Գրավիտացիոն պոտենցիալ

Գրավիտացիոն պոտենցիալի երկչափ հատույթի գծագիրը համասեռ սֆերիկ մարմնի շրջակայքում

Գրավիտացիոն պոտենցիալ, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է $\varphi$ տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։

Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։

Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ

Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

$L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi$, որտեղ $m$֊ը մասնիկի զանգվածն է, $q$֊ն՝ կոորդինատները, $\varphi$֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։

L լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$,

ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

${\ddot {q}}=-grad(\varphi )$:

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը

Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։

Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը

Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է

$\varphi =-{\frac {Gm}{R}}$,

որտեղ $G$֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, $m$֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, $R$֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։

Կամայական $\rho$ խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․

$\Delta \varphi =-4\pi G\rho$,

որտեղ $\Delta$֊ն Լապլասի օպերատորն է, $\rho$֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝

$\varphi =-G\int _{V}{\frac {\rho dV}{r}},$,

որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։ Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան

Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

$U={\frac {1}{2}}\int {\mu \varphi dV},\qquad \qquad (1)$

արտահայտությունը, որտեղ $\mu$֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, $\varphi$֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, $V$֊ն՝ մարմնի ծավալը։

Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ

Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

$\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right)\qquad \qquad (2),$

տեսքը, որտեղ $M=\int \mu dV$֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ

$D_{\alpha \beta }=\int \mu (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV$

մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

$J_{\alpha \beta }=\int \mu (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV$

իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

$D_{\alpha \beta }=J_{\gamma \gamma }\delta _{\alpha \beta }-3J_{\alpha \beta }$

առնչություններով։

Մոլորակների գրավիտացիոն պոտենցիալը

Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

$U={\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nm}\cos(m\lambda )+S_{nm}\sin(m\lambda ))P_{n}^{k}(\sin \theta )\right)$։

Այստեղ $r,\theta ,\lambda$֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, $P_{n}$֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, $P_{n}^{k}$֊ը՝ Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, $J_{n},C_{nm},S_{nm}$֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան

Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով (2) արտահայտությունը։ m զանգվածով, a շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի U գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

$U={\frac {-3Gm^{2}}{5a}}$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը

հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի

${\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds}}{\frac {dx^{s}}{ds}}=0$,

տեսքը, որտեղ $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{\frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}})$֊ն Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, $g_{ik}$֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։

Այս շարժման հավասարումները համեմատելով ${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}$ շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ $\varphi$ գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}\Gamma _{44}^{i}$

տեսքը $i=1,2,3$ տարածական և $x^{4}=ct$ ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, $\Gamma _{44}^{i}$֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{44}}{dx^{i}}}$ և այսպիսով ստանալ

${\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}$

շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ $\varphi$ գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի $g_{44}$ բաղադրիչները կապված են

$\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)$, $g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right)$

առնչություններով։

Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է

$ds^{2}=g_{44}(dx^{4})^{2}$,

իսկ ժամանակը՝

$t={\frac {x^{4}}{c}}$,

ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի

$t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}\approx t(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}})$։

Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։

Տես նաև

• Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն

Գրականություն

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
• С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
• К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
• Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գրավիտացիոն պոտենցիալ» հոդվածին։