Գնդային եռանկյուն

Գնդային եռանկյուն, սֆերայի (գնդի) մակերեևույթին գտնվող երկրաչափական մարմին, կազմված երեք կետից և երեք մեծ շրջանների աղեղներից, որոնք միացված են զույգ առ զույգ։ Սֆերայի մակերևույթի երեք մեծ շրջանները մեկ կետում չեն հատվում և կազմում են 8 գնդային եռանկյուններ։

Գնդային եռանկայն տարրերի միջև առնչություններն ուսումնասիրում է գնդային եռանկյունաչափությունը։

Գնդային եռանկյան կողմը հաշվվում է կենտրոնական անկյան վրա հիմնված մեծությամբ։ Եռանկյան անկյունը չափվում է այն երկնիստ անկյան չափով, որի նիստերի վրա ընկած են անկյան կողմերը։ Այն գնդային եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը փոքր են մեծ կիսաշրջանից, իսկ անկյունները փոքր են Π-ից, կոչվում են էյլերյան եռանկյուններ^[1]։ Հաջորդիվ կուսումնասիրվեն են էյլերյան եռանկյունները։

Հատկություններ

Եռանկյունների հավասարության երեք հայտանիշներից բացի, այս եռնկունների համար կա նաև չորրորդ հայտանիշը։ Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց երեք համապատասխան անկյունները^[1]։ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ այդպիսի եռանկյունները նման են։ Գնդային երկրաչափության մեջ նմանության գործակիցը միշտ հավասար է մեկի, այդ պատճառով նրանում չկան նման, բայց իրար ոչ հավասար պատկերներ։
Տրված (ᐃABC) եռանյան համար բևեռային է կոչվում (ᐃA'B'C') այնպիսի եռանկյունը, որի A', B', C' գագաթները հանդիսանում են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի բևեռները, և A և A', B և B', C և C' կետերը ընկած են համապատասխանաբար BC, CA, AB կողմերի նկատմամբ նույն կողմում^[2]։
- Ցանկացած բևեռային եռանկյան համար տեղի ունի․ $K'=\pi -k$ ; $k'=\pi -K$ , որտեղ անկյունը՝ $K=\alpha ,\beta ,\gamma$ և կողմը՝ $k=a,b,c$ .
- Գնդային եռանկյունը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, բևեռային է ինքը իրեն։
Գնդային եռանկյան կողմերի համար տեղի ունի հետևյալ եռանկյան անհավասարությունը․ Ամեն մի կողմը փոքր է մյուս երկուսի գումարից և մեծ նրանց տարբերությունից^[1]։
$a+b+c$ $a+b+c$ երեք կողմերի գումարը միշտ փոքր է $2\pi$ $2\pi$ ^[1]։
- $2\pi -(a+b+c)$ մեծությունը կոչվում է գնդային պակասորդ^[3]^[4]։
Գնդային եռանկյան անկյունների $s=\alpha +\beta +\gamma$ $s=\alpha +\beta +\gamma$ գումարը միշտ փոքր է $3\pi$ $3\pi$ և մեծ $\pi$ $\pi$ ^[1]^[5]^[6]։
- $s-\pi =\varepsilon$ մեծությունը կոչվում է գնդային ավելցուկ կամ գնդային էքսցես (խախտում)^[3]։
- Մակերեսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով $S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ։ Մակերեսի գնդային ավելցուկին համեմատական լինելը պայմանավորված է մակերևույթի երեք երկանկյուններով պատված լինելով, որոնք կազմում են գնդային եռանկյուն^[1]^[7]^[8]։
Եթե գնդային եռանկյան երեք անկյուններից հանենք երկուսը, կստանանք $\pi$ -ց փոքր անկյուն^[1]։
Ի տարբերություն հարթ եռանկյան, գնդայինը կարող է ունենալ երկու կամ երեք՝ ուղիղ կամ բութ անկյուն։

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, էջ 530
↑ ^3,0 ^3,1 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.
↑ Сферический треугольник
↑ Статья в «Успехах физических наук»
↑ Weisstein, Eric W., "Сферический треугольник", MathWorld.
↑ Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115 с. (доступно на bookfi.org). Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82
↑ Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // «Квант», № 2, 1988

Գրականություն

Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М., 1995. (§1. Сферическая геометрия.)
Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия). — С. 518-558.

Արտաքին հղումներ

Краткий справочник по сферической тригонометрии
Статья на Wolfram MathWorld [1]

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գնդային եռանկյուն» հոդվածին։

[St-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

[Энциклопедия_элементарной_математики—1963——530-2] Энциклопедия элементарной математики, 1963, էջ 530

[Korn-3] 3,0 ^3,1 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.

[4] Сферический треугольник

[5] Статья в «Успехах физических наук»

[6] Weisstein, Eric W., "Сферический треугольник", MathWorld.

[7] Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115 с. (доступно на bookfi.org). Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82

[8] Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // «Квант», № 2, 1988

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]