Երկէլիպտիկ փոխանցման ուղեծիր

Երկէլիպտիկ փոխանցում՝ ցածր շրջանաձև մեկնարկային ուղեծրից (կապույտ) դեպի բարձր շրջանաձև ուղեծիր (կարմիր)

Համեմատության համար Հոհմանի փոխանցում (2), ցածր շրջանաձև ուղեծրից (1) դեպի բարձր ուղեծիր (3)

Երկէլիպտիկ փոխանցման ուղեծիրը ուղեծրային մանևր է, որը տեղափոխում է տիեզերանավը մի ուղեծրից մյուսը և որոշ իրավիճակներում կարող է պահանջել ավելի քիչ դելտա-v քան Հոհմանի փոխանցումը։

Երկէլիպտիկ փոխանցումը բաղկացած է երկու կեսէլիպտիկ ուղեծրերից։ Սկզբնական ուղեծրից առաջին շարժիչի այրումը ծախսում է դելտա-v՝ տիեզերանավը տեղափոխելով առաջին փոխանցման ուղեծիր, որի ապոապսիսը գտնվում է $r_{b}$ հեռավորության վրա կենտրոնական մարմինից։ Այդ կետում երկրորդ այրումը տիեզերանավը տեղափոխում է երկրորդ էլիպտիկ ուղեծիր, որի պերիապսիսը համապատասխանում է վերջնական պահանջվող ուղեծրի շառավղին, որտեղ կատարվում է երրորդ այրումը՝ տիեզերանավը տեղադրելով պահանջվող ուղեծիր:

Չնայած այս դեպքում պահանջվում են մեկ լրացուցիչ շարժիչի այրում համեմատած Հոհմանի փոխանցման հետ և սովորաբար թռիչքային ժամանակը ավելի երկար է, որոշ երկէլիպտիկ փոխանցումներ պահանջում են ավելի փոքր ընդհանուր դելտա-v: Այս արդյունավետությունը սկսվում է երբ վերջնական և սկզբնական մեծ կիսաառանցքների հարաբերակցությունը մեծ է կամ հավասար 11,94-ից:

Երկէլիպտիկ փոխանցման գաղափարը առաջին անգամ հրապարակել է Արի Շտերնֆելդը 1934 թվականին։:

Հաշվարկ

Դելտա-v

Երեք պահանջվող արագության փոփոխությունները կարելի է ստանալ անմիջապես հետևյալ հավասարումից՝ $$v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),$$ որտեղ

• $v$ — ուղեծրային մարմնի արագությունն է,
• $\mu =GM$ — կենտրոնական մարմնի ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է,
• $r$ — մարմնի հեռավորությունն է կենտրոնական մարմնից, այսինքն՝ շառավիղը,
• $a$ — մարմնի ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է։

Ընդունելով որ՝

• $r_{1}$ — սկզբնական շրջանաձև ուղեծրի շառավիղ,
• $r_{2}$ — վերջնական շրջանաձև ուղեծրի շառավիղ,
• $r_{b}$ — երկու փոխանցման էլիպսների ընդհանուր ապոապսիս և մանևրի ազատ պարամետր,
• $a_{1}$ և $a_{2}$ — երկու փոխանցման էլիպտիկ ուղեծրերի մեծ կիսաառանցքները, որոնք տրված են՝

$$a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},$$ $$a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.$$

Սկսելով սկզբնական $r_{1}$ շառավղով շրջանաձև ուղեծրից (մուգ կապույտ շրջան՝ աջ կողմի պատկերում), պրոգրադ այրումով (պատկերի 1 նշում) տիեզերանավը տեղափոխվում է առաջին էլիպտիկ փոխանցման ուղեծիր (կապտավուն կիսաէլիպս)։ Անհրաժեշտ դելտա-v-ն այս մղման համար․ $$\Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.$$

Երբ առաջին փոխանցման էլիպսի ապոապսիսը հասնում է $r_{b}$ հեռավորության առաջնայինից, երկրորդ պրոգրադ այրումը (նշում 2) բարձրացնում է պերիապսիսը՝ համապատասխանեցնելով այն նպատակային շրջանաձև ուղեծրի շառավղին։ Այսպիսով, տիեզերանավը տեղափոխվում է երկրորդ էլիպտիկ հետագիծ (նարնջագույն կիսաէլիպս)։ Այս այրման պահանջվող դելտա-v-ն․ $$\Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.$$

Վերջապես, երբ հասնում է վերջնական շրջանաձև ուղեծրի շառավղին $r_{2}$, ռետրոգրադ այրումը (նշում 3) շրջանաձևացնում է հետագիծը վերջնական ուղեծրում (կարմիր շրջան)։ Այս վերջին մղման պահանջվող դելտա-v-ն՝ $$\Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.$$

Եթե $r_{b}=r_{2}$, ապա մանևրը դառնում է Հոհմանի փոխանցում (այդ դեպքում $\Delta v_{3}$-ը հավասար է զրոյի)։ Այսպիսով, երկէլիպտիկ փոխանցումը կազմում է ուղեծրային փոխանցումների ավելի ընդհանուր դաս, որոնցից Հոհմանի փոխանցումը հատուկ երկ-այրումային դեպք է։

Բի-պարաբոլիկ փոխանցում՝ ցածր շրջանաձև մեկնարկային ուղեծրից (մուգ կապույտ) դեպի բարձր շրջանաձև ուղեծիր (կարմիր)

Մաքսիմալ հնարավոր խնայողությունը կարելի է ստանալ ընդունելով, որ $r_{b}=\infty$, այդ դեպքում ընդհանուր $\Delta v$-ն պարզեցվում է հետևյալ ձևով․ ${\textstyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$։

Այս դեպքում խոսվում է նաև բի-պարաբոլիկ փոխանցման մասին, քանի որ երկու փոխանցման տրաեկտորիաներն էլ այլևս էլիպսներ չեն, այլ պարաբոլներ։ Փոխանցման ժամանակը նույնպես մեծանում է մինչև անսահմանություն։

Փոխանցման ժամանակ

Ինչպես Հոհմանի փոխանցման դեպքում, այնպես էլ երկ-էլիպտիկ փոխանցման դեպքում օգտագործվող երկու փոխանցման ուղեծրերը կազմում են ուղիղ կեսը էլիպտիկ ուղեծրից։ Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր փուլի կատարման համար պահանջվող ժամանակը հավասար է համապատասխան փոխանցման էլիպսի շրջապտույտի կեսին։

Օգտագործելով ուղեծրի շրջապտույտի հավասարումը և վերը նշված նշանակումները՝ $$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.$$

Ընդհանուր փոխանցման ժամանակը $t$ հավասար է յուրաքանչյուր կիսա-ուղեծրի ժամանակների գումարին։ Հետևաբար՝ $$t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{և}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},$$ և վերջապես՝ $$t=t_{1}+t_{2}.$$

Օրինակ

Շրջանաձև ցածր մերձերկրյա ուղեծրից r₀ = 6700 կմ դեպի նոր շրջանաձև ուղեծիր r₁ = 93 800 կմ անցնելու համար Հոհմանի փոխանցումը պահանջում է 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 մ/վ Δv։ Սակայն, քանի որ r₁ = 14r₀ > 11.94r₀, հնարավոր է ավելի արդյունավետ արդյունք ստանալ երկէլիպտիկ փոխանցմամբ։ Եթե տիեզերանավը սկզբում արագացներ 3061.04 մ/վ և այդպես անցներ էլիպսային ուղեծիր՝ r₂ = 40r₀ = 268 000 կմ ապոապսիսով, ապա ապոապսիսում արագացներ ևս 608.825 մ/վ դեպի նոր ուղեծիր՝ r₁ = 93 800 կմ պերիապսիսով, և վերջապես այս երկրորդ փոխանցման ուղեծրի պերիապսիսում դանդաղեցներ 447.662 մ/վ-ով՝ մտնելով վերջնական շրջանաձև ուղեծիր, ապա ընդհանուր Δv-ն կլիներ միայն 4117.53 մ/վ, ինչը 16.19 մ/վ (0.4%) պակաս է։

Δv խնայողությունը կարելի է ավելի մեծացնել միջանկյալ ապոապսիսը մեծացնելով, փոխարենը ունենալով ավելի երկար փոխադրման ժամանակ։ Օրինակ՝ 75.8r₀ = 507 688 կմ (Լուսնի հեռավորության 1,3 անգամը) ապոապսիսը կտա 1% Δv խնայողություն Հոհմանի փոխանցման համեմատ, բայց կպահանջի 17 օր թռիչք։ Որպես ոչ գործնական ծայրահեղ օրինակ՝ 1757r₀ = 11 770 000 կմ (Լուսնի հեռավորության 30 անգամը) ապոապսիսը կտա 2% Δv խնայողություն Հոհմանի փոխանցման համեմատ, բայց փոխանցումը կպահանջի 4,5 տարի (և գործնականում կխանգարվի Արեգակնային համակարգի այլ մարմինների գրավիտացիոն ազդեցությամբ)։ Համեմատության համար՝ Հոհմանի փոխանցումը պահանջում է 15 ժամ և 34 րոպե։

Տարբեր ուղեծրային փոխանցումենրի համար Δv

Տեսակ		Հոհման	Երկէլիպտիկ
Ապոգեյ (կմ)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Այրում (մ/վ)	1	2825.02	3061.04	3123.62	3191.79	3194.89
	2	1308.70	608.825	351.836	16.9336	0
	3	0	447.662	616.926	842.322	853.870
Ընդամենը (մ/վ)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
Հոհմանի համար		100%	99.6%	99.0%	98.0%	97.94%

Δv-ն կիրառվէլ է պրեգրադ Δv-ն կիրառվէլ է ռետրոգրադ

Ակնհայտ է, որ երկէլիպտիկ փոխանցման ուղեծիրն իր դելտա-v-ի մեծ մասը ծախսում է մոլորակին ավելի մոտ (առաջին այրման ժամանակ)։ Սա ապահովում է ավելի մեծ ներդրում տեսակարար ուղեծրային էներգիայում և, Օբերտի էֆեկտի շնորհիվ, նվազեցնում է պահանջվող ընդհանուր դելտա-v-ն։

Տես նաև

• Դելտա-v բյուջե
• Օբերտի էֆեկտ