Երկու մարմինների խնդիր

Ձախ: Երկու նմանատիպ զանգված ունեցող մարմիններ, որոնք պտտվում են երկու մարմիններից դուրս գտնվող ընդհանուր բարիկենտրոն շուրջ՝ էլիպտիկ ուղեծրով: Այս մոդելը բնորոշ է կրկնակի աստղերին:
Աջ: Երկու մարմիններ, որոնք ունեն զանգվածի «փոքր» տարբերություն, պտտվում են ընդհանուր բարիկենտրոնի շուրջ: Նրանց չափերը և այս տեսակի ուղեծիրը նման են Պլուտոն-Քարոն համակարգին (որտեղ բարիկենտրոնը գտնվում է երկու մարմիններից դուրս), ինչպես նաև Երկիր–Լուսին համակարգին (որտեղ բարիկենտրոնը գտնվում է ավելի մեծ մարմնի ներսում):

Երկու մարմնի խնդիրը, դասական մեխանիկայում և աստղադինամիկայում միմյանց շուրջ պտտվող երկու զանգվածեղ մարմինների շարժման հաշվարկն ու կանխատեսումն է։ Խնդիրը ենթադրում է, որ երկու մարմինները կետային զանգվածներ են, որոնք փոխազդում են միայն իրենց փոխադարձ ձգողական ուժի միջոցով. յուրաքանչյուր մարմնի վրա ազդող միակ ուժը բխում է մյուսից, և մնացած բոլոր մարմինները անտեսվում են։ Այս դեպքում մարմինների հարաբերական շարժումը ստանում է պարզ և ճշգրիտ մաթեմատիկական նկարագրություն․ մեկ մարմնի ուղեծիրը մյուսի շուրջ հանդիսանում է կոնական հատույթ՝ էլիպս, պարաբոլ կամ հիպերբոլ՝ կախված տեսակարար ուղեծրային էներգիայից։

Եթե էներգիան բացասական է, մարմինները կապված են և շարժվում են էլիպտիկ ուղեծրով․ այս մոդելը բացատրում է, օրինակ, Երկրի պտույտը Արեգակի շուրջ։ Եթե էներգիան հավասար է զրոյի, ստացվում է պարաբոլիկ ուղեծիր, իսկ դրական էներգիայի դեպքում՝ հիպերբոլիկ ուղեծիր։ Այս վերջինները նկարագրում են, օրինակ, միջգալակտիկական աստերոիդների կամ գիսաստղերի անցումն Արեգակնային համակարգով։

Երկու մարմինների խնդրի ճշգրիտ լուծումը հայտնի է դեռ Յոհան Կեպլերից, ով ձևակերպեց մոլորակների շարժման երեք օրենքները։ Իսահակ Նյուտոնը, իր հերթին, բացատրեց այդ օրենքները համընդհանուր ձգողականության տեսության միջոցով։ Այս լուծումը դարձավ երկնային մեխանիկայի և տիեզերական թռիչքների դինամիկայի հիմքը։

Նույն մաթեմատիկական մոդելը կիրառվում է ոչ միայն աստղաֆիզիկայում, այլև ժամանակակից տիեզերական տեխնիկայում։ Օրինակ, արբանյակների ուղեծրերի նախագծման ժամանակ կիրառվում է երկու մարմինների խնդիրը՝ Երկրի և արբանյակի փոխազդեցության համար։ Չնայած իրականում շարժումը խանգարվում է այլ գործոններով՝ Լուսնի, Արեգակի ձգողականությամբ, մթնոլորտի դիմադրությամբ կամ Երկրի ոչ կատարյալ գնդաձևությամբ, երկու մարմինների խնդիրն ապահովում է մեկնարկային և հիմնարար հիմք, որի վրա կառուցվում են ավելի բարդ մոդելները։

Ի տարբերություն դրա, երեք մարմինների խնդիրը (և, ավելի ընդհանուր առմամբ, n-մարմինների ձգողականության խնդիրը n ≥ 3-ի համար) չի կարող ունենալ ընդհանուր լուծում, բացառությամբ հատուկ դեպքերի։

Տես նաև

• Էյլերի երեք մարմինների խնդիր
• Կեպլերի ուղեծիր
• Կեպլերի խնդիր
• n մարմինների ձգողականության խնդիր
• Երեք մարմինների խնդիր
• Վիրիալի թեորեմ

Գրականություն

• Landau LD; Lifshitz EM (1976). Mechanics (3rd. ed.). New York: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4.
• Goldstein H (1980). Classical Mechanics (2nd. ed.). New York: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.

Արտաքին հղումներ

• Two-body problem at Eric Weisstein's World of Physics