Գրավիտացիոն պոտենցիալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում

Գրավիտացիոն պոտենցիալ, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

, որտեղ ֊ը մասնիկի զանգվածն է, ֊ն՝ կոորդինատները, ֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։

L լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

,

ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

:

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է

,

որտեղ ֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, ֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, ֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը

,

որտեղ ֊ն Լապլասի օպերատորն է, ֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝

,

որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։ Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

արտահայտությունը, որտեղ ֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, ֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, ֊ն՝ մարմնի ծավալը։

Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

տեսքը, որտեղ ֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ

մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

առնչություններով։

Մոլորակների գրավիտացիոն պոտենցիալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

։

Այստեղ ֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, ֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, ֊ը՝ Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, ֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները[1]։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով (2) արտահայտությունը։ m զանգվածով, a շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի U գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի

,

տեսքը, որտեղ ֊ն Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, ֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

տեսքը տարածական և ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, ֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել և այսպիսով ստանալ

շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի բաղադրիչները կապված են

,

առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է

,

իսկ ժամանակը՝

,

ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի

։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը[2]։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Внутреннее строение Земли и планет, 1978, էջ 46
  2. В. Паули, Теория относительности, М., ОГИЗ, 1947, тир. 16000 экз., 300 стр.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
  • С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
  • К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
  • Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.