Դիրակի դելտա ֆունկցիա

Դիրակի դելտա ֆունկցիա

Ենթակատեգորիա	Բազմության չափ, Ընդհանրացված ֆունկցիա
Կոչվել է ի պատիվ	Պոլ Դիրակ
Նկարագրող բանաձև	$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\delta (t-x)\mathrm {d} t=\varphi (x)$
In defining formula	$\delta (x)$
TeX string	\delta(x)

Սխեմատիկ ներկայացում Դիրակի դելտա ֆունկցիայի՝ վերևում սլաքով վերջացող գծով: Սլաքի բարձրությունը սովորաբար նախատեսված է ցույց տալու ցանկացած բազմապատկիչ հաստատունի արժեքը, որը տալիս է ֆունկցիայի տակի մակերեսը: Մյուս համաձայնությունն է մակերեսը գրել սլաքի ծայրի կողքին:

Դիրակի դելտա ֆունկցիա, մաթեմատիկական անալիզում հայտնի է նաև որպես միավոր իմպուլս, իրական թվերի վրա սահմանված ընդհանրացված ֆունկցիա, որի արժեքը զրո է ամենուրեք, բացի զրոյից, որտեղ այն անվերջ է, իսկ նրա ինտեգրալը ամբողջ իրական առանցքով հավասար է մեկի: Այսպիսով, այն կարող է էվրիստիկորեն ներկայացվել որպես՝$$\delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\{\infty },&x=0\end{cases}}$$այնպես, որ՝$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

Քանի որ ոչ մի ֆունկցիա չունի այս հատկությունը, դելտա «ֆունկցիան» ճշգրիտ մոդելավորելը ներառում է սահմանների կամ, ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայում, չափի տեսության և բաշխումների տեսության կիրառում:

Դելտա ֆունկցիան կոչվել է ֆիզիկոս Պոլ Դիրակի անունով և պարբերաբար կիրառվել է ֆիզիկայում ու ճարտարագիտության մեջ՝ կետային զանգվածներն ու կենտրոնացված բեռնվածությունները մոդելավորելու համար: Այն կոչվել է դելտա ֆունկցիա, որովհետև Կրոնեկերի դելտա ֆունկցիայի անընդհատ անալոգն է: Դելտա ֆունկցիայի մաթեմատիկական ճշգրտությունը վիճարկվել է այնքան ժամանակ, մինչև Լորան Շվարցը մշակել է բաշխումների տեսությունը, որտեղ այն սահմանվել է որպես ֆունկցիաների վրա ազդող գծային ձև:

Մոտիվացիա և ընդհանուր ակնարկ

Դիրակի դելտայի գրաֆիկը սովորաբար պատկերացվում է որպես ամբողջ $x$-երի առանցքի և դրական $y$-ների առանցքի երկայնքով ընթացող: Դիրակի դելտան օգտագործվում է բարձր, նեղ պիկային ֆունկցիա (իմպուլս) և այլ նմանատիպ անջատարկումներ (ինչպիսիք են կետային լիցքը կամ կետային զանգվածը) մոդելավորելու համար: Օրինակ, հարված ստացող բիլիարդի գնդակի դինամիկան հաշվարկելու համար կարելի է հարվածի ուժը մոտարկել Դիրակի դելտայով: Այդպես անելով՝ կարելի է պարզեցնել հավասարումները և հաշվարկել գնդակի շարժումը՝ հաշվի առնելով միայն բախման ընդհանուր իմպուլսը:

Կիրառական մաթեմատիկայում դելտա ֆունկցիան հաճախ դիտարկվում է որպես ֆունկցիաների հաջորդականությունների որոշակի սահման (թույլ սահման), որոնցից յուրաքանչյուր անդամ սկզբնակետում ունի բարձր պիկ. օրինակ՝ սկզբնակետում կենտրոնացված Գաուսյան բաշխումների հաջորդականություն՝ զրոյի ձգտող դիսպերսիայով: (Այնուամենայնիվ, նույնիսկ որոշ կիրառություններում, խիստ տատանողական ֆունկցիաներն օգտագործվել են որպես դելտա ֆունկցիայի մոտարկումներ, տես ստորև):

Դիրակի դելտան, հաշվի առնելով վերը նշված ցանկալի հատկությունները, չի կարող լինել ֆունկցիա, որի որոշման տիրույթն ու արժեքների տիրույթը իրական թվերում են: Օրինակ, $f(x)=\delta (x)$ և $g(x)=0$ օբյեկտները հավասար են ամենուրեք, բացառությամբ $x=0$ կետի, սակայն ունեն տարբեր ինտեգրալներ: Ըստ Լեբեգի ինտեգրման տեսության, եթե $f$-ը և $g$-ն այնպիսի ֆունկցիաներ են, որ $f=g$ գրեթե ամենուրեք, ապա $f$-ը ինտեգրելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ $g$-ն ինտեգրելի է, և $f$-ի ու $g$-ի ինտեգրալները նույնական են: Դիրակի դելտա ֆունկցիան որպես ինքնուրույն մաթեմատիկական օբյեկտ դիտարկելու խիստ մոտեցումն օգտագործում է չափի տեսությունը կամ բաշխումների տեսությունը:

Պատմություն

Որպես քվանտային մեխանիկայի իր մշակման մաս՝ Պոլ Դիրակը $\delta$-ֆունկցիան ներմուծել է 1927 թվականի հոդվածում, որն այնուհետև տարածում է գտել նրա 1930 թվականի Քվանտային մեխանիկայի սկզբունքները գրքում: Նա այն անվանել է «դելտա ֆունկցիա», քանի որ օգտագործել է որպես դիսկրետ Կրոնեկերի դելտայի անընդհատ անալոգ: Այնուամենայնիվ, այն օգտագործվել է բազմաթիվ մաթեմատիկոսների ու ֆիզիկոսների կողմից տասնիններորդ դարում: Դիրակի կենսագիր Գրեհեմ Ֆարմելոն ենթադրել է, որ Օլիվեր Հևիսայդը, ամենայն հավանականությամբ, ուղղակի ազդեցություն է ունեցել Դիրակի վրա՝ հաշվի առնելով Դիրակի ճարտարագիտական կրթությունը: Իրոք, Հևիսայդը $\delta$-ֆունկցիան ներմուծել է էլեկտրամագնիսականության և էլեկտրական ճարտարագիտության վերաբերյալ իր աշխատանքում: 1963 թվականի հարցազրույցում Դիրակը նշել է. «Բոլոր էլեկտրատեխնիկները ծանոթ են իմպուլսի գաղափարին, իսկ $\delta$-ֆունկցիան ընդամենը իմպուլսը մաթեմատիկորեն արտահայտելու եղանակ է»:Մաթեմատիկոսները նույն հասկացությանը հղում են անում որպես ընդհանրացված ֆունկցիա կամ բաշխում, այլ ոչ թե սովորական իմաստով ֆունկցիա:

$\delta$-ֆունկցիայի ամենավաղ հայտնի կիրառումը Ժան Բատիստ Ժոզեֆ Ֆուրիեյի աշխատություններում է: Ֆուրիեն ներկայացրել է այն, ինչն այժմ կոչվում է Ֆուրիեի ինտեգրալային թեորեմ, իր Théorie analytique de la chaleur (1822) աշխատությունում հետևյալ տեսքով.$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\,$$ ինչը հավասարազոր է $\delta$-ֆունկցիայի ներմուծմանը հետևյալ տեսքով.$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$$

Ավելի ուշ՝ 1827 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշիի տեքստում ակնհայտորեն ի հայտ է եկել անվերջ բարձր, միավոր իմպուլսային դելտա ֆունկցիայի ( Կոշիի բաշխուման անվերջ փոքր տարբերակի) անվերջ փոքր բանաձևը: Կոշին թեորեմն արտահայտել է ցուցչային ֆունկցիաների միջոցով.$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$$

Կոշին նշել է, որ որոշ հանգամանքներում ինտեգրման կարգը էական է այս արդյունքում (համեմատեք Ֆուբինիի թեորեմի հետ):

Ինչպես հիմնավորված է բաշխումների տեսությունան կիրառմամբ, Կոշիի հավասարումը կարելի է վերաձևակերպել՝ Ֆուրիեի սկզբնական ձևակերպմանը նմանեցնելու և $\delta$-ֆունկցիան բացահայտելու համար որպես՝ $${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$$ որտեղ $\delta$-ֆունկցիան արտահայտված է որպես՝$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$$

Սիմեոն Դընի Պուասոնը և Շառլ Էրմիտը ներմուծել են $\delta$-ֆունկցիան Ֆուրիեի ինտեգրալների իրենց հետազոտություններում: Գուստավ Կիրխհոֆն այն կիրառել է ալիքային օպտիկայում (Հյույգենսի սկզբունք) Գրինի թեորեմը կիրառող հոդվածում: Կիրխհոֆը, Հերման ֆոն Հելմհոլցը և Ուիլյամ Թոմսոնը (Լորդ Կելվին) այն դիտարկել են որպես Գաուսյան ֆունկցիաների հաջորդականության սահման: Սակայն Հևիսայդն ու Դիրակն են եղել առաջինները, ովքեր $\delta$-ֆունկցիան ակնհայտորեն ներկայացրել են որպես ինքնուրույն օբյեկտ:

Ցուցչային ձևի խիստ մեկնաբանությունը և նրա կիրառման համար անհրաժեշտ $f$ ֆունկցիայի տարբեր սահմանափակումները ձգվել են մի քանի դար: Դասական մեկնաբանության հետ կապված խնդիրները բացատրվում են հետևյալ կերպ. ֆունկցիայի դասական հասկացությունը չափազանց նեղ է, որովհետև $f$-ը պետք է անվերջությունում բավականաչափ արագ ձգտի զրոյի, որպեսզի Ֆուրիեի ինտեգրալը գոյություն ունենա: Այդ պատճառով դասական Ֆուրիեի ձևափոխության ընդլայնումը բաշխումների վրա էապես մեծացրել է այն օբյեկտների դասը, որոնք կարող էին ձևափոխվել: Ֆուրիեի ինտեգրալի վերաբերյալ հետագա աշխատանքները ներառել են Միշել Պլանշերելի (1910), Նորբերտ Վիների և Սալոմոն Բոխների (մոտ 1930 թ.), և ի վերջո Լորան Շվարցի (1945) ներդրումները, ով հիմնադրել է բաշխումների խիստ տեսությունը:

Սահմանումներ

Դիրակի դելտա $\delta (x)$ ֆունկցիան կարելի է ոչ խիստ կերպով պատկերացնել որպես իրական առանցքի վրա տրված ֆունկցիա, որը զրո է ամենուրեք, բացի կոորդինատների սկզբնակետից, որտեղ այն անվերջ է,$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$և որը նաև սահմանափակված է նույնությանը բավարարելու պայմանով՝ $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

Սա ընդամենը էվրիստիկ բնութագիր է: Դիրակի դելտան ավանդական իմաստով ֆունկցիա չէ, քանի որ իրական թվերի վրա սահմանված ընդլայնված իրական թվային արժեքներով ոչ մի ֆունկցիա չունի այս հատկությունները:

Որպես չափ

Դիրակի դելտա ֆունկցիայի գաղափարը խիստ ձևով որսալու եղանակներից մեկը չափի սահմանումն է, որը կոչվում է Դիրակի չափ, որը որպես արգումենտ ընդունում է $\mathbb {R}$ իրական առանցքի $A$ ենթաբազմությունը և վերադարձնում է $\delta (A)=1$, եթե $0\in A$, և $\delta (A)=0$՝ հակառակ դեպքում: Եթե դելտա ֆունկցիան պատկերացվի որպես 0 կետում իդեալականացված կետային զանգվածի մոդելավորում, ապա $\delta (A)$-ն ներկայացնում է $A$ բազմությունում պարունակվող զանգվածը: Այնուհետև կարելի է սահմանել ինտեգրալը $\delta$-ի նկատմամբ որպես ֆունկցիայի ինտեգրալ այս զանգվածի բաշխման նկատմամբ: Ձևականորեն, Լեբեգի ինտեգրալն ապահովում է անհրաժեշտ վերլուծական ապարատը: $\delta$ չափի նկատմամբ Լեբեգի ինտեգրալը բավարարում է$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$բոլոր անընդհատ կոմպակտ կրողով $f$ ֆունկցիաների համար: $\delta$ չափը բացարձակ անընդհատ չէ Լեբեգի չափի նկատմամբ. փաստորեն, այն եզակի չափ է: Հետևաբար, դելտա չափը չունի Ռադոն-Նիկոդիմի ածանցյալ (Լեբեգի չափի նկատմամբ)՝ չկա իսկական ֆունկցիա, որի համար$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$հատկությունը տեղի ունի: Արդյունքում, վերջին նշանակումը հարմար նշանակման չարաշահում է, այլ ոչ թե ստանդարտ (Ռիմանի կամ Լեբեգի) ինտեգրալ:

Որպես հավանականային չափ $\mathbb {R}$-ի վրա, դելտա չափը բնութագրվում է իր բաշխման ֆունկցիայով, որը միավոր աստիճանային ֆունկցիան է:$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$Սա նշանակում է, որ $H(x)$-ը $\delta$ չափի նկատմամբ $\mathbb {1} _{(-\infty ,x]}$ կուտակային ինդիկատոր ֆունկցիայի ինտեգրալն է, այսինքն՝$$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),$$վերջինս այս միջակայքի չափն է: Այսպիսով, մասնավորապես, անընդհատ ֆունկցիայի նկատմամբ դելտա ֆունկցիայի ինտեգրումը կարող է ճշգրիտ հասկացվել որպես Ռիման-Ստիլտյեսի ինտեգրալ.$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$$

$\delta$-ի բոլոր բարձր մոմենտները զրո են: Մասնավորապես, բնութագրիչ ֆունկցիան և մոմենտներ ծնող ֆունկցիան երկուսն էլ հավասար են մեկի:

Որպես բաշխում

Բաշխումների տեսությունում ընդհանրացված ֆունկցիան դիտարկվում է ոչ թե որպես ինքնուրույն ֆունկցիա, այլ միայն նրանով, թե ինչպես է այն ազդում այլ ֆունկցիաների վրա, երբ դրանց նկատմամբ «ինտեգրվում» է: Հավատարիմ մնալով այս փիլիսոփայությանը՝ դելտա ֆունկցիան պատշաճ կերպով սահմանելու համար բավական է ասել, թե ինչ է դելտա ֆունկցիայի «ինտեգրալը» բավականաչափ «լավ» ստուգիչ ֆունկցիայի $\varphi$ նկատմամբ: Եթե դելտա ֆունկցիան արդեն ընկալվել է որպես չափ, ապա այդ չափի նկատմամբ ստուգիչ ֆունկցիայի Լեբեգի ինտեգրալն ապահովում է անհրաժեշտ ինտեգրալը:

Ստուգիչ ֆունկցիաների տիպիկ տարածությունը բաղկացած է $\mathbb {R}$-ի վրա բոլոր հարթ ֆունկցիաներից՝ կոմպակտ կրողով, որոնք ունեն այնքան ածանցյալներ, որքան պահանջվում է: Որպես բաշխում, Դիրակի դելտան ստուգիչ ֆունկցիաների տարածության վրա գծային ֆունկցիոնալ է և սահմանվել է որպես՝$$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$$յուրաքանչյուր ստուգիչ $\varphi$ ֆունկցիայի համար:

Որպեսզի $\delta$-ն իսկապես լինի բաշխում, այն պետք է անընդհատ լինի ստուգիչ ֆունկցիաների տարածության համապատասխան տոպոլոգիայում: Ընդհանուր առմամբ, որպեսզի ստուգիչ ֆունկցիաների տարածության վրա $S$ գծային ֆունկցիոնալը սահմանի բաշխում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ յուրաքանչյուր ամբողջ դրական $N$-ի համար գոյություն ունենան ամբողջ $M_{N}$ թիվ և $C_{N}$ հաստատուն, այնպես որ յուրաքանչյուր ստուգիչ $\varphi$ ֆունկցիայի համար տեղի ունենա հետևյալ անհավասարությունը՝ $$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$ որտեղ $\sup$-ը ներկայացնում է ճշգրիտ վերին սահմանը (սուպրեմումը): $\delta$ բաշխման դեպքում առկա է նման անհավասարություն ($C_{N}=1$ և $M_{N}=0$ բոլոր $N$-երի համար): Այսպիսով, $\delta$-ն զրոյական կարգի բաշխում է: Ավելին, այն կոմպակտ կրողով բաշխում է. կրողը $\{0\}$-ն է:

Դելտա բաշխումը կարող է սահմանվել նաև մի քանի համարժեք եղանակներով: Օրինակ, այն Հևիսայդի աստիճանային ֆունկցիայի ընդհանրացված ածանցյալն է: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր ստուգիչ φ ֆունկցիայի համար տեղի 1xxxxx՝$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

Բնազդաբար, եթե ըստ մասերի ինտեգրումը թույլատրելի լիներ, ապա վերջին ինտեգրալը պետք է պարզեցվեր հետևյալի՝$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$և իսկապես, ըստ մասերի ինտեգրման որոշակի ձև թույլատրվում է Ստիլտյեսի ինտեգրալի համար, և այդ դեպքում տեղի ունի՝$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

Չափի տեսության համատեքստում Դիրակի չափը ինտեգրման միջոցով սկիզբ է տալիս բաշխմանը: Ընդհակառակը, հավասարումը սահմանում է Դանիելի ինտեգրալ բոլոր կոմպակտ կրողով անընդհատ $\varphi$ ֆունկցիաների տարածության վրա, որը, ըստ Ռիսի ներկայացման թեորեմի, կարող է ներկայացվել որպես $\varphi$-ի Լեբեգի ինտեգրալ որոշակի Ռադոնի չափի նկատմամբ:

Ընդհանուր առմամբ, երբ օգտագործվում է Դիրակի դելտա ֆունկցիա տերմինը, այն բաշխումների իմաստով է, այլ ոչ թե չափերի, ընդ որում Դիրակի չափը չափերի տեսությունում համապատասխան հասկացության մի քանի տերմիններից մեկն է: Որոշ աղբյուրներ կարող են օգտագործել նաև Դիրակի դելտա բաշխում տերմինը:

Ընդհանրացումներ

Դելտա ֆունկցիան կարող է սահմանվել n-չափանի Էվկլիդյան տարածությունում Rⁿ որպես չափ, այնպես որ՝

$$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$$

յուրաքանչյուր կոմպակտ կրողով անընդհատ f ֆունկցիայի համար: Որպես չափ, n-չափանի դելտա ֆունկցիան 1-չափանի դելտա ֆունկցիաների արտադրյալ չափն է յուրաքանչյուր փոփոխականով առանձին: Այսպիսով, ձևականորեն, x = (x₁, x₂, ..., x_n)-ի համար տեղի ունի՝

$$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$$Դելտա ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև բաշխումների իմաստով՝ ճիշտ այնպես, ինչպես վերը նշված միաչափ դեպքում: Այնուամենայնիվ, չնայած ճարտարագիտական համատեքստում լայն կիրառմանը, հետ պետք է զգույշ վարվել, քանի որ բաշխումների արտադրյալը կարող է սահմանվել միայն բավականին նեղ հանգամանքներում:

Դիրակի չափի հասկացությունն իմաստ ունի ցանկացած բազմության վրա: Այսպիսով, եթե X-ը բազմություն է, x₀ ∈ X-ը նշված կետ է, իսկ Σ-ն X-ի ենթաբազմությունների ցանկացած սիգմա-ալգեբրա է, ապա A ∈ Σ բազմությունների վրա սահմանված չափը՝

$$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$$

դելտա չափն է կամ x₀ կետում կենտրոնացված միավոր զանգվածը:

Դելտա ֆունկցիայի մեկ այլ ընդհանուր ընդհանրացում դիֆերենցելի բազմաձևությունն է, որտեղ որպես բաշխում նրա հատկությունների մեծ մասը կարող է օգտագործվել նաև դիֆերենցելի կառուցվածքի շնորհիվ: M բազմաձևության վրա x₀ ∈ M կետում կենտրոնացված դելտա ֆունկցիան սահմանվում է որպես հետևյալ բաշխում՝

$$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$$M-ի վրա բոլոր կոմպակտ կրողով հարթ իրական արժեքավոր φ ֆունկցիաների համար: Այս կառուցվածքի տարածված մասնավոր դեպքն այն դեպքն է, երբ M-ը բաց բազմություն է Rⁿ Էվկլիդյան տարածությունում:

Լոկալ կոմպակտ Հաուսդորֆի տարածություն X-ի վրա x կետում կենտրոնացված Դիրակի դելտա չափը Ռադոնի չափն է՝ կապված կոմպակտ կրողով անընդհատ φ ֆունկցիաների վրա Դանիելի ինտեգրալի հետ: Ընդհանրության այս մակարդակում հաշիվն ինքնին այլևս հնարավոր չէ, սակայն աբստրակտ անալիզի մի շարք մեթոդներ հասանելի են: Օրինակ, $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$ արտապատկերումը X-ի անընդհատ ներդրումն է X-ի վրա վերջավոր Ռադոնի չափերի տարածության մեջ, որը հագեցած է իր անորոշ (vague) տոպոլոգիայով: Ավելին, այս ներդրման ներքո X-ի պատկերի ուռուցիկ թաղանթը խիտ է X-ի վրա հավանականային չափերի տարածությունում:

Հատկություններ

Մասշտաբավորում և համաչափություն

Դելտա ֆունկցիան բավարարում է մասշտաբավորման հետևյալ հատկությանը ոչ զրոյական $\alpha$ սկալյարի համար. $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha |}}$$

և այսպիսով՝ $$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$$

Մասնավորապես, դելտա ֆունկցիան զույգ բաշխում է (համաչափություն) այն իմաստով, որ՝

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

որը −1 աստիճանի համասեռ է:

Ալգեբրական հատկություններ

δ-ի բաշխումային արտադրյալը x-ի հետ հավասար է զրոյի.

$$x\,\delta (x)=0.$$

Ավելի ընդհանրացված, $(x-a)^{n}\delta (x-a)=0$ բոլոր ամբողջ դրական $n$-երի համար:

Ընդհակառակը, եթե xf(x) = xg(x), որտեղ f-ը և g-ն բաշխումներ են, ապա՝

$$f(x)=g(x)+c\delta (x)$$

ինչ-որ c հաստատունի համար:

Տեղափոխություն

Ժամանակի մեջ ուշացված Դիրակի դելտայով $\delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)$ բազմապատկված ցանկացած ֆունկցիայի ինտեգրալը՝

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

Սա երբեմն անվանվում է զտման հատկություն կամ դիսկրետացման (սեմփլինգի) հատկություն: Ասվում է, որ դելտա ֆունկցիան «զտում է» f(t)-ի արժեքը t = T կետում:

Սրանից հետևում է, որ f(t) ֆունկցիան ժամանակի մեջ ուշացված Դիրակի դելտայի հետ փաթաթելու (կոնվոլյուցիայի) ազդեցությունը f(t)-ը նույն չափով ժամանակի մեջ ուշացնելն է՝

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{քանի որ}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{ըստ (4)-ի}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

Զտման հատկությունը տեղի ունի այն ճշգրիտ պայմանով, որ f-ը լինի չափավոր բաշխում (տես Ֆուրիեի ձևափոխության քննարկումը ստորև): Որպես մասնավոր դեպք, օրինակ, ունենք հետևյալ նույնությունը (հասկացված բաշխման իմաստով)՝

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).$$

Կոմպոզիցիան ֆունկցիայի հետ

Ավելի ընդհանուր դեպքում, դելտա բաշխումը կարելի է համադրել (կոմպոզիցիայի ենթարկել) g(x) ողորկ ֆունկցիայի հետ այնպես, որ տեղի ունենա փոփոխականի փոխարինման ծանոթ բանաձևը (որտեղ $u=g(x)$), այսինքն՝

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

պայմանով, որ g-ն անընդհատ դիֆերենցելի ֆունկցիա է, որի g′-ն որևէ կետում զրո չէ։ Այսինքն՝ գոյություն ունի $\delta \circ g$ բաշխմանը իմաստ վերագրելու միակ ձև, որպեսզի այս նույնությունը տեղի ունենա կոմպակտ կրողով բոլոր f թեստային ֆունկցիաների համար։ Հետևաբար, որոշման տիրույթը պետք է տրոհվի՝ բացառելու համար g′ = 0 կետը։ Այս բաշխումը բավարարում է δ(g(x)) = 0 պայմանին, եթե g-ն որևէ կետում զրո չէ, իսկ հակառակ դեպքում, եթե g-ն ունի իրական արմատ x₀ կետում, ապա՝

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

Ուստի բնական է սահմանել δ(g(x)) կոմպոզիցիան անընդհատ դիֆերենցելի g ֆունկցիաների համար հետևյալ կերպ՝

$$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$$

որտեղ գումարը տարածվում է g(x)-ի բոլոր արմատների վրա, որոնք ենթադրվում են, որ պարզ են։ Այսպիսով, օրինակ՝

$$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$$

Ինտեգրալային տեսքով ընդհանրացված մասշտաբավորման հատկությունը կարելի է գրել որպես՝

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$$

Անորոշ ինտեգրալ

$a\in \mathbb {R}$ հաստատունի և կամայական «լավ վարք ունեցող» իրականարժեք y(x) ֆունկցիայի համար՝ $$\displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,$$ որտեղ H(x)-ը Հևիսայդի աստիճանային ֆունկցիան է, իսկ c-ն՝ ինտեգրման հաստատունը։

Հատկությունները n չափումներում

Դելտա բաշխումը n-չափանի տարածությունում փոխարենը բավարարում է հետևյալ մասշտաբավորման հատկությանը՝ $$\delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,$$ այնպես, որ δ-ն −n աստիճանի համասեռ բաշխում է։

Ցանկացած անդրադարձման կամ պտույտի ρ ազդեցության տակ դելտա ֆունկցիան ինվարիանտ է՝ $$\delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.$$

Ինչպես մեկ փոփոխականի դեպքում, հնարավոր է սահմանել δ-ի կոմպոզիցիան g: Rⁿ → Rⁿ բի-Լիպշիցյան ֆունկցիայի հետ միարժեքորեն այնպես, որ տեղի ունենա հետևյալը՝ $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}$$ կոմպակտ կրողով բոլոր f ֆունկցիաների համար։

Օգտագործելով երկրաչափական չափի տեսության կոմակերեսի բանաձևը՝ կարելի է սահմանել նաև դելտա ֆունկցիայի կոմպոզիցիան մի էվկլիդյան տարածությունից այլ չափայնություն ունեցող մեկ այլ տարածություն անցնող սուբմերսիայի հետ․ արդյունքը հոսանքի տեսակ է։ Անընդհատ դիֆերենցելի g: Rⁿ → R ֆունկցիայի մասնավոր դեպքում, որտեղ g-ի գրադիենտը որևէ կետում զրո չէ, տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})$$ որտեղ աջ կողմի ինտեգրալը g⁻¹(0)-ի վրայով է՝ g(x) = 0 հավասարմամբ որոշվող (n − 1)-չափանի մակերևույթի վրայով, Մինկովսկու պարունակության չափի նկատմամբ։ Սա հայտնի է որպես «պարզ շերտի» ինտեգրալ։

Ավելի ընդհանուր դեպքում, եթե S-ը Rⁿ-ի ողորկ հիպերմակերևույթ է, ապա մենք կարող ենք S-ին զուգորդել այն բաշխումը, որն ինտեգրում է կոմպակտ կրողով ցանկացած ողորկ g ֆունկցիա S-ի վրայով՝ $$\delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})$$

որտեղ σ-ն S-ին զուգորդված հիպերմակերևույթի չափն է։ Այս ընդհանրացումը կապված է S-ի վրա պոտենցիալի տեսության պարզ շերտի պոտենցիալների հետ։ Եթե D-ն տիրույթ է Rⁿ-ում՝ S ողորկ եզրով, ապա δ_S-ը բաշխման իմաստով հավասար է D-ի ինդիկատորային ֆունկցիայի նորմալ ածանցյալին՝

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),$$

որտեղ n-ը արտաքին նորմալն է։

Երեք չափումներում ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=(\sin \theta _{0}\cos \phi _{0},\sin \theta _{0}\sin \phi _{0},\cos \theta _{0})r_{0}$ կետում գտնվող դելտա ֆունկցիան սֆերային կոորդինատներով ներկայացված է հետևյալ կերպ՝

$$\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0}),&x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0;\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0}),&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}=\pm r_{0}\neq 0;\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0}),&x_{0}=y_{0}=z_{0}=r_{0}=0.\end{cases}}$$

Ածանցյալներ

Դիրակի դելտա բաշխման ածանցյալը, որը նշանակված է δ′ և կոչվել է նաև Դիրակի դելտա շտրիխ կամ Դիրակի դելտայի ածանցյալ, կոմպակտ կրողով ողորկ φ թեստային ֆունկցիաների վրա սահմանվել է հետևյալ կերպ՝ $$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

Առաջին հավասարությունը այստեղ ըստ մասերի ինտեգրման մի տեսակ է, քանի որ եթե δ-ն իսկական ֆունկցիա լիներ, ապա՝ $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).$$

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով δ-ի k-րդ ածանցյալը նմանապես սահմանվել է որպես բաշխում, որը թեստային ֆունկցիաների վրա տրվել է հետևյալ բանաձևով՝

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

Մասնավորապես, δ-ն անվերջ դիֆերենցելի բաշխում է։

Դելտա ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը տարբերակային քանորդների բաշխումային սահմանն է՝ $$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$$

Ավելի ճշգրիտ, առկա է հետևյալը՝ $$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$$ որտեղ տ_h-ը տեղաշարժի օպերատորն է, որը ֆունկցիաների վրա սահմանվել է տ_hφ(x) = φ(x + h) բանաձևով, իսկ S բաշխման վրա՝ $$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$$

Էլեկտրամագնիսականության տեսության մեջ դելտա ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը ներկայացրել է կոորդինատների սկզբնակետում տեղադրված կետային մագնիսական դիպոլը։ Ըստ այդմ, այն անվանվել է դիպոլ կամ կրկնակ ֆունկցիա :

Դելտա ֆունկցիայի ածանցյալը բավարարում է մի շարք հիմնական հատկությունների, ներառյալ՝ $${\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}$$ որոնք կարելի է ցույց տալ՝ կիրառելով թեստային ֆունկցիան և ինտեգրելով ըստ մասերի։

Բացի այդ, δ′-ի փաթույթը (convolution) կոմպակտ կրողով ողորկ f ֆունկցիայի հետ հետևյալն է՝

$$\delta '*f=\delta *f'=f',$$

ինչը բխում է փաթույթի բաշխումային ածանցյալի հատկություններից։

Բարձր չափումներ

Ավելի ընդհանուր դեպքում, $\mathbb {R} ^{n}$ n-չափանի Էվկլիդյան տարածության U բաց բազմության վրա a ∈ U կետում կենտրոնացված Դիրակի դելտա բաշխումը սահմանվել է հետևյալ կերպ՝ $$\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$$ բոլոր $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ ֆունկցիաների համար, որոնք U-ի վրա կոմպակտ կրողով բոլոր ողորկ ֆունկցիաների տարածությունն են։ Եթե $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$-ը կամայական բազմացուցիչ է $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ պայմանով, իսկ $\partial ^{\alpha }$-ն նշանակել է դրան համապատասխանող խառը մասնական ածանցյալի օպերատորը, ապա δ_a-ի α-րդ ∂^αδ_a ածանցյալը տրվել է հետևյալ կերպ՝

$$\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ բոլոր }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U){\text{ համար:}}$$

Այսինքն՝ δ_a-ի α-րդ ածանցյալն այն բաշխումն է, որի արժեքը ցանկացած φ թեստային ֆունկցիայի վրա a կետում φ-ի α-րդ ածանցյալն է (համապատասխան դրական կամ բացասական նշանով)։

Դելտա ֆունկցիայի առաջին մասնական ածանցյալները դիտարկվել են որպես կրկնակի շերտեր կոորդինատային հարթությունների երկայնքով։ Ավելի ընդհանուր դեպքում, մակերևույթի վրա հենված պարզ շերտի նորմալ ածանցյալը այդ մակերևույթի վրա հենված կրկնակի շերտ է և ներկայացրել է լամինար մագնիսական մոնոպոլ։ Դելտա ֆունկցիայի բարձր ածանցյալները ֆիզիկայում հայտնի են որպես մուլտիպոլներ։

Բարձր ածանցյալները մաթեմատիկա են մտել բնականորեն՝ որպես կետային կրողով բաշխումների ամբողջական կառուցվածքի կառուցվածքային միավորներ։ Եթե S-ը U-ի վրա ցանկացած բաշխում է, որը հենված է միայն մեկ կետից բաղկացած a բազմության վրա, ապա գոյություն ունեն m ամբողջ թիվ և c_α գործակիցներ այնպես, որ՝ $$S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$$

Ներկայացումներ

Դելտա ֆունկցիան կարելի է դիտարկել որպես ֆունկցիաների հաջորդականության սահման՝

$$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x).$$ Այս սահմանը հասկացվել է թույլ իմաստով․ այսինքն կամ, որ՝

$$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)$$

կոմպակտ կրողով բոլոր անընդհատ f ֆունկցիաների համար, կամ որ այս սահմանը տեղի ունի կոմպակտ կրողով բոլոր ողորկ f ֆունկցիաների համար։ Առաջինը զուգամիտությունն է չափերի անդորր (vague) տոպոլոգիայում, իսկ երկրորդը՝ զուգամիտությունը բաշխումների իմաստով։

Միավորի մոտարկումներ

η_ε մոտավոր դելտա ֆունկցիան կարելի է կառուցել հետևյալ եղանակով։ Թող η-ն լինի R-ի վրա բացարձակ ինտեգրելի ֆունկցիա՝ 1 լրիվ ինտեգրալով, և սահմանենք՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

n չափումներում դրա փոխարեն օգտագործվել է հետևյալ մասշտաբավորումը՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

Այնուհետև փոփոխականի պարզ փոխարինումը ցույց է տվել, որ η_ε-ն նույնպես ունի 1 ինտեգրալ։ Կարելի է ցույց տալ, որ տեղի ունի կոմպակտ կրողով բոլոր անընդհատ f ֆունկցիաների համար, և հետևաբար η_ε-ն թույլ իմաստով զուգամիտել է դեպի δ՝ չափերի իմաստով։

Այս եղանակով կառուցված η_ε-ն հայտնի է որպես միավորի մոտարկում (approximation to the identity): Այս տերմինաբանությունը պայմանավորված է նրանով, որ բացարձակ ինտեգրելի ֆունկցիաների L¹(R) տարածությունը փակ է ֆունկցիաների փաթույթի գործողության նկատմամբ՝ f ∗ g ∈ L¹(R), երբ f-ը և g-ն L¹(R)-ում են։ Այնուամենայնիվ, փաթույթի արտադրյալի համար L¹(R)-ում չկա միավոր տարր․ չկա այնպիսի h տարր, որ f ∗ h = f լինի բոլոր f-երի համար։ Այնուամենայնիվ, η_ε հաջորդականությունը մոտարկել է նման միավորը այն իմաստով, որ՝

$$f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{երբ }}\varepsilon \to 0:$$

Այս սահմանը տեղի ունի միջին զուգամիտության (զուգամիտություն L¹-ում) իմաստով։ η_ε-ի վրա լրացուցիչ պայմաններ են անհրաժեշտ (օրինակ՝ լինի կոմպակտ կրողով ֆունկցիային զուգորդված հարթեցուցիչ (mollifier)), որպեսզի ապահովվի կետային զուգամիտությունը գրեթե ամենուր։

Եթե սկզբնական η = η₁-ն ինքնին ողորկ է և կոմպակտ կրողով, ապա հաջորդականությունը կոչվել է հարթեցուցիչ (mollifier)։ Ստանդարտ հարթեցուցիչը ստացվել է η-ն որպես պատշաճ նորմավորված կտորային (bump) ֆունկցիա ընտրելով, օրինակ՝

$$\eta (x)={\begin{cases}{\frac {1}{I_{n}}}\exp {\Big (}-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}{\Big )}&{\text{եթե }}|x|<1\\0&{\text{եթե }}|x|\geq 1,\end{cases}}$$ (որտեղ $I_{n}$-ն ապահովել է, որ լրիվ ինտեգրալը լինի 1):

Որոշ իրավիճակներում, ինչպիսին է թվային անալիզը, ցանկալի է միավորի կտոր առ կտոր գծային մոտարկումը։ Սա կարելի է ստանալ՝ η₁-ը վերցնելով որպես գլխարկ-ֆունկցիա (hat function): η₁-ի այս ընտրությամբ ունենում ենք՝

$$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$$

որոնք բոլորն անընդհատ են և կոմպակտ կրողով, թեև ողորկ չեն և, հետևաբար, հարթեցուցիչ չեն։

Հավանականային դիտարկումներ

Հավանականությունների տեսության կոնտեքստում բնական է լրացուցիչ պայման դնել, որ միավորի մոտարկման սկզբնական η₁-ը պետք է լինի դրական, քանի որ նման ֆունկցիան այնուհետև ներկայացրել է հավանականային բաշխում։ Հավանականային բաշխման հետ փաթույթը երբեմն նպաստավոր է, քանի որ այն չի հանգեցրել վերանշման կամ թերանշման, քանի որ ելքը մուտքային արժեքների ուռուցիկ կոմբինացիա է և, հետևաբար, ընկել է մուտքային ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն արժեքների միջև։ η₁-ը որպես կամայական հավանականային բաշխում վերցնելը և, ինչպես վերևում, η_ε(x) = η₁(x/ε)/ε դնելը սկիզբ է տվել միավորի մոտարկմանը։ Ընդհանուր առմամբ, սա ավելի արագ է զուգամիտել դեպի դելտա ֆունկցիան, եթե, բացի այդ, η-ն ունեցել է 0 մաթեմատիկական սպասում և փոքր բարձր կարգի մոմենտներ։ Օրինակ, եթե η₁-ը հավասարաչափ բաշխումն է ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ միջակայքում, որը հայտնի է նաև որպես ուղղանկյուն ֆունկցիա, ապա՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{հակառակ դեպքում}}.\end{cases}}$$

Մեկ այլ օրինակ է Վիգների կիսաշրջանային բաշխումը՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{հակառակ դեպքում}}.\end{cases}}$$

Սա անընդհատ է և կոմպակտ կրողով, բայց հարթեցուցիչ չէ, որովհետև ողորկ չէ։

Կիսախմբեր

Դելտա ֆունկցիաների մոտարկումները հաճախ առաջացել են որպես փաթույթային կիսախմբեր։ Սա հանգեցրել է լրացուցիչ սահմանափակման, որ η_ε-ի փաթույթը η_δ-ի հետ պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին՝ $$\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$$

բոլոր ε, δ > 0 համար։ L¹-ում փաթույթային կիսախմբերը, որոնք մոտարկել են դելտա ֆունկցիան, միշտ միավորի մոտարկում են վերը նշված իմաստով, այնուամենայնիվ, կիսախմբի պայմանը բավականին խիստ սահմանափակում է։

Գործնականում, դելտա ֆունկցիան մոտարկող կիսախմբերն առաջացել են որպես ֆիզիկորեն հիմնավորված էլիպտական կամ պարաբոլական մասնական ածանցյալներով հավասարումների հիմնարար լուծումներ կամ Գրինի ֆունկցիաներ։ Կիրառական մաթեմատիկայի kontekstum կիսախմբերն առաջացել են որպես գծային անփոփոխ համակարգի ելք։ Աբստրակտ ձևով, եթե A-ն x-ի ֆունկցիաների վրա ազդող գծային օպերատոր է, ապա փաթույթային կիսախումբն առաջացել է հետևյալ սկզբնական պայմանով խնդիրը լուծելիս՝

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$$

որում սահմանը, ինչպես սովորաբար, հասկացվել է թույլ իմաստով։ η_ε(x) = η(ε, x) տեղադրելը տվել է համապատասխան մոտավոր դելտա ֆունկցիան։

Նման հիմնարար լուծումից առաջացող ֆիզիկապես կարևոր փաթույթային կիսախմբերի որոշ օրինակներ ներառել են հետևյալը․

Ջերմահաղորդականության միջուկը

Ջերմահաղորդականության միջուկը, որը սահմանվել է հետևյալ կերպ՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}$$ ներկայացրել է ջերմաստիճանն անվերջ լարում t > 0 պահին, եթե ջերմային էներգիայի միավորը սկզբնապես պահվել է լարի կոորդինատների սկզբնակետում t = 0 պահին։ Այս կիսախումբը զարգացել է ըստ միաչափ ջերմահաղորդականության հավասարման՝ $${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

Դիրակի ֆունկցիան որպես սահման, երբ $a\to 0$ (բաշխումների իմաստով), զրոյական կենտրոնով նորմալ բաշխումների հաջորդականության համար․ $$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$$

Հավանականությունների տեսության մեջ η_ε(x)-ը ե դիսպերսիայով և 0 մաթեմատիկական սպասումով նորմալ բաշխում է։ Այն ներկայացրել է ստանդարտ Բրոունյան շարժմանը հետևող և սկզբնակետից սկսող մասնիկի դիրքի հավանականության խտությունը t = ε պահին։ Այս kontekstum կիսախմբի պայմանն այնուհետև Բրոունյան շարժման Մարկովյան հատկության արտահայտությունն է։

Ավելի բարձր չափայնությամբ էվկլիդյան Rⁿ տարածությունում ջերմահաղորդականության միջուկը հետևյալն է՝ $$\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},$$ և ունեցել է նույն ֆիզիկական իմաստը, mutatis mutandis ։ Այն ներկայացրել է նաև դելտա ֆունկցիայի մոտարկումն այն իմաստով, որ η_ε → δ բաշխման իմաստով, երբ ε → 0։

Պուասոնի միջուկը

Պուասոնի միջուկը՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi$$

վերին կիսահարթությունում Լապլասի հավասարման հիմնարար լուծումն է։ Այն ներկայացրել է էլեկտրոստատիկ պոտենցիալը կիսաանվերջ թիթեղում, որի պոտենցիալը եզրի երկայնքով պահպանվել է դելտա ֆունկցիայի վրա ֆիքսված։ Պուասոնի միջուկը սերտորեն կապված է նաև Կոշիի բաշխման և Էպանեչնիկովի ու Գաուսի միջուկային ֆունկցիաների հետ։ Այս կիսախումբը զարգացել է հետևյալ հավասարման համաձայն՝ $${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)$$

որտեղ օպերատորը ճշգրտորեն սահմանվել է որպես Ֆուրիեի բազմապատկիչ՝ $${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ):$$

Տատանողական ինտեգրալներ

Ֆիզիկայի այնպիսի ոլորտներում, ինչպիսիք են ալիքների տարածումը և ալիքային մեխանիկան, ներգրավված հավասարումները հիպերբոլական են, ուստի կարող են ունենալ ավելի եզակի լուծումներ։ Արդյունքում, մոտավոր դելտա ֆունկցիաները, որոնք առաջացել են որպես համապատասխան Կոշիի խնդիրների հիմնարար լուծումներ, ընդհանուր առմամբ տատանողական ինտեգրալներ են։ Օրինակ, որն առաջացել է ձայնամերձ գազային դինամիկայի Էյլեր-Տրիկոմիի հավասարման լուծումից, վերամասշտաբավորված Էյրիի ֆունկցիան է՝ $$\varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right):$$

Թեև, օգտագործելով Ֆուրիեի ձևափոխությունը, հեշտ է տեսնել, որ սա որոշակի իմաստով առաջացրել է կիսախումբ, այն բացարձակ ինտեգրելի չէ, ուստի չի կարող սահմանել կիսախումբ վերը նշված խիստ իմաստով։ Որպես տատանողական ինտեգրալներ կառուցված շատ մոտավոր դելտա ֆունկցիաներ զուգամիտել են միայն բաշխումների իմաստով (օրինակ է ստորև բերված Դիրիխլեի միջուկը), այլ ոչ թե չափերի իմաստով։

Մեկ այլ օրինակ է ալիքային հավասարման համար Կոշիի խնդիրը R¹⁺¹-ում՝ $${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{երբ }}t=0:\end{aligned}}$$

u լուծումը ներկայացրել է անվերջ առանձգական լարի շեղումը հավասարակշռության վիճակից՝ t = 0 պահին սկզբնակետում ունենալով սկզբնական խոտորում։

Այս տեսակի միավորի այլ մոտարկումները ներառել են sinc ֆունկցիան (որը լայնորեն օգտագործվել է էլեկտրոնիկայում և հեռահաղորդակցության մեջ)՝ $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk$$

և Բեսելի ֆունկցիան $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).$$

Հարթ ալիքային վերլուծություն

Գծային մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարման ուսումնասիրության մոտեցումներից մեկը $$L[u]=f,$$

որտեղ L-ը դիֆերենցիալ օպերատոր է Rⁿ-ի վրա, նախ հիմնարար լուծում փնտրելն է, որը հանդիսանում է հետևյալ հավասարման լուծումը $$L[u]=\delta .$$

Երբ L-ը բավականաչափ պարզ է, այս խնդիրը հաճախ կարող է լուծվել անմիջականորեն Ֆուրիեի ձևափոխության կիրառմամբ (ինչպես արդեն հիշատակված Պուասոնի միջուկի և ջերմահաղորդականության միջուկի դեպքում)։ Ավելի բարդ օպերատորների համար երբեմն ավելի հեշտ է նախ դիտարկել հետևյալ տեսքի հավասարումը $$L[u]=h$$

որտեղ h-ը հարթ ալիքային ֆունկցիա է, ինչը նշանակում է, որ այն ունի հետևյալ տեսքը $$h=h(x\cdot \xi )$$

որոշակի ξ վեկտորի համար։ Նման հավասարումը կարող է լուծվել (եթե L-ի գործակիցները անալիտիկ ֆունկցիաներ են) Կոշի–Կովալևսկայայի թեորեմի միջոցով կամ (եթե L-ի գործակիցները հաստատուն են) քվադրատուրաներով։ Այսպիսով, եթե դելտա ֆունկցիան կարող է վերլուծվել հարթ ալիքների, ապա սկզբունքորեն կարելի է լուծել գծային մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները։

Դելտա ֆունկցիայի նման վերլուծությունը հարթ ալիքների եղել է ընդհանուր մեթոդի մաս, որն էապես առաջին անգամ ներմուծվել է Յոհան Ռադոնի կողմից, իսկ այնուհետև այս տեսքով մշակվել է Ֆրից Ջոնի կողմից (1955)։ Ընտրված է k-ն այնպես, որ n + k-ն լինի զույգ ամբողջ թիվ, և s իրական թվի համար դրված է $$g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ կենտ}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ զույգ.}}\end{cases}}$$

Այնուհետև δ-ն ստացվել է Լապլասի օպերատորի աստիճանը Sⁿ⁻¹ միավոր ոլորտի վրա ξ-ի համար g(x · ξ)-ի dω ոլորտի չափով ինտեգրալի նկատմամբ կիրառելով. $$\delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Լապլասի օպերատորն այստեղ մեկնաբանված է որպես թույլ ածանցյալ, այնպես որ այս հավասարումը հասկացվել է այն իմաստով, որ ցանկացած φ թեստային ֆունկցիայի համար, $$\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Արդյունքը բխել է Նյուտոնյան պոտենցիալի բանաձևից (Պուասոնի հավասարման հիմնարար լուծումը)։ Սա ըստ էության Ռադոնի ձևափոխության շրջման բանաձևի ձև է, քանի որ այն վերականգնել է φ(x)-ի արժեքը հիպերհարթությունների վրայով դրա ինտեգրալներից։ Օրինակ, եթե n-ը կենտ է և k = 1, ապա աջ մասի ինտեգրալը կազմել է $${\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}$$

որտեղ Rφ(ξ, p)-ն φ-ի Ռադոնի ձևափոխությունն է. $$R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$$

Հարթ ալիքային վերլուծության այլընտրանքային համարժեք արտահայտություն է. $$\delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ զույգ}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ կենտ}}.\end{cases}}$$

Ֆուրիեի ձևափոխություն

Դելտա ֆունկցիան չափավորված բաշխում է, և հետևաբար ունի լավ սահմանված Ֆուրիեի ձևափոխություն։ Ձևականորեն ստացվել է

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

Խստորեն ասած, բաշխման Ֆուրիեի ձևափոխությունը սահմանվել է չափավորված բաշխումների զուգորդված զույգի $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ներքո Ֆուրիեի ձևափոխության ինքնահամալուծության պահանջով՝ Շվարցի ֆունկցիաների հետ։ Այսպիսով ${\widehat {\delta }}$-ն սահմանվել է որպես միակ չափավորված բաշխում, որը բավարարել է

$$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$$

պայմանին բոլոր φ Շվարցի ֆունկցիաների համար։ Եվ իսկապես սրանից հետևել է, որ ${\widehat {\delta }}=1.$

Այս նույնության հետևանքով, դելտա ֆունկցիայի փաթույթը ցանկացած այլ S չափավորված բաշխման հետ պարզապես S-ն է.

$$S*\delta =S.$$

Այսինքն δ-ն չափավորված բաշխումների փաթույթի համար միավոր տարր է, և ըստ էության, փաթույթի նկատմամբ կոմպակտ կրողով բաշխումների տարածությունը ասոցիատիվ ալգեբրա է՝ միավոր տարր ունենալով դելտա ֆունկցիան։ Այս հատկությունը հիմնարար է ազդանշանների մշակման մեջ, քանի որ չափավորված բաշխման հետ փաթույթը գծային ժամանակից անկախ համակարգ է, և գծային ժամանակից անկախ համակարգի կիրառումը չափել է դրա իմպուլսային արձագանքը։ Իմպուլսային արձագանքը կարող է հաշվարկվել ցանկացած ցանկալի ճշգրտությամբ՝ δ-ի համար համապատասխան մոտարկում ընտրելով, և երբ այն հայտնի է դարձել, այն ամբողջությամբ բնութագրել է համակարգը։

f(ξ) = 1 չափավորված բաշխման հակադարձ Ֆուրիեի ձևափոխությունը դելտա ֆունկցիան է։ Ձևականորեն սա արտահայտվել է որպես $$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)$$ և ավելի խիստ, դա հետևել է, քանի որ $$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$ բոլոր f Շվարցի ֆունկցիաների համար։

Այս տերմիններով, դելտա ֆունկցիան ապահովել է R-ի վրա Ֆուրիեի միջուկի օրթոգոնալության հատկության ակնառու պնդումը։ Ձևականորեն ստացվել է $$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).$$

Սա, իհարկե, կրճատ գրառում է այն հաստատման համար, որ $$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$$ չափավորված բաշխման Ֆուրիեի ձևափոխությունը $${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$$ է, ինչը նորից հետևել է Ֆուրիեի ձևափոխության ինքնահամալուծության պահանջից։

Ֆուրիեի ձևափոխության անալիտիկ շարունակությամբ, դելտա ֆունկցիայի Լապլասի ձևափոխությունը գտնվել է հետևյալ տեսքով. $$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$$

Ֆուրիեի միջուկներ

Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության մեջ հիմնական հարցը կայացել է նրանում, թե արդյոք և ինչ իմաստով է պարբերական ֆունկցիային զուգորդված Ֆուրիեի շարքը զուգամիտել տվյալ ֆունկցիային։ 2π պարբերությամբ f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի n-րդ մասնակի գումարը սահմանվել է փաթույթով (−π,π միջակայքում) Դիրիխլեի միջուկի հետ. $$D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$$ Այսպիսով, $$s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$$ որտեղ $$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$$ Տարրական Ֆուրիեի շարքերի հիմնարար արդյունքը պնդել է, որ −π,π միջակայքով սահմանափակված Դիրիխլեի միջուկը ձգտել է դելտա ֆունկցիայի պատիկին, երբ N → ∞։ Սա մեկնաբանվել է բաշխման իմաստով, որ $$s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$ յուրաքանչյուր կոմպակտ կրողով անընդհատ դիֆերենցելի f ֆունկցիայի համար։ Այսպիսով, ձևականորեն ստացվել է $$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}$$ −π,π միջակայքում։

Չնայած սրան, արդյունքը չի պահպանվել բոլոր կոմպակտ կրողով անընդհատ ֆունկցիաների համար. այսինքն D_N-ը չափերի իմաստով թույլ չի զուգամիտել։ Ֆուրիեի շարքի զուգամիտության բացակայությունը հանգեցրել է տարբեր գումարելիության մեթոդների ներմուծմանը՝ զուգամիտություն ստանալու համար։ Չեզարոյի գումարման մեթոդը հանգեցրել է Ֆեյերի միջուկին $$F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$$

Ֆեյերի միջուկները ձգտել են դելտա ֆունկցիային ավելի ուժեղ իմաստով, այն է՝ $$\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$

յուրաքանչյուր կոմպակտ կրողով անընդհատ f ֆունկցիայի համար։ Հետևությունն այն է, որ ցանկացած անընդհատ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը Չեզարոյի իմաստով գումարելի է եղել ֆունկցիայի արժեքին յուրաքանչյուր կետում։

Հիլբերտյան տարածության տեսություն

Դիրակի դելտա բաշխումը ամենուր խիտ սահմանված անսահմանափակ գծային ֆունկցիոնալ է քվադրատով ինտեգրելի ֆունկցիաների L² Հիլբերտյան տարածության վրա։ Իսկապես, հարթ կոմպակտ կրողով ֆունկցիաները խիտ են L²-ում, և դելտա բաշխման ազդեցությունը նման ֆունկցիաների վրա լավ սահմանված է եղել։ Շատ կիրառություններում հնարավոր է եղել նույնականացնել L²-ի ենթատարածությունները և տալ ավելի ուժեղ տոպոլոգիա, որի վրա դելտա ֆունկցիան սահմանել է սահմանափակ գծային ֆունկցիոնալ։

Սոբոլևի տարածություններ

R իրական ուղղի վրա Սոբոլևի տարածությունների համար Սոբոլևի ներդրման թեորեմը հանգեցրել է նրան, որ ցանկացած քվադրատով ինտեգրելի f ֆունկցիա, այնպիսին որ

$$\|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty$$

ինքնաբերաբար անընդհատ է, և բավարարել է մասնավորապես

$$\delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}$$

պայմանին։ Այսպիսով δ-ն սահմանափակ գծային ֆունկցիոնալ է H¹ Սոբոլևի տարածության վրա։ Համարժեքորեն δ-ն H¹-ի անընդհատ լծորդ տարածության՝ H⁻¹-ի տարր է։ Ավելի ընդհանուր, n չափումներում, ստացվել է δ ∈ H^−s(Rⁿ), պայմանով որ s > n2։

Հոլոմորֆ ֆունկցիաների տարածություններ

Կոմպլեքս անալիզում դելտա ֆունկցիան հայտնվել է Կոշիի ինտեգրալային բանաձևի միջոցով, որը պնդել է, որ եթե D-ն հարթ եզրով տիրույթ է կոմպլեքս հարթության մեջ, ապա

$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D$$

D-ում բոլոր հոլոմորֆ ֆունկցիաների համար, որոնք անընդհատ են D-ի փակման վրա։ Արդյունքում, δ_z դելտա ֆունկցիան ներկայացվել է հոլոմորֆ ֆունկցիաների այս դասում Կոշիի ինտեգրալով.

$$\delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.$$

Ավելին, դիցուք H²(∂D)-ն Հարդիի տարածությունն է, որը կազմված է D-ում բոլոր հոլոմորֆ ֆունկցիաների L²(∂D)-ում փակումից, որոնք անընդհատ են մինչև D-ի եզրը։ Այնուհետև H²(∂D)-ի ֆունկցիաները միարժեքորեն շարունակվել են D-ում հոլոմորֆ ֆունկցիաների, և Կոշիի ինտեգրալային բանաձևը շարունակել է պահպանվել։ Մասնավորապես z ∈ D-ի համար, δ_z դելտա ֆունկցիան անընդհատ գծային ֆունկցիոնալ է H²(∂D)-ի վրա։ Սա բազմաչափ կոմպլեքս անալիզի իրավիճակի մասնավոր դեպքն է, որտեղ, հարթ D տիրույթների համար, Սեգյոյի միջուկը կատարել է Կոշիի ինտեգրալի դերը։

Դելտա ֆունկցիայի մեկ այլ ներկայացում հոլոմորֆ ֆունկցիաների տարածությունում դիտարկվել է $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ բաց բազմությունում քվադրատով ինտեգրելի հոլոմորֆ ֆունկցիաների $H(D)\cap L^{2}(D)$ տարածության վրա։ Սա $L^{2}(D)$-ի փակ ենթատարածություն է, և հետևաբար Հիլբերտյան տարածություն է։ Մյուս կողմից, $H(D)\cap L^{2}(D)$-ում հոլոմորֆ ֆունկցիան $D$-ի $z$ կետում հաշվող ֆունկցիոնալը անընդհատ ֆունկցիոնալ է, և այսպիսով Ռիսի ներկայացման թեորեմով ներկայացվել է $K_{z}(\zeta )$ միջուկի՝ Բերգմանի միջուկի նկատմամբ ինտեգրմամբ։ Այս միջուկը դելտա ֆունկցիայի համանմանն է այս Հիլբերտյան տարածությունում։ Նման միջուկ ունեցող Հիլբերտյան տարածությունը կոչվել է վերարտադրող միջուկով Հիլբերտյան տարածություն։ Միավոր սկավառակի մասնավոր դեպքում ստացվել է $$\delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.$$

Միավորի վերլուծություններ

Տրված լինելով ֆունկցիաների լրիվ օրթոնորմալ հենք սեպարաբել Հիլբերտյան տարածությունում, օրինակ՝ կոմպակտ ինքնահամալուծ օպերատորի նորմավորված սեփական վեկտորները, ցանկացած f վեկտոր կարող է արտահայտվել որպես $$f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.$$ {α_n} գործակիցները գտնվել են որպես $$\alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,$$ ինչը կարող է ներկայացվել հետևյալ նշանակմամբ. $$\alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,$$ Դիրակի բրա-կետ նշանակման ձևով։ Ընդունելով այս նշանակումը, f-ի վերլուծությունը ընդունել է դիադիկ տեսք. $$f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).$$

Թույլ տալով, որ I-ն նշանակի Հիլբերտյան տարածության վրա միավոր օպերատորը, հետևյալ արտահայտությունը $$I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$ կոչվել է միավորի վերլուծություն։ Երբ Հիլբերտյան տարածությունը D տիրույթում քվադրատով ինտեգրելի ֆունկցիաների L²(D) տարածությունն է, հետևյալ քանակությունը. $$\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$

ինտեգրալային օպերատոր է, և f-ի համար արտահայտությունը կարող է վերագրվել $$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .$$

Աջ մասը L² իմաստով զուգամիտել է f-ին։ Այն պարտադիր չէ, որ պահպանվի կետ առ կետ իմաստով, նույնիսկ երբ f-ն անընդհատ ֆունկցիա է։ Այնուամենայնիվ, սովորական է եղել չարաշահել նշանակումը և գրել $$f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,$$ ինչի արդյունքում ստացվել է դելտա ֆունկցիայի ներկայացումը. $$\delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).$$

Համապատասխան օժանդակված Հիլբերտյան տարածությունով (Φ, L²(D), Φ*) որտեղ Φ ⊂ L²(D)-ն պարունակել է բոլոր կոմպակտ կրողով հարթ ֆունկցիաները, այս գումարը կարող է զուգամիտել Φ*-ում՝ կախված φ_n հենքի հատկություններից։ Գործնական հետաքրքրություն ներկայացնող դեպքերի մեծ մասում, օրթոնորմալ հենքը առաջացել է ինտեգրալ կամ դիֆերենցիալ օպերատորից (օրինակ՝ ջերմահաղորդականության միջուկը), որի դեպքում շարքը զուգամիտել է բաշխման իմաստով։

Անվերջ փոքր դելտա ֆունկցիաներ

Կոշին օգտագործել է անվերջ փոքր α-ն՝ գրելու միավոր իմպուլս, անվերջ բարձր և նեղ Դիրակի տիպի δ_α դելտա ֆունկցիա, որը բավարարել է ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$ պայմանին 1827 թվականի մի շարք հոդվածներում։ Կոշին սահմանել է անվերջ փոքրը Cours d'Analyse-ում (1827) զրոյի ձգտող հաջորդականության միջոցով։ Այսինքն, նման զրոյական հաջորդականությունը դարձել է անվերջ փոքր Կոշիի և Լազար Կառնոյի տերմինաբանությունում։

Ոչ ստանդարտ անալիզը թույլ է տվել խստորեն դիտարկել անվերջ փոքրերը։ Yamashita (2007) հոդվածը պարունակել է մատենագիտություն ժամանակակից Դիրակի դելտա ֆունկցիաների վերաբերյալ՝ հիպերիրական թվերով ապահովված անվերջ փոքրերով հարստացված կոնտինուումի համատեքստում։ Այստեղ Դիրակի դելտան կարող է տրվել իրական ֆունկցիայով, ունենալով այն հատկությունը, որ յուրաքանչյուր իրական F ֆունկցիայի համար ստացվել է ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$, ինչպես կանխատեսել են Ֆուրիեն և Կոշին։

Դիրակի սանր

Դիրակի սանրը Դիրակի դելտա ֆունկցիաների անվերջ շարք է՝ դասավորված T ինտերվալներով

Դիրակի դելտա չափերի այսպես կոչված համաչափ «իմպուլսների շարքը», որը հայտնի է որպես Դիրակի սանր, կամ որպես Շա բաշխում, ստեղծել է սկավառակավորման ֆունկցիա, որը հաճախ օգտագործվել է թվային ազդանշանների մշակման (DSP) և դիսկրետ ժամանակով ազդանշանների անալիզում։ Դիրակի սանրը տրվել է որպես անվերջ գումար, որի սահմանը հասկացվել է բաշխման իմաստով, $$\operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$$ որը կետային զանգվածների հաջորդականություն է յուրաքանչյուր ամբողջ թվում։

Մինչև ընդհանուր նորմավորող հաստատունի ճշտությամբ, Դիրակի սանրը հավասար է եղել իր սեփական Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Սա նշանակալի է, քանի որ եթե f-ը ցանկացած Շվարցի ֆունկցիա է, ապա f-ի պարբերացումը տրվել է փաթույթով $$(f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$$ Մասնավորապես, $$(f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}}$$ ճշգրտորեն Պուասոնի գումարման բանաձևն է։ Ավելի ընդհանուր, այս բանաձևը ճշմարիտ է մնացել, եթե f-ը արագ նվազող չափավորված բաշխում է, կամ, համարժեքորեն, եթե ${\widehat {f}}$-ը դանդաղ աճող, սովորական ֆունկցիա է չափավորված բաշխումների տարածությունում։

Սոխոցկի–Պլեմելի թեորեմ

Սոխոցկի–Պլեմելի թեորեմը, որը կարևոր է քվանտային մեխանիկայում, կապել է դելտա ֆունկցիան p.v. 1x բաշխման հետ, որը 1x ֆունկցիայի Կոշիի գլխավոր արժեքն է՝ սահմանված

$$\left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.$$

Սոխոցկու բանաձևը պնդել է, որ

$$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$$

Այստեղ սահմանը հասկացվել է բաշխման իմաստով, որ բոլոր կոմպակտ կրողով հարթ f ֆունկցիաների համար,

$$\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$$

Կապը Կրոնեկերի դելտայի հետ

Կրոնեկերի դելտան՝ δ_ij-ն, հետևյալ կերպ սահմանված մեծությունն է

$$\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$$

բոլոր i, j ամբողջ թվերի համար։ Այս ֆունկցիան այնուհետև բավարարել է մաղման հատկության հետևյալ համանմանին. եթե a_i-ն (բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունում i-ի համար) ցանկացած կրկնակի անվերջ հաջորդականություն է, ապա

$$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$$

Նմանապես, R-ի վրա ցանկացած իրական կամ կոմպլեքս արժեքներով անընդհատ f ֆունկցիայի համար, Դիրակի դելտան բավարարել է մաղման հատկությանը

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$$

Սա ցույց է տվել Կրոնեկերի դելտա ֆունկցիան որպես Դիրակի դելտա ֆունկցիայի դիսկրետ համանման։

Կիրառություններ

Հավանականությունների տեսություն

Հավանականությունների տեսության և վիճակագրության մեջ Դիրակի դելտա ֆունկցիան հաճախ օգտագործվել է դիսկրետ բաշխում, կամ մասամբ դիսկրետ, մասամբ անընդհատ բաշխում ներկայացնելու համար՝ օգտագործելով հավանականության խտության ֆունկցիան (որը սովորաբար օգտագործվել է բացարձակ անընդհատ բաշխումներ ներկայացնելու համար)։ Օրինակ, x = x₁, ..., x_n կետերից կազմված դիսկրետ բաշխման f(x) հավանականության խտության ֆունկցիան, համապատասխան p₁, ..., p_n հավանականություններով, կարող է գրվել որպես

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

Որպես մեկ այլ օրինակ, դիտարկվի բաշխում, որում ժամանակի 6/10 մասում վերադարձվել է ստանդարտ նորմալ բաշխում, իսկ ժամանակի 4/10 մասում վերադարձվել է ճշգրիտ 3.5 արժեքը (այսինքն՝ մասամբ անընդհատ, մասամբ դիսկրետ խառնուրդային բաշխում)։ Այս բաշխման խտության ֆունկցիան կարող է գրվել որպես

$$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$$

Դելտա ֆունկցիան օգտագործվել է նաև անընդհատ դիֆերենցելի ֆունկցիայով ձևափոխված պատահական մեծության ստացված հավանականության խտության ֆունկցիան ներկայացնելու համար։ Եթե Y = g(X)-ը անընդհատ դիֆերենցելի ֆունկցիա է, ապա Y-ի խտությունը կարող է գրվել որպես

$$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.$$

Դելտա ֆունկցիան օգտագործվել է նաև բոլորովին այլ ձևով՝ դիֆուզիոն պրոցեսի (ինչպես Բրաունյան շարժումը) տեղային ժամանակը ներկայացնելու համար։ B(t) պատահական պրոցեսի տեղային ժամանակը տրվել է

$$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$$

արտահայտությամբ և ներկայացրել է այն ժամանակահատվածը, որը պրոցեսն անցկացրել է x կետում պրոցեսի տիրույթում։ Ավելի ճշգրիտ, մեկ չափման մեջ այս ինտեգրալը կարող է գրվել

$$\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$$

որտեղ $\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}$-ը $[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]$ միջակայքի ինդիկատոր ֆունկցիան է։

Քվանտային մեխանիկա

Դելտա ֆունկցիան նպատակահարմար է քվանտային մեխանիկայում։ Մասնիկի ալիքային ֆունկցիան տալիս է տարածության տրված տիրույթում մասնիկին գտնելու հավանականության ամպլիտուդը։ Ալիքային ֆունկցիաները ենթադրվել են, որ քվադրատով ինտեգրելի ֆունկցիաների L² Հիլբերտյան տարածության տարրեր են, և տրված միջակայքում մասնիկին գտնելու ընդհանուր հավանականությունը եղել է միջակայքի վրա ալիքային ֆունկցիայի մոդուլի քառակուսու ինտեգրալը։ Ալիքային ֆունկցիաների φ_n բազմությունը օրթոնորմալ է, եթե

$$\langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},$$

որտեղ δ_nm-ը Կրոնեկերի դելտան է։ Օրթոնորմալ ալիքային ֆունկցիաների բազմությունը լրիվ է քվադրատով ինտեգրելի ֆունկցիաների տարածությունում, եթե ցանկացած ψ ալիքային ֆունկցիա կարող է արտահայտվել որպես φ_n-ի գծային կոմբինացիա՝ կոմպլեքս գործակիցներով.

$$\psi =\sum c_{n}\varphi _{n},$$

որտեղ c_n = φ_n|ψ։ Օրթոնորմալ ալիքային ֆունկցիաների լրիվ համակարգերը բնականորեն հայտնվել են որպես քվանտային մեխանիկայում Համիլտոնյանի (կապված համակարգի) սեփական ֆունկցիաներ, որը չափել է էներգիայի մակարդակները, որոնք կոչվել են սեփական արժեքներ։ Սեփական արժեքների բազմությունը այս դեպքում հայտնի է որպես Համիլտոնյանի սպեկտր։ Բրա-կետ նշանակման մեջ այս հավասարությունը հանգեցրել է միավորի վերլուծությանը.

$$I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.$$

Այստեղ սեփական արժեքները ենթադրվել են դիսկրետ, սակայն դիտարկելիի սեփական արժեքների բազմությունը կարող է լինել նաև անընդհատ։ Օրինակ է կոորդինատի օպերատորը՝ Qψ(x) = xψ(x)։ Կոորդինատի սպեկտրը (մեկ չափման մեջ) ամբողջ իրական ուղիղն է և կոչվել է անընդհատ սպեկտր։ Այնուամենայնիվ, ի տարբերություն Համիլտոնյանի, կոորդինատի օպերատորը չունի սեփական սեփական ֆունկցիաներ։ Այս թերությունը հաղթահարելու սովորական եղանակն է եղել ընդլայնել հասանելի ֆունկցիաների դասը՝ թույլատրելով նաև բաշխումներ, այսինքն՝ Հիլբերտյան տարածությունը փոխարինել օժանդակված Հիլբերտյան տարածությամբ։ Այս համատեքստում, կոորդինատի օպերատորն ունեցել է ընդհանրացված սեփական ֆունկցիաների լրիվ բազմություն, նշանակված իրական ուղղի y կետերով, տրված հետևյալ կերպ.

$$\varphi _{y}(x)=\delta (x-y).$$

Կոորդինատի օպերատորի ընդհանրացված սեփական ֆունկցիաները կոչվել են սեփական կետեր և նշանակվել են φ_y = 'y-ով։

Նմանատիպ դիտարկումները կիրառվել են անընդհատ սպեկտրով և ոչ այլասերված սեփական արժեքներով ցանկացած այլ (անսահմանափակ) ինքնահամալուծ օպերատորի նկատմամբ, ինչպիսին է իմպուլսի օպերատորը՝ P-ն։ Այդ դեպքում գոյություն է ունեցել իրական թվերի Ω բազմություն (սպեկտրը) և φ_y բաշխումների հավաքածու y ∈ Ω-ի համար, այնպիսին որ

$$P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.$$

Այսինքն, φ_y-ները P-ի ընդհանրացված սեփական վեկտորներն են։ Եթե դրանք կազմել են «օրթոնորմալ հենք» բաշխման իմաստով, այն է՝

$$\langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),$$

ապա ցանկացած ψ թեստային ֆունկցիայի համար,

$$\psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy$$

որտեղ c(y) = ⟨y⟩։ Այսինքն, գոյություն է ունեցել միավորի վերլուծություն

$$I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy$$

որտեղ օպերատորային արժեքներով ինտեգրալը նորից հասկացվել է թույլ իմաստով։ Եթե P-ի սպեկտրն ունեցել է և՛ անընդհատ, և՛ դիսկրետ մասեր, ապա միավորի վերլուծությունը ներառել է գումարում դիսկրետ սպեկտրի վրայով և ինտեգրալ անընդհատ սպեկտրի վրայով։

Դելտա ֆունկցիան ունեցել է նաև բազմաթիվ ավելի մասնագիտացված կիրառություններ քվանտային մեխանիկայում, ինչպիսիք են դելտա պոտենցիալի մոդելները մեկ և կրկնակի պոտենցիալային փոսերի համար։

Կառուցվածքային մեխանիկա

Դելտա ֆունկցիան կարող է օգտագործվել կառուցվածքային մեխանիկայում՝ կառուցվածքների վրա ազդող անցողիկ բեռնվածքները կամ կետային բեռնվածքները նկարագրելու համար։ Զանգված-զսպանակ պարզ համակարգի ղեկավարող հավասարումը, որը գրգռվել է t = 0 պահին հանկարծակի I ուժային իմպուլսով, կարող է գրվել $$m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$$ որտեղ m-ը զանգվածն է, ξ-ն՝ շեղումը, իսկ k-ն՝ զսպանակի կոշտությունը։

Որպես մեկ այլ օրինակ, բարակ հեծանի ստատիկ շեղումը ղեկավարող հավասարումն է, ըստ Էյլեր-Բեռնուլիի տեսության,

$$EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),$$

որտեղ EI-ն հեծանի ծռման կոշտությունն է, w-ն՝ շեղումը, x-ը՝ տարածական կոորդինատը, իսկ q(x)-ը՝ բեռնվածքի բաշխումը։ Եթե հեծանը բեռնավորվել է x = x₀ կետում F կետային ուժով, բեռնվածքի բաշխումը գրվել է

$$q(x)=F\delta (x-x_{0}).$$

Քանի որ դելտա ֆունկցիայի ինտեգրումը հանգեցրել է Հևիսայդի ֆունկցիային, հետևել է, որ բազմակի կետային բեռնվածքների ենթարկված բարակ հեծանի ստատիկ շեղումը նկարագրվել է կտոր առ կտոր բազմանդամների հավաքածուով։

Նաև, հեծանի վրա ազդող կետային մոմենտը կարող է նկարագրվել դելտա ֆունկցիաներով։ Դիտարկվի երկու հակադիր F կետային ուժեր իրարից d հեռավորության վրա։ Դրանք այնուհետև առաջացրել են M = Fd մոմենտ, որն ազդել է հեծանի վրա։ Այժմ, թույլ տրվի, որ d հեռավորությունը ձգտի զրո սահմանին, մինչդեռ M-ը պահպանվել է հաստատուն։ Բեռնվածքի բաշխումը, ենթադրելով x = 0 կետում ազդող ժամսլաքի ուղղությամբ մոմենտ, գրվել է

$${\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}$$

Կետային մոմենտները այսպիսով կարող են ներկայացվել դելտա ֆունկցիայի ածանցյալով։ Հեծանի հավասարման ինտեգրումը նորից հանգեցրել է կտոր առ կտոր բազմանդամային շեղման

Գրականություն

• Sobolev Spaces (2nd ed.), 2003, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Mathematical Methods for Physicists. Boston: Academic Press. 2005. ISBN 0-12-088584-0.
• A Short Course in Mathematical Methods with Maple, World Scientific, 2006, ISBN 978-981-256-461-0.
• Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, Massachusetts: Academic Press, 2000, ISBN 978-0-12-059825-0.
• Probability and measure (2nd ed.), 1986
• Elementary differential equations and boundary value problems. Hoboken, NJ: Wiley. 2017. ISBN 978-1-119-37792-4.
• The Fourier Transform and Its Applications (2nd ed.), McGraw-Hill, 1986, Bibcode:1986ftia.book.....B.
• The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), McGraw-Hill, 2000.
• «La formule sommatoire de Poisson», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376, 1988.
• Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience, 1962.
• Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica, Academic Press, 2000, ISBN 978-0-12-206349-7.
• Integral Transforms and Their Applications (2nd ed.), CRC Press, 2007, ISBN 978-1-58488-575-7.
• Treatise on analysis. Vol. II, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1976, ISBN 978-0-12-215502-4.
• Treatise on analysis. Vol. III, Boston, Massachusetts: Academic Press, 1972, MR 0350769.
• «The physical interpretation of the quantum dynamics», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (անգլերեն), 113 (765): 621–641, January 1927, Bibcode:1927RSPSA.113..621D, doi:10.1098/rspa.1927.0012, ISSN 0950-1207, S2CID 122855515.
• The Principles of Quantum Mechanics (4th, revised ed.), Oxford University Press, 1967, ISBN 0-19-852011-5
• Encyclopedia of Optical Engineering, CRC Press, 2003, Bibcode:2003eoe..book.....D, ISBN 978-0-8247-0940-2.
• Distributions: Theory and applications, Springer, 2010.
• The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom, Basic Books, 2009, ISBN 978-0-465-02210-6.
• Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, 1969, էջեր xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
• The Analytical Theory of Heat (English translation by Alexander Freeman, 1878 ed.), The University Press, 1822.
• «Vertex operator algebras», Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008, ISBN 978-1400830398.
• Generalized functions, vol. 1–5, Academic Press, 1966–1968, ISBN 9781483262246.
• Introduction to the Theory of Distributions. Toronto [Ontario]: University of Toronto Press. 1952. ISBN 978-1-4875-9132-8..
• Signals, sound, and sensation, Springer, 1997.
• Encyclopaedia of Mathematics (set) (անգլերեն), Springer Science & Business Media, 1995, ISBN 978-1-55608-010-4.
• «On Operators in Physical Mathematics. Part I», Proceedings of the Royal Society of London, 52 (315–320): 504–529, 1893, doi:10.1098/rspl.1892.0093.
• «On Operators in Physical Mathematics. Part II», Proceedings of the Royal Society of London, 54 (326–330): 105–143, 1894, doi:10.1098/rspl.1893.0059.
• Encyclopaedia of mathematics. Vol. 10. Springer. 2011. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC 751862625.
• Real and abstract analysis, Springer-Verlag, 1963.
• The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, 1983, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, MR 0717035.
• Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations, Imperial College Press, 1995, Bibcode:1995lqtm.book.....I, ISBN 978-81-7764-190-5.
• A Student's Guide to Fourier Transforms: With Applications in Physics and Engineering (2nd ed.), 2002.
• Linear Algebra and Ordinary Differential Equations, 1993, էջ 639
• «Examples of the Zeroth Theorem of the History of Science», American Journal of Physics, 76 (8): 704–719, August 1, 2008, Bibcode:2008AmJPh..76..704J, doi:10.1119/1.2904468, ISSN 0002-9505, OSTI 929336.
• The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1966, ISBN 978-0-88318-617-6.
• Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, New York-London: Interscience Publishers, 1955, MR 0075429. Վերատպված է, Dover Publications, 2004, 9780486438047.
• Kawau, Takahiro; Fujita, Keiko, eds. (2002), «Fourier's hyperfunctions and Heaviside's pseudodifferential operators», Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis, World Scientific, ISBN 978-981-238-161-3.
• Brownian Motion and Stochastic Calculus, vol. 113, New York, NY: Springer New York, 1998, doi:10.1007/978-1-4612-0949-2, ISBN 978-0-387-97655-6.
• Rassias, Themistocles M., ed. (1989), «On singular integral operators and generalizations», Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy, World Scientific, ISBN 978-9971-5-0666-7.
• Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913.
• «Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator», Journal of High Energy Physics, 2012 (11) 32: 29–30, 2012, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP...11..032L, doi:10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID 56188533.
• «Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820», Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195–245, 1989, doi:10.1007/BF00329867, S2CID 120890300.
• «Coordinate-space wave functions and completeness», An introduction to quantum theory, Cambridge University Press, 2002, էջեր 109ff, ISBN 978-0-521-59841-5
• «Integral and series representations of the Dirac delta function», Commun. Pure Appl. Anal., 7 (2): 229–247, 2008, arXiv:1303.1943, doi:10.3934/cpaa.2008.7.229, MR 2373214, S2CID 119319140.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Quantum mechanics in rigged Hilbert space language (PhD thesis). Universidad de Valladolid.
• Bohm, A.; Gadella, M. (2002), «Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum», Fortschr. Phys., 50 (2): 185–216, arXiv:quant-ph/0109154, Bibcode:2002ForPh..50..185D, doi:10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S, S2CID 9407651 {{citation}}: Missing |author1= (օգնություն).
• Fundamentals of Applied Functional Analysis: Distributions, Sobolev Spaces, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-582-24694-2.
• «An Introduction to State Space» (PDF), Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide, Demystified Series, New York: McGraw-Hill, 2005, էջ 108, ISBN 978-0-07-145546-6, Վերցված է 2008-03-17-ին.
• Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers (4th ed.), Springer, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5
• Advanced Mathematics for Engineers and Physicists, Springer, 2023, ISBN 978-3-031-21502-5.
• Methods of Modern Mathematical Physics, Volume I: Functional Analysis, Academic Press, 1980, ISBN 9780125850506
• Devine, Peter R., ed. (1966), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill (published 1987), ISBN 0-07-100276-6
• A First Course in Differential Equations, Modeling, and Simulation, CRC Press: Taylor & Francis Group, 2026, ISBN 978-1-040-39977-4
• Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, 1991, ISBN 978-0-07-054236-5.
• Airy functions and applications to physics, London: Imperial College Press, 2004, ISBN 9781911299486.
• «Chapter1: Basic definitions and operations», Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and fractal calculus, integral transforms, and wavelets, Birkhäuser, 1997, ISBN 978-0-8176-3924-2
• Théorie des distributions, vol. 1, Hermann, 1950.
• Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions, vol. 2, Hermann.
• A Guided Tour of Mathematical Methods: For the Physical Sciences, 2004
• Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Fourier analysis, Princeton series in analysis, vol. 1, Princeton University Press, 2002.
• Complex analysis, Princeton series in analysis, vol. 2, 2005.
• Real analysis, Princeton series in analysis, vol. 3, Princeton University Press, 2007.
• A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994, ISBN 978-0-8493-8273-4.
• Operational Calculus (3rd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., 1987, ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873.
• Equations of mathematical physics, Marcel Dekker, 1971, ISBN 978-0-8247-1713-1.
• Weisstein, Eric W., "Delta Function", MathWorld.
• «Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach», Journal of Mathematical Physics, 47 (9) 092301, 2006, Bibcode:2006JMP....47i2301Y, doi:10.1063/1.2339017
• «Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]», Journal of Mathematical Physics, 48 (8) 084101, 2007, Bibcode:2007JMP....48h4101Y, doi:10.1063/1.2771422
• Methods for Phase Diagram Determination (անգլերեն), Elsevier, 2011, ISBN 978-0-08-054996-5
• Einstein Gravity in a Nutshell, In a Nutshell Series (1st ed.), Princeton: Princeton University Press, 2013, ISBN 978-0-691-14558-7.
• Operator Theory in Function Spaces. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 138. American Mathematical Society. 2007..
• Differential Equations with Boundary-Value Problems (8th ed.), Cengage Learning, 2013, ISBN 978-1-111-82706-9.

Արտաքին հղումներ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], «Delta-function», Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• KhanAcademy.org տեսադաս
• Դիրակի դելտա ֆունկցիան, Դիրակի դելտա ֆունկցիայի վերաբերյալ ուսուցողական նյութ:
• Տեսադասախոսություններ – Դասախոսություն 23, Արթուր Մաթյուքի դասախոսությունը:
• Դիրակի դելտա չափը հիպերֆունկցիա է Արխիվացված 2007-10-04 Wayback Machine
• Մենք ցույց ենք տվել եզակի լուծման գոյությունը և վերլուծել վերջավոր տարրերի մոտարկումը, երբ աղբյուրի անդամը Դիրակի դելտա չափն է
• Ոչ Լեբեգյան չափեր R-ում: Լեբեգ-Ստիլտյեսի չափ, Դիրակի դելտա չափ: Արխիվացված 2008-03-07 Wayback Machine