Գնդոլորտային սեգմենտ

Գնդոլորտային սեգմենտի օրինակ (ներկված է կապույտ գույնով): Երկրորդ մասը նույնպես իրենից սեգմենտ է ներկայացնում։

Գնդոլորտային սեգմենտ, մակերևույթ, որևէ հարթությունով հատված գնդոլորտի մաս։ Հարթությունը գունդը բաժանում է 2 սեգմենտի։ Փոքրը կոչվում է գնդոլորտային շրջան։ Եթե հարթությունը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա այդպիսի գնդային սեգմենտները կոչվում են կիսագնդեր։

Գնդային սեգմենտը, հիմք հանդիսացող շրջանով և գնդոլորտային սեգմենտով սահմանափակված մարմին է։

Մակերևույթի մակերես և ծավալ

Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է $a$, բարձրությունը $h$, ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է.

$V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})$,

սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

$A=2\pi rh$

կամ

$A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )$.

$a$, $h$ և $r$ պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

$r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}$,

$r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}$.

Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

$A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})$.

Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$, ներքին մասում $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$, հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․ $a={\sqrt {h(2r-h)}}$ և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

$V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$.

կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

$V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos(\theta )+2)(\cos(\theta )-1)^{2}$.

Օգտագործումը

Երկու հատվող գնդոլորտների հատում և միավորում

r₁ և r₂ ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը․

$V=V^{(1)}-V^{(2)}$,

որտեղ

$V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}$

Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

$V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})$

Եթե d < r₁ + r₂ գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա h₁ և h₂ մեծությունների բացառումը բերում է

$V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)$ արտահայտությանը։

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերես

Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ r շառավղով գնդոլորտի և φ₁ և φ₂ լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է։

$A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|$.

Ընդհանրացում

Հիպերգնդոլորտի սեգմենտ

$n$-աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, $h$ բարձրությամբ $r$ շառավղով $n$-աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է․

$V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t$

որտեղ՝ $\Gamma$ (գամմա ֆունկցիա) տրվում է $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$արտահայտությամբ։

Մակերևույթի $A$ մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել $n$-աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

$A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}$

$A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$,

որտեղ $0\leq h\leq r$.

Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը․$A=A_{n}p_{n-2}(q),V=V_{n}p_{n}(q)$, որտեղ$q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2$,

$G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt$.

$n=2k+1$դեպքում

$G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}$.

Ցույց է տրվում, որ $n\to \infty$ և $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$դեպքում․ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})$։

Գրականություն

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.