արժեքները փոխարինեն ակտիվների եկամտաբերության և անկայունության պատմական չափումների վրա հիմնված կանխատեսումներով: Շատ հաճախ նման սպասվող արժեքները հաշվի չեն առնում նոր հանգամանքները, որոնք գոյություն չունեին, երբ պատմական տվյալները ստեղծվել են։ Միտումները արտացոլելու օպտիմալ մոտեցումը, որը տարբերվում է Մարկովիցի օպտիմալացումից անփոփոխության հատկությունների օգտագործմամբ, նույնպես ստացվում է ֆիզիկայից: Նորմալացված սպասումները կորելյացիոն մատրիցի հակադարձը օգտագործելով վերափոխելու փոխարեն, անփոփոխ պորտֆելը օգտագործում է կորելյացիոն մատրիցի քառակուսի արմատի հակադարձը։ Օպտիմալացման խնդիրը լուծվում է այն ենթադրության հիման վրա, որ սպասվող արժեքները անորոշ են և փոխկապակցված։ Մարկովիցի լուծումը համապատասխանում է միայն այն դեպքին, երբ սպասվող եկամտաբերությունների միջև փոխկապակցվածությունը նման է եկամտաբերությունների միջև փոխկապակցվածությանը։

Ավելի հիմնարար է այն, որ ներդրողները ստիպված են գնահատել անցյալի շուկայական տվյալներից հիմնական պարամետրերը, քանի որ MPT-ն փորձում է մոդելավորել ռիսկը կորուստների հավանականության տեսանկյունից, բայց ոչինչ չի ասում այն մասին, թե ինչու կարող են այդ կորուստները տեղի ունենալ: Օգտագործվող ռիսկի չափումները բնույթով հավանականային են, այլ ոչ թե կառուցվածքային: Սա էական տարբերություն է ռիսկերի կառավարման շատ ինժեներական մոտեցումների համեմատ:

Տեսությունը և MPT-ն առնվազն մեկ կարևոր գաղափարական տարբերություն ունեն միջուկային էլեկտրակայաններում իրականացվող հավանականական ռիսկերի գնահատման (PRA) հետ։ PRA-ն այն է, ինչ տնտեսագետները կանվանեին կառուցվածքային մոդել (structural model)։ Համակարգի բաղադրիչները և դրանց փոխհարաբերությունները մոդելավորվում են Մոնտե Կառլոյի սիմուլյացիաների միջոցով։ Եթե X փականը խափանվում է, դա առաջացնում է Y պոմպի հակաճնշման կորուստ, ինչի հետևանքով նվազում է Z տարայի հոսքը և այլն։ Սակայն Բլեք-Շոուլզի հավասարման և MPT-ի դեպքում գների փոփոխությունների հիմքում ընկած կառուցվածքը բացատրելու փորձ չի կատարվում։ Տարբեր ելքերին պարզապես վերագրվում են հավանականություններ։ Եվ, ի տարբերություն PRA-ի, եթե որևէ համակարգային իրադարձության՝ օրինակ իրացվելիության ճգնաժամի, պատմական նախադեպ չկա, ապա դրա հավանականությունը հաշվարկել հնարավոր չէ։ Եթե միջուկային ինժեներները ռիսկերի կառավարումն իրականացնեին այս կերպ, ապա նրանք երբեք չէին կարողանա հաշվարկել որևէ կոնկրետ կայանում հալման վթարի հավանականությունը, մինչև նույն ռեակտորի նախագծում մի քանի նմանատիպ դեպքեր տեղի չունենային։ - Դուգլաս Վ. Հաբարդ, Ռիսկերի կառավարման ձախողումը, էջ 67, John Wiley & Sons, 2009։ ISBN 978-0-470-38795-5։

Մաթեմատիկական ռիսկի չափումները նույնպես օգտակար են միայն այն չափով, որքանով դրանք արտացոլում են ներդրողների իրական մտահոգությունները. իմաստ չունի նվազագույնի հասցնել այն փոփոխականը, որի մասին գործնականում ոչ ոք չի հետաքրքրվում: Մասնավորապես, շեղումը սիմետրիկ չափանիշ է, որը անբնականորեն բարձր եկամտաբերությունը համարում է նույնքան ռիսկային, որքան անբնականորեն ցածր եկամտաբերությունը: Կորստից խուսափելու հոգեբանական երևույթն այն գաղափարն է, որ ներդրողներն ավելի շատ մտահոգված են կորուստներով, քան շահույթով, ինչը նշանակում է, որ ռիսկի մեր ինտուիտիվ հասկացությունը բնույթով հիմնարարապես ասիմետրիկ է: Կան շատ այլ ռիսկի չափանիշներ (օրինակ՝ հետևողական ռիսկի չափանիշներ) որոնք կարող են ավելի լավ արտացոլել ներդրողների իրական նախասիրությունները:

Ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը նույնպես քննադատության է ենթարկվել, քանի որ այն ենթադրում է, որ եկամտաբերությունը հետևում է գաուսյան բաշխմանը ։ Արդեն 1960-ականներին Բենուա Մանդելբրոտը և Յուջին Ֆաման ցույց տվեցին այս ենթադրության անբավարարությունը և փոխարենը առաջարկեցին ավելի ընդհանուր կայուն բաշխումների օգտագործումը։ Ստեֆան Միտնիկը և Սվետլոզար Ռաչևը ներկայացրին նման պայմաններում օպտիմալ պորտֆելներ ստանալու ռազմավարություններ։ Վերջերս Նասիմ Նիկոլաս Թալեբը նույնպես քննադատել է ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը այս հիմքով՝ գրելով.

1987 թվականի ֆոնդային շուկայի փլուզումից հետո նրանք պարգևատրեցին երկու տեսաբանների՝ Հարրի Մարկովիցին և Ուիլյամ Ֆ. Շարփին, որոնք կառուցել էին գեղեցիկ պլատոնական մոդելներ՝ հիմնված գաուսյան բաշխման վրա՝ նպաստելով այն բանին, ինչը կոչվում է Ժամանակակից պորտֆելային տեսություն (Modern Portfolio Theory)։ Պարզ ասած՝ եթե հեռացվեն նրանց գաուսյան ենթադրությունները և գները դիտարկվեն որպես մասշտաբավորվող, ապա այդ տեսությունից գրեթե ոչինչ չի մնա։ Նոբելյան կոմիտեն կարող էր ստուգել Շարփի և Մարկովիցի մոդելները․ դրանք աշխատում են այնպես, ինչպես ինտերնետում վաճառվող կեղծ բուժամիջոցները, սակայն, թվում է, Ստոկհոլմում ոչ ոք այդ մասին չի մտածել։ - Նասիմ Նիկոլաս Թալեբ, Սև կարապ․ խիստ անհավանականի ազդեցությունը, էջ 277, Random House, 2007։ ISBN 978-1-4000-6351-2։

Հակառակորդ և արժեքային ներդրողները սովորաբար չեն հետևում ժամանակակից պորտֆելի տեսությանը։ Մի առարկություն այն է, որ MPT-ն հիմնված է արդյունավետ շուկայի վարկածի վրա և օգտագործում է բաժնետոմսերի գնի տատանումները որպես ռիսկի փոխարինող: Սըր Ջոն Թեմփլթոնը հավատում էր դիվերսիֆիկացիային որպես հայեցակարգ, բայց նաև կարծում էր, որ MPT-ի տեսական հիմքերը կասկածելի են և եզրակացրեց (ինչպես նկարագրել է կենսագիրը). «այն գաղափարը, որ պորտֆելներ կառուցելը անհուսալի և անտեղի վիճակագրական տվյալների, ինչպիսին է պատմական անկայունությունը, հիման վրա դատապարտված է ձախողման»։

Մի քանի ուսումնասիրություններ պնդում են, որ «նամայական դիվերսիֆիկացիան», որը կապիտալը հավասարապես բաժանում է առկա ներդրումային տարբերակների միջև, որոշ իրավիճակներում կարող է առավելություններ ունենալ MPT-ի նկատմամբ։

Ակտիվների որոշակի համայնապատկերների նկատմամբ կիրառվելիս, ակադեմիկոսները Մարկովիցի մոդելը համարել են անբավարար՝ մոդելի անկայունության նկատմամբ իր զգայունության պատճառով, որը կարող է առաջանալ, օրինակ, բարձր փոխկապակցված ակտիվների համայնապատկերում։

Ընդլայնումներ

1952 թվականին MPT-ի ներդրումից ի վեր, բազմաթիվ փորձեր են արվել մոդելը բարելավելու համար, մասնավորապես՝ ավելի իրատեսական ենթադրություններ օգտագործելով։

Հետմոդեռն պորտֆելի տեսությունն ընդլայնում է MPT-ն՝ ընդունելով ոչ նորմալ բաշխված, ասիմետրիկ և հաստ պոչով ռիսկի չափանիշներ: Սա օգնում է այս խնդիրներից մի քանիսի դեպքում, բայց ոչ մյուսների դեպքում:

Բլեք-Լիտերմանի մոդելի օպտիմիզացիան անսահմանափակ Մարկովիցի օպտիմիզացիայի ընդլայնումն է, որը ներառում է ռիսկի և եկամտաբերության մուտքային տվյալների վերաբերյալ հարաբերական և բացարձակ «տեսակետներ»։

Մոդելը նաև ընդլայնվում է՝ ենթադրելով, որ սպասվող եկամտաբերությունը անորոշ է, և այս դեպքում կոռելյացիոն մատրիցը կարող է տարբերվել եկամտաբերությունների միջև կոռելյացիոն մատրիցից։

Կապը ռացիոնալ ընտրության տեսության հետ

Ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը անհամատեղելի է ռացիոնալ ընտրության տեսության հիմնական աքսիոմների հետ, մասնավորապես՝ մոնոտոնության աքսիոմայի հետ, որը նշում է, որ եթե X պորտֆելում ներդրում կատարելը, մեկ հավանականությամբ, ավելի շատ գումար կբերի, քան Y պորտֆելում ներդրում կատարելը, ապա ռացիոնալ ներդրողը պետք է նախընտրի X-ը Y- ին: Ի տարբերություն դրա, ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը հիմնված է մեկ այլ աքսիոմայի վրա, որը կոչվում է դիսպերսիոնալությունից խուսափելու, և կարող է խորհուրդ տալ ներդրում կատարել Y- ում՝ հիմնվելով այն բանի վրա, որ այն ունի ավելի ցածր դիսպերսիա: Մակչերոնին և այլք նկարագրել են ընտրության տեսություն, որը հնարավորինս մոտ է ժամանակակից պորտֆելի տեսությանը, միաժամանակ բավարարելով մոնոտոնության աքսիոման: Այլընտրանքորեն, միջին շեղման վերլուծությունը ռացիոնալ ընտրության տեսություն է, որը առաջանում է դիսպերսիան համապատասխան շեղման ռիսկի չափանիշով փոխարինելուց:

Այլ ծրագրեր

1970-ականներին MPT-ի հասկացությունները հայտնվեցին տարածաշրջանային գիտության ոլորտում։ Մի շարք հիմնարար աշխատանքներում Մայքլ Քոնրոյը մոդելավորել է աշխատուժը տնտեսությունում՝ օգտագործելով պորտֆելային տեսության մեթոդներ՝ աշխատուժի աճը և փոփոխականությունը ուսումնասիրելու համար: Դրան հաջորդել է տնտեսական աճի և անկայունության միջև եղած կապի վերաբերյալ երկար գրականություն։

Վերջերս, ժամանակակից պորտֆոլիոյի տեսությունը օգտագործվել է սոցիալական հոգեբանության մեջ ինքնագիտակցության մոդելավորման համար: Երբ ինքնագիտակցության մեջ մտնող ինքնության հատկանիշները կազմում են լավ դիվերսիֆիկացված պորտֆոլիո, ապա անհատի մակարդակում հոգեբանական արդյունքները, ինչպիսիք են տրամադրությունը և ինքնագնահատականը, պետք է ավելի կայուն լինեն, քան երբ ինքնագիտակցությունը դիվերսիֆիկացված չէ: Այս կանխատեսումը հաստատվել է մարդկանց մասնակցությամբ կատարված ուսումնասիրություններում։

Վերջերս ժամանակակից պորտֆելի տեսությունը կիրառվել է տեղեկատվության որոնման մեջ փաստաթղթերի միջև անորոշության և փոխկապակցվածության մոդելավորման համար: Հարցմանը տրված է փաստաթղթերի դասակարգված ցանկի ընդհանուր արդիականությունը մեծացնելու և միևնույն ժամանակ դասակարգված ցանկի ընդհանուր անորոշությունը նվազագույնի հասցնելու նպատակը։

Նախագծերի պորտֆելներ և այլ «ոչ ֆինանսական» ակտիվներ

Որոշ մասնագետներ MPT-ն կիրառում են նախագծերի և ֆինանսական գործիքներից բացի այլ ակտիվների պորտֆելների վրա։ Երբ MPT-ն կիրառվում է ավանդական ֆինանսական պորտֆելներից դուրս, պետք է հաշվի առնել պորտֆելների տարբեր տեսակների միջև որոշ տարբերություններ:

1. Գործնականում ֆինանսական պորտֆելների ակտիվները անընդհատ բաժանելի են, մինչդեռ նախագծերի պորտֆելները «փոքր» են։ Օրինակ, մինչդեռ մենք կարող ենք հաշվարկել, որ 3 բաժնետոմսերի համար պորտֆելի օպտիմալ դիրքը կազմում է, ասենք, 44%, 35%, 21%, նախագծային պորտֆելի օպտիմալ դիրքը կարող է թույլ չտալ մեզ պարզապես փոխել նախագծի վրա ծախսված գումարը։ Նախագծերը կարող են լինել «ամեն ինչ կամ ոչինչ» կամ, առնվազն, ունենալ տրամաբանական միավորներ, որոնք չեն կարող առանձնացվել։ Պորտֆելի օպտիմալացման մեթոդը պետք է հաշվի առնի նախագծերի դիսկրետ բնույթը։
2. Ֆինանսական պորտֆելների ակտիվները հեղուկ են. դրանք կարող են գնահատվել կամ վերագնահատվել ցանկացած պահի: Սակայն նոր նախագծեր մեկնարկելու հնարավորությունները կարող են սահմանափակ լինել և կարող են տեղի ունենալ սահմանափակ ժամանակահատվածներում: Արդեն մեկնարկած նախագծերը չեն կարող դադարեցվել առանց խորտակված ծախսերի կորստի (այսինքն՝ կիսատ ավարտված նախագծի վերականգնման/փրկարարական արժեքը քիչ է կամ ընդհանրապես չկա):

Սրանցից ոչ մեկը պարտադիր կերպով չի բացառում MPT-ի և նման պորտֆելների օգտագործման հնարավորությունը։ Դրանք պարզապես ցույց են տալիս օպտիմալացումը մաթեմատիկորեն արտահայտված սահմանափակումների լրացուցիչ հավաքածուով իրականացնելու անհրաժեշտությունը, որոնք սովորաբար չէին կիրառվի ֆինանսական պորտֆելների համար։

Ավելին, ժամանակակից պորտֆելի տեսության ամենապարզ տարրերից մի քանիսը կիրառելի են գրեթե ցանկացած տեսակի պորտֆելի համար: Ներդրողի ռիսկի նկատմամբ հանդուրժողականությունը գրանցելու հայեցակարգը՝ փաստաթղթավորելով, թե որքան ռիսկ է ընդունելի տվյալ եկամտաբերության համար, կարող է կիրառվել որոշումների վերլուծության բազմազան խնդիրների համար: MPT-ն օգտագործում է պատմական շեղումը որպես ռիսկի չափանիշ, բայց խոշոր նախագծերի նման ակտիվների պորտֆելները չունեն հստակ սահմանված «պատմական շեղում»: Այս դեպքում MPT ներդրումային սահմանը կարող է արտահայտվել ավելի ընդհանուր տերմիններով, ինչպիսիք են՝ «կապիտալի արժեքից ցածր ROI-ի հավանականությունը» կամ «ներդրման կեսից ավելին կորցնելու հավանականությունը»: Երբ ռիսկը դիտարկվում է կանխատեսումների և հնարավոր կորուստների վերաբերյալ անորոշության տեսանկյունից, ապա հայեցակարգը կարող է փոխանցվել տարբեր տեսակի ներդրումների։

Տես նաև

• Բետա գործակից
• Կողմնակալության հարաբերակցություն
• Ակտիվների գնագոյացում
• Քելլիի չափանիշ
• Սորթինոյի հարաբերակցություն
• Թրեյնորի գործակից

Լրացուցիչ ընթերցանություն

• Lintner, John (1965). «The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets». The Review of Economics and Statistics. 47 (1): 13–39. doi:10.2307/1924119. JSTOR 1924119.
• Sharpe, William F. (1964). «Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk». Journal of Finance. 19 (3): 425–442. doi:10.2307/2977928. hdl:10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x. JSTOR 2977928.
• Tobin, James (1958). «Liquidity preference as behavior towards risk» (PDF). The Review of Economic Studies. 25 (2): 65–86. doi:10.2307/2296205. JSTOR 2296205.
• DeMiguel, V., Garlappi, L., Nogales, F. J., & Uppal, R. (2009). A generalized approach to portfolio optimization: Improving performance by constraining portfolio norms. Management science, 55(5), 798-812.

Արտաքին հղումներ

Մեդիա ֆայլեր

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Ժամանակակից պորտֆելի տեսություն կատեգորիայում։

• Macro-Investment Analysis, Prof. William F. Sharpe, Stanford University
• Portfolio Optimization, Prof. Stephen P. Boyd, Stanford University
• "New Approaches for Portfolio Optimization: Parting with the Bell Curve" — Interview with Prof. Svetlozar Rachev and Prof. Stefan Mittnik
• "Bruno de Finetti and Mean-Variance Portfolio Selection Article by Mark Rubinstein on Bruno de Finetti's discovery and comments by Markowitz.