Դ'Ալամբերի հայտանիշ

Ժան Լը Ռոն Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert)

Մաթեմատիկական հայտանիշ, որն առաջարկել է Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert):

Այն վերաբերում է ոչ բացասական անդամներով թվային շարքերին:

Հայտանիշ

Դիցուք տրված է դրական անդամներով

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(a_{n}>0)$ (3) շարքը և՝ $\exists \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=K$:

Այդ դեպքում, եթե՝

1. $K$<1, ապա (3) շարքը զուգամետ է:

2. $K$>1 ($D$-ն կարող է լինել +$\infty$), ապա (3)-ը տարամետ է:

3. $K$=1, ապա ոչինչ պնդել հնարավոր չէ (կան և զուգամետ և տարամետ շարքերի օրինակներ):

Ապացույց

Առաջին կետի ապացույց

Եթե $K$<1, ապա որևէ $q\in (D;1)$ թվի համար կունենանք՝ $\exists N,\forall n\geqslant N:0<\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)<q<1:$

Այստեղից՝ $\left({\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right)<q,\left({\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right)<q,...,\left({\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)<q$ $(n>N)$:

Բազմապատկելով այս $n-N$ թվով անհավասարությունները, կստանանք՝

$\left({\frac {a_{n}}{a_{N}}}\right)<q^{n}-N:$

Ուրեմն՝

$a_{n}<{\frac {a_{N}}{q^{N}}}\cdot q^{n}$ շարքաը զուգամետ է (0<$q$<1), ապա զուգամետ է նաև շարք (3)-ը (տես. 1, դիտ. 2):

Երկրորդ կետի ապացույց

Եթե $K$>1, ապա $\exists N,\forall n\geqslant N:\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)>1,$ ուրեմն $a_{n+1}>a_{n}>0$ $(n\geq N)$: Այստեղից հետևում է, որ $a_{n}$ հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, և, ուրեմն՝ $a_{n}\nrightarrow 0$: Որտեղից հետևում է (3) շարքի տարամիտությունը:

Երրորդ կետի ապացույց

Ցույց տալու համար, որ $K$=1 դեպքում ոչինչ պնդել հնարավոր չէ, կարելի է բերել հետևյալ օրինակները:

Օրինակ 1`

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$ $a_{n}={\frac {1}{n_{2}}}$:

Այս շարքը զուգամետ է, և պարզ է, որ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=1$:

Օրինակ 2`

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$ $a_{n}={\frac {1}{n}}$:

Այս շարքը տարամետ է, բայց էլի՝ $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=1$:

Գրականություն

• Ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական անալիզ», ԵՊՀ Հրատարակչություն, Երևան 2009: