Եզակի կետ (դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Եզակի կետ (այլ կիրառումներ)

Եզակի կետեր

Դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետ, դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետում

${dy \over dx}={\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}\qquad (1)$

հավասարման աջ մասի համարիչն ու հայտարարը միաժամանակ հավասարվում են զրոյի (P-ն և Q-ն անընդհատորեն դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են)։

Ընդունելով, որ եզակի կետը համընկնում է կոորդինատների սկզբնակետի հետ և կիրառելով Թեյլորի բանաձևը՝ (1) հավասարումը կարելի է ներկայացնել

${dy \over dx}={\frac {cx+dy+P_{1}(x,y)}{ax+by+Q_{1}(x,y)}}$

տեսքով, որտեղ $P_{1}$֊ը և $Q_{1}$֊ը ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$֊ի համեմատ անվերջ փոքր են։ Եզակի կետի շրջակայքում ինտեգրալ կորերի (դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները երկրաչափորեն պատկերող կորերի) վարքը կախված է

${\begin{pmatrix}{a-\lambda }&b\\c&{d-\lambda }\end{pmatrix}}=0$

բնութագրիչ հավասարման $\lambda _{1}$ և $\lambda _{2}$ արմատներից։ $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ կամ $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ և $\lambda _{1}\lambda _{2}>0$ դեպքերում եզակի կետը կոչվում է հանգույց, $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ և $\lambda _{1}\lambda _{2}<0$ դեպքում՝ թամբ, $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha +i\beta 0$, $\alpha ,\beta \neq 0$ դեպքում՝ կիզակետ (ֆոկուս)։ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\pm +i\beta$, $\beta \neq 0$ դեպքում եզակի կետը կարող է լինել կենտրոն, կիզակետ կամ ավելի բարդ բնույթ ունենալ։ Օրինակ, կոորդինատների սկզբնակետը

$y'=2{\frac {y}{x}},y'=-{\frac {y}{x}},y'={\frac {x+y}{x-y}},y'=-{\frac {x}{y}}$

դիֆերենցիալ հավասարումների համար համապատասխանաբար հանգույց է(նկ․ 3), թամբ (նկ․ 4), կիզակետ (նկ․ 5) և կենտրոն (նկ․ 6)։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 485)։