Դ'Ալամբերի հայտանիշ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ժան Լը Ռոն Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert)

Մաթեմատիկական հայտանիշ, որն առաջարկել է Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert):

Այն վերաբերում է ոչ բացասական անդամներով թվային շարքերին:

Հայտանիշ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված է դրական անդամներով

(3) շարքը և՝ :

Այդ դեպքում, եթե՝

1. <1, ապա (3) շարքը զուգամետ է:

2. >1 (-ն կարող է լինել +), ապա (3)-ը տարամետ է:

3. =1, ապա ոչինչ պնդել հնարավոր չէ (կան և զուգամետ և տարամետ շարքերի օրինակներ):

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին կետի ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե <1, ապա որևէ թվի համար կունենանք՝

Այստեղից՝ :

Բազմապատկելով այս թվով անհավասարությունները, կստանանք՝

Ուրեմն՝

շարքաը զուգամետ է (0<<1), ապա զուգամետ է նաև շարք (3)-ը (տես. 1, դիտ. 2):

Երկրորդ կետի ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե >1, ապա ուրեմն : Այստեղից հետևում է, որ հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, և, ուրեմն՝ : Որտեղից հետևում է (3) շարքի տարամիտությունը:

Երրորդ կետի ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցույց տալու համար, որ =1 դեպքում ոչինչ պնդել հնարավոր չէ, կարելի է բերել հետևյալ օրինակները:

Օրինակ 1`

:

Այս շարքը զուգամետ է, և պարզ է, որ :

Օրինակ 2`

:

Այս շարքը տարամետ է, բայց էլի՝ :

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական անալիզ», ԵՊՀ Հրատարակչություն, Երևան 2009: