Ընդհանրացված ֆունկցիա

Ընդհանրացված ֆունկցիա, ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի $x\in \mathbb {R} ^{n}$ կետի շրջակայքում ըստ Լեբեգի ինտեգրելի $f(x)$ ֆունկցիան՝ $f\in L_{1,{\text{loc}}}$, որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են $\int f\varphi \,dx$ ինտեգրալների արժեքները «փորձնական» $\{\varphi \}$ ֆունկցիաների որոշակի ${\mathcal {D}}=\{\varphi \}$ բազմության վրա։

Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ ${\mathcal {D}}$-ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի $R_{\varphi }$ շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ$$\varphi _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\varphi \qquad (\varphi _{n},\varphi \in D)$$զուգամիտությունը նշանակում է, որ

• բոլոր $\varphi _{n}$-երը հավասար են զրոյի միևնույն $R$ շառավղով գնդից դուրս, և
• բոլոր $${\frac {\partial ^{k}\varphi _{n}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}=D^{\alpha }\varphi _{n}\qquad \left(\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),\;k=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\right)$$ ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։

Այդ դեպքում ${\mathcal {D}}$-ն տոպոլոգիական վեկտորական (գծային) տարածություն է (հաշվելի-նորմավորված), և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝ $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}$ գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի $f(\varphi )$ ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում, $f(\varphi )$-ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև $(f,\varphi )$ կամ $\langle f,\varphi \rangle$:

Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է ${\mathcal {D}}$ փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ $f\in L_{1,{\text{loc}}}$ դասական ֆունկցիաները ${\mathcal {D}}'$-ի մեջ են ընդգրկված (ներդրված) այն իմաստով, որ համապատասխան $(f,\varphi )$ ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել $$(f,\varphi )=\int f\varphi \,dx$$բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է ${\mathcal {D}}'$-ին։

${\mathcal {D}}'$-ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի $\delta (x-x_{0})$ Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝ $(\delta (x-x_{0}),\varphi )=\varphi (x_{0})$ ֆունկցիոնալը։ $f\in {\mathcal {D}}'$ ընդհանրացված ֆունկցիայի համար $D^{\alpha }f$-ը սահմանվում է որպես $(D^{\alpha }f,\varphi )=(f,(-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }\varphi )$ ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։

Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղափարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիաներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 105)։