Գնդային կոորդինատային համակարգ
Գնդային կոորդինատային համակարգը մաթեմատիկայում ցույց է տալիս տրված կետի դիրքը եռաչափ տարածության մեջ՝ օգտագործելով մեկ հեռավորություն և երկու անկյուն՝ որպես երեք կոորդինատներ։ Դրանք են․
- շառավղային հեռավորությունը՝ r՝ ուղիղ գծով հեռավորությունը տրված կետից մինչև կոորդինատների սկզբնակետ։
- բևեռային անկյունը՝ θ՝ այս շառավղային գծի և տրված բևեռային առանցքի միջև կազմվող անկյունը
- ազիմուտային անկյունը՝ φ՝ պտտման անկյուն, որը կազմում է շառավղային գիծը բևեռային առանցքի շուրջ։
Երբ շառավիղը հաստատուն է, երեք կոորդինատները (r, θ, φ), ապահովում են կոորդինատային համակարգ գնդի վրա, որը սովորաբար կոչվում է գնդային բևեռային կոորդինատներ։ Հարթությունը, որը անցնում է սկզբնակետով և ուղղահայաց է բևեռային առանցքին (որտեղ բևեռային անկյունը ուղիղ անկյուն է), կոչվում է հիմնական հարթություն։
Տերմինաբանություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Սկզբնակետից շառավղային հեռավորությունը երբեմն կոչվում է նաև շառավիղ, կամ շառավղային գիծ, կամ շառավղային կոորդինատ։ Բևեռային անկյունը կարող է կոչվել նաև թեքության անկյուն, զենիթի անկյուն, նորմալ անկյուն կամ կոլատիտուդ։ Որոշ դեպքերում թեքության անկյունը փոխարինվում է իր անկյունային լրացումով՝ բարձրության անկյուն, որը չափվում է վերևից՝ հիմնական հարթությունից դեպի շառավղային գիծը (այսինքն՝ դրական z-առանցքի ուղղությամբ)։ Մարման անկյունը բարձրության անկյան բացասականն է։
Տարբեր աղբյուրներում և գիտակարգերում կոորդինատների նշանակումը և հերթականությունը կարող են տարբեր լինել։ Այստեղ կիրառվում է ԻՍՕ պայմանավորվածությունը[1], որը սովորաբար օգտագործվում է ֆիզիկայում, որտեղ կոորդինատների եռյակը տրվում է հետևյալ կարգով՝ շառավղային հեռավորություն, բևեռային անկյուն, ազիմութային անկյուն, կամ ։ Իսկ մաթեմատիկայի պայմանավորվածության դեպքում՝ շատ գրքերում կիրառվում է այլ հերթականություն՝ շառավղային հեռավորություն, «ազիմութային անկյուն», «բևեռային անկյուն» և կամ , որը փոխում է θ և φ նշանների կիրառությունը։ Կարող են կիրառվել նաև այլ պայմանավորվածություններ, օրինակ՝ r նշանը՝ որպես հեռավորություն z-առանցքից, այլ ոչ թե սկզբնակետից։ Ուստի անհրաժեշտ է զգուշությամբ հետևել նշանակումների իմաստին։
Ըստ աշխարհագրական կոորդինատային համակարգերի պայմանավորվածությունների՝ դիրքերը չափվում են լայնությամբ, երկայնությամբ և բարձրությամբ (ալտիտուդով)։ Կան նաև երկնային կոորդինատային համակարգերեր, որոնք հիմնված են տարբեր հիմնական հարթությունների վրա և օգտագործում են տարբեր եզրույթներ։ Գնդային կոորդինատային համակարգերը մաթեմատիկայում սովորաբար օգտագործում են ռադիաններ՝ աստիճանների փոխարեն (90° = π⁄2 ռադիան)։ Այս համակարգերը՝ ըստ մաթեմատիկայի պայմանավորվածության, ազիմուտային անկյունը չափում են հակառակ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (հարավային x-առանցքից՝ 180°, դեպի արևելյան y-առանցք՝ +90°) այլ ոչ թե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (հյուսիսային x-առանցքից՝ 0°, դեպի արևելյան y-առանցք՝ +90°), ինչպես հորիզոնական կոորդինատային համակարգում[2]։
Ֆիզիկայի պայմանավորվածության գնդային կոորդինատային համակարգը կարելի է դիտարկել որպես բևեռային կոորդինատային համակարգի ընդհանրացում՝ եռաչափ տարածության մեջ։ Այն կարող է ընդլայնվել նաև ավելի բարձրաչափ տարածությունների համար և այդ դեպքում կոչվում է հիպերգնդային կոորդինատային համակարգ:
Սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գնդային կոորդինատային համակարգը սահմանելու համար անհրաժեշտ է որոշել տարածության մեջ մի սկզբնակետ՝ O, և երկու ուղղահայաց ուղղություններ՝ զենիթի հղման ուղղությունը և ազիմուտի հղման ուղղությունը։ Այս ընտրությունները որոշում են հղման հարթությունը, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պարունակող սկզբնակետը և x– ու y– առանցքները, որոնցից ցանկացածը կարող է ընտրվել որպես ազիմուտի հղման ուղղություն։ Հղման հարթությունը ուղղահայաց է զենիթի ուղղությանը և սովորաբար կոչվում է «հորիզոնական»՝ զենիթի ուղղության «ուղղահայացին»։ Գնդային կոորդինատները P կետի համար սահմանվում են հետևյալ կերպ․
- Շառավիղը կամ ռադիալ հեռավորությունը հեռավորությունն է սկզբնակետից O դեպի P։
- Թեքությունը (կամ բևեռային անկյունը) զենիթի հղման ուղղությունից մինչև OP հատվածը եղած անկյունն է։
- Ազիմուտը (կամ ազիմուտային անկյունը) չափվում է ազիմուտի հղման ուղղությունից մինչև OP հատվածի օրթոգոնալ պրոյեկցիան հղման հարթության վրա։
Ազիմուտի նշանը որոշվում է՝ զենիթի շուրջ այն պտույտով, որը սահմանվում է որպես դրական։ Այս ընտրությունը պայմանական է և կոորդինատային համակարգի սահմանման մաս է։ (Եթե թեքությունը հավասար է զրոյի կամ 180 աստիճանի (= ռադիան), ապա ազիմուտը պայմանական է։ Եթե շառավիղը հավասար է զրոյի, ապա ազիմուտն ու թեքությունը երկուսն էլ պայմանական են։)
Բարձրությունը՝ x-y հղման հարթությունից դեպի OP հատվածը եղած անկյունն է, որտեղ դրական անկյունները համարվում են դեպի վեր՝ զենիթի ուղղությամբ։ Բարձրությունը հավասար է 90 աստիճան (= 2 ռադիան) հանած թեքությունը։ Այսպիսով, եթե թեքությունը 60 աստիճան է (= 3 ռադիան), ապա բարձրությունը 30 աստիճան է (= 6 ռադիան)։
Գծային հանրահաշվի մեջ O սկզբնակետից P կետը միացնող վեկտորը սովորաբար կոչվում է շառավիղ-վեկտոր։
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ «ISO 80000-2:2019 Quantities and units – Part 2: Mathematics». ISO (անգլերեն). 2020 թ․ մայիսի 19. էջեր 20–21. Item no. 2-17.3. Վերցված է 2020-08-12-ին.
- ↑ Duffett-Smith, P and Zwart, J, էջ 34։
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi (1977). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0262090162.
- Philip M. Morse, Herman Feshbach (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. էջ 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
- Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. էջեր 177–178. LCCN 55010911.
- Korn GA, Theresa M. Korn (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. էջեր 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. էջեր 95–96. LCCN 67025285.
- Moon P, Spencer DE (1988). «Spherical Coordinates (r, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. էջեր 24–27 (Table 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
- Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition. New York: Cambridge University Press. էջ 34. ISBN 978-0521146548.