Գեոդեզիկ էֆեկտ

Գեոդեզիկ էֆեկտի լուսաբանում

Գեոդեզիկ էֆեկտ (նաև՝ գեոդեզիկ պրեցեսիա, դե Սիտերի պրեցեսիա կամ դե Սիտերի էֆեկտ), կորացած տարածաժամանակում շարժվող պտտվող մարմնի առանցքի ուղղության փոփոխությանը էֆեկտը, որը կանխատեսվում է հարաբերականության ընդհանուր տեսությամբ։ Երկիր֊Լուսին համակարգի շարժումը ուղղելու համանման մոդել է առաջարկել Վիլհելմ դե Սիտերը 1916 թվականին։ 1918 թվականին դե Սիտերի աշխատանքը ընդլայնել են Յան Սխոուտենը, իսկ 1920֊ին՝ Ադրիան Ֆոկերը։ Էֆեկտը կիրառելի է նաև աստղագիտական մարմնի որոշակի պրեցեսիայի նկատմամբ, որը համարժեք է Լապլաս֊Լունգե֊Լենցի վեկտորին։

Գեոդեզիկ էֆեկտ տերմինը երկու թեթևակի տարբեր իմաստ ունի, քանի որ շարժվող մարմինը կարող է պտտվել կամ չպտտվել։ Չպտտվող մարմինները շարժվում են գեոդեզիկ գծերով, մինչդեռ պտտվող մարմինները շարժվում են թեթևակի տարբեր ուղեծրերով։

Դե Սիտերի պրեցեսիայի և Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիայի տարբերությունն այն է, որ դե Սիտերի էֆեկտի պատճառը կենտրոնական զանգվածի երկարությունն է, մինչդեռ Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիան կենտրոնական զանգվածի պտույտի պատճառով է։ Արդյունարար պրեցեսիան հաշվարկվում է՝ միավորելով դե իտերի պրեցեսիան և Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիան։

Փորձնական հաստատում

Գեոդեզիկ էֆեկտը 0,5%֊ից մեծ ճշտությամբ հաստատվել է Gravity Probe B փորձով, որը չափում էր գիրոսկոպի առանցքի պտույտի թեքվածությունը Երկրի ուղեծրում։ Առաջին արդյունքները հրապարակվեցին 2007 թվականի ապրիլի 14-ին Ամերիկայի ֆիզիկոսների միության հանդիպման ժամանակ։

Բանաձևեր

Արտածելու համար պրեցեսիայի բանաձևը, ենթադրենք, որ համակարգը գտնվում է պտտվող Շվարցշիլդի չափականությունում։ Չպտտվող չափականությունը

$ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2})$

է, որտեղ  c = G = 1։

$\omega$ անկյունային արագությամբ պտտվող կոորդինատական համակարգը, ինչպիսին արբանյակն է շրջանագծային ուղեծրում, θ = π/2 հարթության մեջ գտնվում է դադարի վիճակում։ Դրանից ելնելով կստանանք

$d\phi =d\phi '-\omega \,dt$։

Այս կոորդինատական համակարգում r շառավղային կոորդինատ ունեցող դիտորդը r֊ում գտնվող վեկտորը տեսնում է ω անկյունային արագությամբ պտտվող։ r֊ից տարբեր արժեքի դեպքում դիտորդը պտույտը տեսնում է այլ արագությամբ, ինչը պայմանավորված է ժամանակի ռելյատիվիստական դանդաղումով։ Շվարցշիլդի չափականությունը փոխակերպելով պտտվող համակարգի և ենթադրելով, որ $\theta$֊ն հաստատուն է, կստանանք

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2}$

որտեղ $\beta =\sin ^{2}(\theta )$։ θ = π/2 հարթության մեջ պտտվող մարմնի համար կունենանք β = 1, իսկ մարմնի համաշխարհային գիծը ամբողջ ընթացքում կունենա հաստատուն տարածական կոորդինատներ։ Չափականությունը կանոնիկ ձևով՝

$ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}$։

Այս կանոնիկ ձևից կարող ենք հեշտությամբ որոշել գիրոսկոպի պտտման արագությունը սեփական ժամանակում․

$\Omega ={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega$,

որտեղ վերջին հավասարությունը ճիշտ է միայն ազատ անկում կատարող դիտորդի դեպքում, որի համար արագացում չկա, ուստի $\Phi ,_{i}=0$։ Դրանից ստանում ենք

$\Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0$։

Այս հավասարումը լուծելով ω֊ի համար, կստանանք

$\omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}$։

Սա հիմնական Կեպլերի պարբերությունների օրենքն է, որը ռելյատիվիստորեն ճշգրիտ է, եթե արտահայտված է տրված պտտվող կոորդինատական համակարգի t ժամանակային կոորդինատի տերմիններով։ Պտտվող հաշվարկման համակարգում արբանյակը դադարի վիճակում է, բայց արբանյակի վրա գտնվող դիտորդը տեսնում է, որ գիրոսկոպի անկյունային մոմենտի վեկտորը պտտվում է ω արագությամբ։ Դիտորդը նաև տեսնում է, որ հեռավոր աստղերը պտտվում են, բայց նրանց պտույտի արագությունը մի թեթև տարբերվում է ժամանակի հապաղման պատճառով։ Եթե գիրոսկոպի սեփական ժամանակը τ է, ապա

$\Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt$։

−2m/r տերմինը ներկայացվում է որպես գրավիտացիոն ժամանակի դանդաղում, մինչդեռ հավելյալ −m/r֊ը հաշվարկման Դիցուք α'֊ն պտտվող համակարգի կուտակվող պրեցեսիան է։ Քանի որ $\alpha '=\Omega \Delta \tau$, պրեցեսիան հեռավոր աստղերի նկատմամբ հարաբերական ուղեծրի հանդեպ կտրվի

$\alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}$։

Արտահայտությամբ։ Առաջին աստիճանի Թեյլորի շարքի միջոցով կստանանք

$\alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta )$։

Թոմասի պրեցեսիա

Դե Սիտերի էֆեկտը միավորելով գրավիտացիայով կորացած տարածաժամանակի պատճառով առաջացած երկրաչափական էֆեկտին՝ կստանանք Թոմասի պրեցեսիան։ Հեղինակներից մեկը նկարագորում է այդպես, բայց մյուսները պնդում ե, որ «Թոմասի պրեցեսիան ի հայտ է գալիս Երկրի մակերևույթին գտնվող գիրոսկոպի համար․․․ բայց ոչ ազատ շարժվող արբանյակում գտնվող գիրոսկոպի համար»։ Բերված առաջին մեկնաբանությանը ներկայացվող առարկությունն այն է, որ պահանջվող Թոմասի պրեցեսիան սխալ նշանով է։

Գրականություն

• Wolfgang Rindler (2006) Relativity: special, general, and cosmological (2nd Ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

Արտաքին հղումներ

• Gravity Probe B websites at NASA Արխիվացված 2022-01-22 Wayback Machine and Stanford University
• Precession in Curved Space "The Geodetic Effect" Արխիվացված 2010-03-19 Wayback Machine
• Geodetic Effect