Էստանիսլաո Բասորան ծնվել է տեքստիլ ձեռնարկության ղեկավարի ընտանիքում[6]։ Կարիերան սկսել է «Կոլոնիա Վալս», «Սուրիա» և «Մանրեսա» սիրողական ակումբներում։ 1946 թվականին տեղափոխվել է Բարսելոնա, որտեղ խաղացել է 13 տարի՝ ընդամենը մեկ տարի ընդմիջումով, որն անցկացրել է «Լերիդա» ակումբում։ Բարսելոնայի կազմում Բասորան անցկացրել է 373 խաղ և խփել 153 գոլ[7]։ Թիմի հետ միասին նա 4 անգամ հաղթել է Իսպանիայի առաջնությունում, 3 անգամ նվաճել է Էվա Դուարտեի գավաթը, երկու անգամ՝ Լատինական գավաթը, 4 անգամ Իսպանիայի գավաթը և մեկ անգամ Տոնավաճառների գավաթը։ Բասորան «Բարսելոնայում» կազմել է հարձակման նշանավոր գիծը Լադիսլավ Կուբալայի, Էդուարդո Մանչոնի և Թոմաս Էռնանդեսի հետ միասին։ 1958 թվականին Բաասորան որոշել է ավարտել կարիերան. հրաժեշտի խաղը նա անցկացրել է Իսպանիայի գավաթի խաղարկության կիսաեզրափակչում, որտեղ խփել է երկու գոլ[8]։ Բասորային առաջարկել են պայմանագրեր Անգլիայի որոշ ակումբներ, որտեղ նա մի որոշ ժամանակ ապրել է, սակայն իսպանացին մերժել է։
Իսպանիայի հավաքական կազմում Բասորան անցկացրել է 22 խաղ և խփել 13 գոլ։ Ազգային հավաքականի կազմում իր նորամուտը նշել է 1949 թվականի հունիսի 12-ին, երբ նրա թիմը հաղթել է Իռլանդիային։ 7 օր անց՝ հունիսի 19-ին, Բասորան 3 գոլ է խփել Ֆրանսիայի հավաքականի դարպասը, ինչի համար ֆրանսիական մամուլում նրան կոչել են «Կոլոմբի հրեշ»:Բասորան մասնակցել է 1950 թվականի աշխարհի առաջնությանը, որտեղ նա խփել է 5 գոլ։ Հավաքականի կազմում Բասորան իր վերջին խաղն անցկացրել է 1957 թվականի մայիսի 26-ին ընդդեմ Շոտլանդիայի[8]։
2012 թվականի մարտին Բասորան տեղափոխվել է Ինիվերսիտարիո դե Գրան-Կանարիա հիվանդանոց ինֆարկտով[9]։ Մարտի 16-ին նա մահացել է[10]։