Ընդհանրացված ֆունկցիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ընդհանրացված ֆունկցիա, ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի կետի շրջակայքում ըստ Լեբեգի ինտեգրելի ֆունկցիան որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են ինտեգրալների արժեքները «փորձնական» ֆունկցիաների որոշակի բազմության վրա։ Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ -ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ

զուգամիտությունը նշանակում է, որ բոլոր –երը հավասար են զրոյի միևնույն շառավղով գնդից դուրս և բոլոր ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։ Այդ դեպքում -ն գծային տոպոլոգիական (հաշվելի–նորմավորված) տարածություն է և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝ գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև : Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ դասական ֆունկցիաները –ի մեջ են ընդգրկվում այն իմաստով, որ համապատասխան ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է –ին։–ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝ ֆունկցիոնալը։ սահմանվում է որպես ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղավւարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 105 CC-BY-SA-icon-80x15.png