Գաուսյան ամբողջ թիվ

Գաուսյան ամբողջ թիվ, կոմպլեքս թիվ, որի իրական և կեղծ մասերը ամբողջ թվեր են։ Գաուսյան ամբողջ թվերը, կոմպլեքս թվերի գումարման և բազմապատկման գործողություններով, կազմում են ամբողջական տիրույթ, որը սովորաբար նշանակվում է որպես $\mathbf {Z} [i]$ կամ $\mathbb {Z} [i]$ ^[1]:

Գաուսյան ամբողջ թվերը շատ հատկություններով նման են սովորական ամբողջ թվերին, դրանք կազմում են էվկլիդեսյան տիրույթ, և, հետևաբար, ունեն էվկլիդեսյան բաժանում ու էվկլիդեսյան ալգորիթմ, ինչն էլ ենթադրում է արտադրիչների վերլուծություն և բազմաթիվ այլ հատկություններ։ Այնուամենայնիվ, Գաուսյան ամբողջ թվերը չունեն թվաբանությանը համապատասխանող գծային դասավորվածություն։

Գաուսյան ամբողջ թվերը հանրահաշվական ամբողջ թվեր են և կազմում են քառակուսային ամբողջ թվերի ամենապարզ կապը։

Գաուսյան ամբողջ թվերն անվանվել են գերմանացի մաթեմատիկոս Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի պատվին։

Հիմնական սահմանումներ

Գաուսյան ամբողջ թվերը բազմությունն են^[1]^[2]՝

\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ որտեղ }}i^{2}=-1.

Այլ կերպ ասած, գաուսյան ամբողջ թիվը մի կոմպլեքս թիվ է, որի իրական և կեղծ մասերը ամբողջ թվեր են։ Քանի որ գաուսյան ամբողջ թվերը փակ են գումարման և բազմապատկման նկատմամբ, դրանք կազմում են կոմուտատիվ օղակ, որը հանդիսանում է կոմպլեքս թվերի դաշտի ենթաօղակ։ Հետևաբար, այն ամբողջական տիրույթ է։ Կոմպլեքս հարթության վրա դիտարկելու դեպքում գաուսյան ամբողջ թվերը ձևավորում են երկչափ քառակուսային ցանց։ $a + bi$ կոմպլեքս թվի համալուծը $a - bi$ կոմպլեքս թիվն է։ Գաուսյան ամբողջ թվի $N(a+bi)$ նորմը թվի և իր համալուծի արտադրյալն է.

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

Այսպիսով, գաուսյան ամբողջ թվի նորմը հավասար է կոմպլեքս թվի բացարձակ արժեքի քառակուսուն։ Գաուսյան ամբողջ թվի նորմը ոչ բացասական ոչ բացասական թիվ է, որն իրենից ներկայացնում է երկու քառակուսիների գումար։ Երկու քառակուսիների գումարի թեորեմի համաձայն՝ նորմի պարզ վերլուծության մեջ չի կարող լինել $p^{k}$ արտադրիչ, որտեղ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ և $k$ -ն կենտ է (մասնավորապես, նորմն ինքնին համադրելի չէ 3-ի հետ ըստ 4 մոդուլի)։

Նորմը մուլտիպլիկատիվ է, այսինքն՝ տեղի ունի հետևյալը^[3]․

$N(zw)=N(z)N(w),$

բոլոր $z, w$ գաուսյան թվերի զույգի համար։ Սա կարելի է ցույց տալ անմիջականորեն, կամ օգտագործելով կոմպլեքս թվերի մոդուլի մուլտիպլիկատիվ հատկությունը։

Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակի միավորները (այսինքն՝ այն գաուսյան ամբողջ թվերը, որոնց հակադարձը նույնպես գաուսյան ամբողջ թիվ է) հենց 1 նորմ ունեցող գաուսյան ամբողջ թվերն են, այսինքն՝ 1-ը, −1-ը, $i$ և $- i$ ^[4]։

Էվկլիդյան բաժանում

Գաուսյան թվերն ունեն էվկլիդեսյան բաժանում (բաժանում մնացորդով)՝ ամբողջ թվերի և բազմանդամների բաժանման նման։ Սա գաուսյան ամբողջ թվերը դարձնում է էվկլիդյան տիրույթի մաս և նշանակում է, որ գաուսյան ամբողջ թվերը ամբողջ թվերի ու բազմանդամների հետ կիսում են բազմաթիվ կարևոր հատկություններ, ինչպիսիք են՝ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկման էվկլիդյան ալգորիթմի գոյությունը, Բեզուի նույնությունը, գլխավոր իդեալների հատկությունը, Էվկլիդեսի լեմման, արտադրիչների վերլուծության թեորեմը և մնացորդների մասին չինական թեորեմը, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է ապացուցվել միայն էվկլիդյան բաժանման կիրառմամբ։

Էվկլիդյան բաժանման ալգորիթմը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում վերցնում է $a$ բաժանելին և $b \neq 0$ բաժանարարը ու տալիս է $q$ քանորդն ու $r$ մնացորդը այնպես, որ $a=bq+r\quad {\text{և}}\quad N(r)<N(b)$ Իրականում, մնացորդը կարելի է ավելի փոքր դարձնել. $a=bq+r\quad {\text{և}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}$ Նույնիսկ այս ավելի խիստ անհավասարության դեպքում քանորդն ու մնացորդը պարտադիր չէ, որ լինեն միակը, սակայն ընտրությունը կարելի է հստակեցնել՝ միակությունն ապահովելու համար։

Սա ապացուցելու համար կարելի է դիտարկել կոմպլեքս թվերի քանորդը՝ $x + iy = a b$ ։ Գոյություն ունեն միակ $m$ և $n$ թվեր այնպես, որ $- 12 < x - m \leq 12$ և $- 12 < y - n \leq 12$ , և հետևաբար $N (x - m + i (y - n)) \leq 12$ ։ Վերցնելով $q = m + in$ ՝ կունենանք $a=bq+r,$ որտեղ

$r=b{\bigl (}x-m+i(y-n){\bigr )},$

և $N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}$ Միակության համար անհրաժեշտ է $x - m$ -ի և $y - n$ -ի ընտրությունը լինի կիսաբաց միջակայքից։ Էվկլիդյան բաժանման այս սահմանումը կարելի է երկրաչափորեն մեկնաբանել կոմպլեքս հարթության վրա՝ ξ կոմպլեքս թվից մինչև մոտակա գաուսյան ամբողջ թիվը եղած հեռավորությունը ամենաշատը sqrt(2)/2 է^[5]։

Գլխավոր Իդեալներ

Քանի որ գաուսյան ամբողջ թվերի $G$ օղակը էվկլիդյան տիրույթ է, $G$ -ն գլխավոր իդեալների տիրույթ է, ինչը նշանակում է, որ $G$ -ի յուրաքանչյուր իդեալ գլխավոր է։ Ավելի հստակ՝ $I$ իդեալը $R$ օղակի այնպիսի ենթաբազմություն է, որ $I$ -ի տարրերի ցանկացած գումար և $I$ -ի որևէ տարրի ու $R$ -ի որևէ տարրի ցանկացած արտադրյալ պատկանում են $I$ -ին։ Իդեալը կոչվում է գլխավոր, եթե այն բաղկացած է մեկ $g$ տարրի բոլոր պատիկներից, այսինքն՝ ունի հետևյալ տեսքը՝ $\{gx\mid x\in G\}.$ Այս դեպքում ասում են, որ իդեալը ծնված է $g$ տարրով, կամ որ $g$ -ն իդեալի արտադրողն է։

Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակի յուրաքանչյուր I իդեալ գլխավոր է, որովհետև եթե $I$ -ի մեջ ընտրվի նվազագույն նորմով ոչ զրոյական $g$ տարր, ապա $I$ -ի ցանկացած $x$ տարրի համար $x$ -ը $g$ -ի վրա էվկլիդեսյան բաժանման մնացորդը նույնպես կպատկանի $I$ -ին և կունենա ավելի փոքր նորմ, քան $g$ -ինն է. $g$ -ի ընտրության պատճառով այդ նորմը զրո է, հետևաբար մնացորդը նույնպես զրո է։ Այսինքն՝ տեղի ունի $x = qg$ հավասարությունը, որտեղ $q$ -ն քանորդն է։

Ցանկացած $g$ -ի համար $g$ -ով ծնված իդեալը ծնվում է նաև $g$ -ի ցանկացած կապակցված տարրով, այսինքն՝ $g, gi, - g, - gi$ տարրերով. ոչ մի այլ տարր չի ծնում նույն իդեալը։ Քանի որ իդեալի բոլոր ծնիչներն ունեն նույն նորմը, իդեալի նորմը հանդիսանում է դրա ցանկացած ծնիչի նորմը։

Որոշ հանգամանքներում օգտակար է մեկընդմիշտ ընտրել ծնիչ յուրաքանչյուր իդեալի համար։ Դա անելու երկու դասական եղանակ կա, որոնք երկուսն էլ նախ դիտարկում են կենտ նորմով իդեալները։ Եթե $g = a + bi$ տարրն ունի կենտ $a 2 + b 2$ նորմ, ապա $a$ -ից և $b$ -ից մեկը կենտ է, իսկ մյուսը՝ զույգ։ Այսպիսով, $g$ -ն ունի ուղիղ մեկ կապակցված տարր, որի իրական $a$ մասը կենտ է և դրական։ Իր սկզբնական աշխատությունում Գաուսը կատարել է այլ ընտրություն՝ ընտրելով այն միակ կապակցված տարրը, որը $2 + 2 i$ -ի վրա բաժանելիս տալիս է 1 մնացորդ։ Իրականում, քանի որ $N (2 + 2 i) = 8$ , մնացորդի նորմը մեծ չէ 4-ից։ Քանի որ այս նորմը կենտ է, իսկ 3-ը չի հանդիսանում որևէ գաուսյան ամբողջ թվի նորմ, մնացորդի նորմը հավասար է մեկի, այսինքն՝ մնացորդը 1 է։ Բազմապատկելով $g$ -ն այս միավորի հակադարձով՝ ստացվում է մի կապակցված տարր, որը $2 + 2 i$ -ի վրա բաժանելիս որպես մնացորդ տալիս է 1։

Եթե $g$ -ի նորմը զույգ է, ապա կամ $g = 2 k h$ կամ $g = 2 k h (1 + i)$ , որտեղ $k$ -ն դրական ամբողջ թիվ է, իսկ $N (h)$ -ը՝ կենտ։ Այսպիսով, ընտրվում է $g$ -ի այն կապակցված տարրը, որի դեպքում ստացված $h$ -ը համապատասխանում է կենտ նորմով տարրերի համար կատարված կապակցված տարրերի ընտրությանը։

Գաուսյան պարզ թվեր

Քանի որ գաուսյան թվերի օղակը հանդիսանում է գլխավոր իդեալների տիրույթ, այն նաև միակ արտադրիչների վերլուծության տիրույթ է։ Սա նշանակում է, որ գաուսյան ամբողջ թիվը անվերլուծելի է (այսինքն՝ չի ներկայացվում երկու ոչ միավոր տարրերի արտադրյալի տեսքով) այն և միայն այն դեպքում, եթե այն պարզ տարր է (այսինքն՝ ծնում է պարզ իդեալ)։

$Z [i]$ -ի պարզ տարրերը հայտնի են նաև որպես գաուսյան պարզ թվեր։ Գաուսյան պարզ թվի ցանկացած կապակցված տարր նույնպես գաուսյան պարզ թիվ է։ Գաուսյան պարզ թվի համալուծը նույնպես գաուսյան պարզ թիվ է (ինչը նշանակում է, որ գաուսյան պարզ թվերը համաչափ են իրական և կեղծ առանցքների նկատմամբ)։

Դրական ամբողջ թիվը գաուսյան պարզ թիվ է այն և միայն այն դեպքում, եթե այն պարզ թիվ է, որը համադրելի է 3-ի ըստ 4 մոդուլի (այսինքն՝ կարող է գրվել $4 n + 3$ տեսքով, որտեղ $n$ -ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է) A002145-ի հաջորդականությունը OEIS-ում։ Մյուս պարզ թվերը գաուսյան պարզ թվեր չեն, սակայն դրանցից յուրաքանչյուրը երկու համալուծ գաուսյան պարզ թվերի արտադրյալ է։

$a + bi$ գաուսյան ամբողջ թիվը գաուսյան պարզ թիվ է այն և միայն այն դեպքում, եթե կամ՝

$a, b$ թվերից մեկը զրո է, իսկ մյուսի բացարձակ արժեքը $4 n + 3$ տեսքի պարզ թիվ է (որտեղ $n$ -ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է), կամ
երկուսն էլ զրոյից տարբեր են, և $a 2 + b 2$ -ը պարզ թիվ է (որը երբեք չի լինի $4 n + 3$ տեսքի)։

Այլ խոսքով, $m$ գաուսյան ամբողջ թիվը գաուսյան պարզ թիվ է այն և միայն այն դեպքում, եթե կամ դրա նորմը պարզ թիվ է, կամ $m$ -ը որևէ միավորի ( $\pm1, \pm i$ ) և $4 n + 3$ տեսքի պարզ թվի արտադրյալ է։

Այստեղից հետևում է, որ գաուսյան ամբողջ թվերի մեջ $p$ պարզ բնական թվի վերլուծության համար գոյություն ունի երեք դեպք.

Եթե $p$ -ն համադրելի է 3-ի ըստ 4 մոդուլի, ապա այն գաուսյան պարզ թիվ է. հանրահաշվական թվերի տեսության լեզվով ասած՝ $p$ -ն կոչվում է իներտ պարզ թիվ գաուսյան ամբողջ թվերում։
Եթե $p$ -ն համադրելի է 1-ի ըստ 4 մոդուլի, ապա այն հավասար է գաուսյան պարզ թվի և իր համալուծի արտադրյալին, որոնք երկուսն էլ իրար հետ չկապակցված գաուսյան պարզ թվեր են (դրանցից ոչ մեկը մյուսի և որևէ միավորի արտադրյալը չէ). $p$ -ն կոչվում է տրոհված պարզ թիվ գաուսյան ամբողջ թվերում։ Օրինակ՝ $5 = (2 + i)(2 - i)$ և $13 = (3 + 2 i)(3 - 2 i)$ ։
Եթե $p = 2$ , ապա ունենք $2 = (1 + i)(1 - i) = i (1 - i) 2$ . այսինքն՝ 2-ը հավասար է գաուսյան պարզ թվի քառակուսու և որևէ միավորի արտադրյալին. այն հանդիսանում է միակ ճյուղավորված պարզ թիվը գաուսյան ամբողջ թվերում։

Ունիկալ արտադրիչների վերլուծություն

Ինչպես ցանկացած ունիկալ արտադրիչների վերլուծության տիրույթում, յուրաքանչյուր գաուսյան թիվ կարող է վերլուծվել որպես որևէ միավորի և գաուսյան պարզ թվերի արտադրյալ, և այս վերլուծությունը միակն է՝ ճշտությամբ մինչև արտադրիչների հաջորդականությունը և ցանկացած պարզ թվի փոխարինումը իրեն կապակցված որևէ տարրով (միավոր արտադրիչի համապատասխան փոփոխությամբ)։

Եթե մեկընդմիշտ ընտրվի ֆիքսված գաուսյան պարզ թիվ կապակցված պարզ թվերի յուրաքանչյուր համարժեքության դասի համար, և եթե վերլուծության մեջ վերցվեն միայն այս ընտրված պարզ թվերը, ապա կստացվի պարզ արտադրիչների վերլուծություն, որը միակն է՝ ճշտությամբ մինչև արտադրիչների հաջորդականությունը։ Վերը նկարագրված ընտրությունների դեպքում ստացված միակ վերլուծությունն ունի հետևյալ տեսքը.

u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},

որտեղ $u$ -ն միավոր է (այսինքն՝ $u \in {1, -1, i, - i}$ ), $e 0$ -ն և $k$ -ն ոչ բացասական ամբողջ թվեր են, $e 1, \dots, e k$ -ն դրական ամբողջ թվեր են, իսկ $p 1, \dots, p k$ -ն տարբեր գաուսյան պարզ թվեր են այնպես, որ, կախված ընտրված կապակցված տարրերի տարբերակից,

կամ $p k = a k + ib k$ , որտեղ $a$ -ն կենտ է ու դրական, իսկ $b$ -ն՝ զույգ,
կամ $p k$ -ն $2 + 2 i$ -ի վրա էվկլիդեսյան բաժանման մնացորդը հավասար է 1-ի (սա Գաուսի սկզբնական ընտրությունն է^[6])։

Երկրորդ ընտրության առավելությունն այն է, որ ընտրված կապակցված տարրերը լավ վարք են դրսևորում կենտ նորմով գաուսյան ամբողջ թվերի արտադրյալների ժամանակ։ Մյուս կողմից, իրական գաուսյան պարզ թվերի համար ընտրված կապակցված տարրերը բացասական ամբողջ թվեր են։ Օրինակ, 231-ի վերլուծությունը ամբողջ թվերում, կապակցված տարրերի առաջին ընտրության դեպքում 3 × 7 × 11 է, մինչդեռ երկրորդ ընտրության դեպքում այն կլինի (−1) × (−3) × (−7) × (−11):

Գաուսյան ռացիոնալ թվեր

Գաուսյան ռացիոնալ թվերի դաշտը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակի ֆրակցիաների դաշտն է։ Այն բաղկացած է այն կոմպլեքս թվերից, որոնց իրական և կեղծ մասերը ռացիոնալ թվեր են։

Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակը հանդիսանում է ամբողջ թվերի ամբողջական փակույթը գաուսյան ռացիոնալ թվերի մեջ։

Սա նշանակում է, որ գաուսյան ամբողջ թվերը քառակուսային ամբողջ թվեր են, և որ գաուսյան ռացիոնալ թիվը հանդիսանում է գաուսյան ամբողջ թիվ այն և միայն այն դեպքում, եթե այն հավասարման լուծում է.

x^{2}+cx+d=0,

որտեղ $c$ -ն և $d$ -ն ամբողջ թվեր են։ Իրականում $a + bi$ -ն հետևյալ հավասարման լուծումն է.

x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},

և այս հավասարումն ունի ամբողջ գործակիցներ այն և միայն այն դեպքում, եթե $a$ -ն և $b$ -ն երկուսն էլ ամբողջ թվեր են։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

Ինչպես ցանկացած միակ արտադրիչների վերլուծության տիրույթում, երկու գաուսյան ամբողջ $a, b$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այնպիսի $d$ գաուսյան ամբողջ թիվ է, որը հանդիսանում է $a$ -ի և $b$ -ի ընդհանուր բաժանարարը, և որին բաժանվում են $a$ -ի և $b$ -ի բոլոր ընդհանուր բաժանարարները։ Այսինքն (որտեղ $|$ նշանակում է բաժանելիության հարաբերությունը).

$d | a$ և $d | b$ , և
$c | a$ ու $c | b$ պայմաններից հետևում է $c | d$ :

Այսպիսով, «ամենամեծ» հասկացությունը վերաբերում է բաժանելիության հարաբերությանը, այլ ոչ թե օղակի կարգավորվածությանը (սովորական ամբողջ թվերի համար «ամենամեծ» հասկացության երկու իմաստներն էլ համընկնում են)։

Ավելի տեխնիկական ձևակերպմամբ՝ $a$ -ի և $b$ -ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $a$ -ով ու $b$ -ով ծնված իդեալի ծնիչն է (այս բնութագրումը ճիշտ է գլխավոր իդեալների տիրույթների համար, բայց ընդհանուր առմամբ ճիշտ չէ միակ արտադրիչների վերլուծության տիրույթների համար)։

Երկու գաուսյան ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը միակը չէ, այլ սահմանվում է ճշտությամբ մինչև միավորով բազմապատկումը։ Այսինքն, եթե տրված է $a$ -ի և $b$ -ի որևէ $d$ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, ապա $a$ -ի և $b$ -ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարներն են $d, - d, id$ և $- id$ :

Երկու գաուսյան ամբողջ $a$ և $b$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հաշվելու մի քանի եղանակ կա։ Երբ հայտնի են $a$ -ի և $b$ -ի պարզ արտադրիչների վերլուծությունները.

a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},

որտեղ $p m$ պարզ թվերը զույգ առ զույգ կապակցված չեն, իսկ $μ m$ ցուցիչները կապակցված չեն, ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կլինի.

\prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},

որտեղ

\lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).

Ցավոք, բացառությամբ պարզ դեպքերի, պարզ արտադրիչների վերլուծությունը դժվար է հաշվարկել, և էվկլիդեսյան ալգորիթմը հանգեցնում է շատ ավելի հեշտ հաշվարկի։ Այս ալգորիթմը կայանում է նրանում, որ սկզբնական $(a, b)$ զույգը փոխարինվում է $(b, r)$ զույգով, որտեղ $r$ -ը $a$ -ն $b$ -ի վրա էվկլիդեսյան բաժանման մնացորդն է, և այս գործողությունը կրկնվում է այնքան ժամանակ, մինչև ստացվի զրոյական մնացորդ, այսինքն՝ $(d, 0)$ զույգը։ Այս գործընթացն ավարտվում է, քանի որ յուրաքանչյուր քայլում երկրորդ գաուսյան ամբողջ թվի նորմը նվազում է։ Ստացված $d$ -ն ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է, որովհետև (յուրաքանչյուր քայլում) $b$ -ն և $r = a - bq$ -ն ունեն նույն բաժանարարները, ինչ $a$ -ն և $b$ -ն, հետևաբար և՝ նույն ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Հաշվարկման այս մեթոդը միշտ աշխատում է, սակայն այնքան պարզ չէ, որքան սովորական ամբողջ թվերի համար, քանի որ էվկլիդեսյան բաժանումն ավելի բարդ է։ Այդ պատճառով, ձեռքով հաշվարկների համար հաճախ նախապատվությունը տրվում է երրորդ մեթոդին։ Այն կայանում է նրանում, որ նկատվում է, որ $a$ -ի և $b$ -ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի $N (d)$ նորմը հանդիսանում է $N (a)$ -ի, $N (b)$ -ի և $N (a + b)$ -ի ընդհանուր բաժանարարը։ Երբ այս երեք ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար $D$ -ն ունի քիչ արտադրիչներ, ապա հեշտ է որպես ընդհանուր բաժանարար ստուգել բոլոր այն գաուսյան ամբողջ թվերը, որոնց նորմը բաժանում է $D$ -ն։

Օրինակ, եթե $a = 5 + 3 i$ և $b = 2 - 8 i$ , ապա ունենք $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ և $N (a + b) = 74$ : Քանի որ երեք նորմերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2 է, ապա $a$ -ի և $b$ -ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի նորմը 1 կամ 2 է։ Քանի որ 2 նորմով գաուսյան ամբողջ թիվը պարտադիր կերպով կապակցված է $1 + i$ թվին, և քանի որ $1 + i$ -ն բաժանում է $a$ -ն ու $b$ -ն, ապա ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $1 + i$ -ն է։

Եթե $b$ -ն փոխարինվի իր համալուծով՝ $b = 2 + 8 i$ , ապա երեք նորմերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կլինի 34-ը՝ $a$ -ի նորմը, հետևաբար կարելի է ենթադրել, որ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $a$ -ն է, այսինքն՝ $a | b$ : Իրականում տեղի ունի $2 + 8 i = (5 + 3 i)(1 + i)$ հավասարությունը։

Համադրություններ և մնացորդների դասեր

Տրված $z 0$ գաուսյան ամբողջ թվի դեպքում, որը կոչվում է մոդուլ, երկու $z 1, z 2$ գաուսյան ամբողջ թվեր կոչվում են համադրելի ըստ $z 0$ մոդուլի, եթե դրանց տարբերությունը $z 0$ -ի պատիկ է, այսինքն՝ եթե գոյություն ունի այնպիսի $q$ գաուսյան ամբողջ թիվ, որ $z 1 - z 2 = qz 0$ ։ Այլ խոսքով, երկու գաուսյան ամբողջ թվեր համադրելի են ըստ $z 0$ մոդուլի, եթե դրանց տարբերությունը պատկանում է $z 0$ -ով ծնված իդեալին։ Սա նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ :

Ըստ $z 0$ մոդուլի համադրությունը համարժեքության հարաբերություն է (նաև կոչվում է համադրության հարաբերություն), որը սահմանում է գաուսյան ամբողջ թվերի տրոհում համարժեքության դասերի, որոնք այստեղ կոչվում են համադրության դասեր կամ մնացորդների դասեր։ Մնացորդների դասերի բազմությունը սովորաբար նշանակվում է $Z [i]/ z 0 Z [i]$ , կամ $Z [i]/⟨y⟩$ , կամ պարզապես $Z [i]/ z 0$ :

Որևէ $a$ գաուսյան ամբողջ թվի մնացորդի դասը հետևյալ բազմությունն է.

{\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}

այն բոլոր գաուսյան ամբողջ թվերի, որոնք համադրելի են $a$ -ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ $a = b$ այն և միայն այն դեպքում, եթե $a \equiv b (mod z 0)$ :

Գումարման և բազմապատկման գործողությունները համատեղելի են համադրությունների հետ։ Սա նշանակում է, որ $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ և $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ պայմաններից հետևում է $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod z 0)$ և $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (mod z 0)$ : Սա սահմանում է լավ որոշված գործողություններ (այսինքն՝ անկախ ներկայացուցիչների ընտրությունից) մնացորդների դասերի վրա.

{\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{and}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.

Այս գործողություններով մնացորդների դասերը կազմում են կոմուտատիվ օղակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերի ըստ $z 0$ -ով ծնված իդեալի ֆակտոր օղակը, որն նաև ավանդաբար կոչվում է ըստ $z 0$ մոդուլի մնացորդների դասերի օղակ (։

Օրինակներ

Գոյություն ունի ուղիղ երկու մնացորդների դաս $1 + i$ մոդուլի համար, մասնավորապես՝ $0 = {0, \pm2, \pm4,\dots,\pm1 \pm i, \pm3 \pm i,\dots}$ ( $1 + i$ -ի բոլոր պատիկները) և $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,\dots, \pm i, \pm2 \pm i,\dots}$ , որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ձևավորում են շախմատային տախտակի պատկեր։ Այս երկու դասերը կազմում են երկու տարրից բաղկացած օղակ, որն իրականում դաշտ է՝ երկու տարրից բաղկացած միակ դաշտը (ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմ), և կարող է նույնացվել 2 մոդուլով ամբողջ թվերի հետ։ Այս երկու դասերը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջ թվերի զույգ և կենտ տրոհման ընդհանրացում։ Այսպիսով, կարելի է խոսել զույգ և կենտ գաուսյան ամբողջ թվերի մասին (Գաուսը զույգ գաուսյան ամբողջ թվերը հետագայում բաժանեց «զույգերի», որոնք բաժանվում են 2-ի, և «կիսազույգերի»)։
2 մոդուլի համար գոյություն ունի չորս մնացորդների դաս, մասնավորապես՝ $0, 1, i, 1 + i$ ։ Սրանք կազմում են չորս տարրից բաղկացած օղակ, որտեղ $x = - x$ ցանկացած $x$ -ի համար։ Այսպիսով, այս օղակը իզոմորֆ չէ 4 մոդուլով ամբողջ թվերի օղակին, որը նույնպես չորս տարրից բաղկացած օղակ է։ Ունենք $1 + i 2 = 0$ , և այսպիսով, այս օղակը ոչ չորս տարրից բաղկացած վերջավոր դաշտ է, և ոչ էլ 2 մոդուլով ամբողջ թվերի օղակի երկու օրինակների ուղիղ արտադրյալը։
$2 + 2i = (i - 1) 3$ մոդուլի համար գոյություն ունի ութ մնացորդների դաս, մասնավորապես՝ $0, \pm1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , որոնցից չորսը պարունակում են միայն զույգ գաուսյան ամբողջ թվեր, իսկ չորսը՝ միայն կենտ գաուսյան ամբողջ թվեր։

Մնացորդների դասերի նկարագրություն

Տրված $z 0$ մոդուլի դեպքում մնացորդների դասի բոլոր տարրերն ունեն նույն մնացորդը $z 0$ -ի վրա էվկլիդեսյան բաժանման ժամանակ, եթե օգտագործվում է միակ քանորդով և մնացորդով բաժանումը, որը նկարագրված է վերևում։ Այսպիսով, մնացորդների դասերի թվարկումը համարժեք է հնարավոր մնացորդների թվարկմանը։ Դա երկրաչափորեն կարելի է անել հետևյալ կերպ.

Կոմպլեքս հարթության մեջ կարելի է դիտարկել քառակուսի ցանց, որի քառակուսիները սահմանափակված են հետևյալ երկու ուղիղներով.

{\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{և}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}

որտեղ $s$ -ը և $t$ -ն ամբողջ թվեր են (կապույտ ուղիղները նկարում)։ Սրանք հարթությունը բաժանում են կիսաբաց քառակուսիների (որտեղ $m$ -ը և $n$ -ը ամբողջ թվեր են).

Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.

Կիսաբաց միջակայքերը, որոնք հանդիպում են $Q mn$ -ի սահմանման մեջ, ընտրվել են այնպես, որ յուրաքանչյուր կոմպլեքս թիվ պատկանի ուղիղ մեկ քառակուսու. այսինքն՝ $Q mn$ քառակուսիները կազմում են կոմպլեքս հարթության տրոհում։ Տեղի ունի հետևյալը.

Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.

Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր գաուսյան ամբողջ թիվ ըստ $z 0$ մոդուլի համադրելի է $Q 00$ քառակուսու (նկարի կանաչ քառակուսին) մեջ գտնվող միակ գաուսյան ամբողջ թվին, որը հանդիսանում է դրա մնացորդը $z 0$ -ի վրա բաժանելիս։ Այլ խոսքով, յուրաքանչյուր մնացորդի դաս պարունակում է ուղիղ մեկ տարր $Q 00$ -ում։

$Q 00$ -ում (կամ դրա սահմանի վրա) գտնվող գաուսյան ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են մինիմալ մնացորդներ, քանի որ դրանց նորմը մեծ չէ նույն մնացորդի դասի ցանկացած այլ գաուսյան ամբողջ թվի նորմից (Գաուսը դրանք անվանել է «բացարձակապես ամենափոքր մնացորդներ»)։

Այստեղից երկրաչափական դիտարկումների միջոցով կարելի է եզրակացնել, որ $z 0 = a + bi$ գաուսյան ամբողջ թվի մոդուլով մնացորդների դասերի քանակը հավասար է դրա $N (z 0) = a 2 + b 2$ նորմին (ապացույցը տես ստորև. նմանապես, սովորական ամբողջ թվերի համար $n$ մոդուլով մնացորդների դասերի քանակը դրա բացարձակ արժեքն է):

Մնացորդ դասերի դաշտեր

Գաուսյան ամբողջ թվի $z 0$ մոդուլով մնացորդների դասերի օղակը հանդիսանում է դաշտ այն և միայն այն դեպքում, եթե $z_{0}$ -ն գաուսյան պարզ թիվ է։

Եթե $z 0$ -ն տրոհված պարզ թիվ է կամ $1 + i$ ճյուղավորված պարզ թիվը (այսինքն՝ եթե դրա $N (z 0)$ նորմը պարզ թիվ է, որը կամ 2 է, կամ 4 մոդուլով 1-ի համադրելի պարզ թիվ), ապա մնացորդների դասերի դաշտն ունի տարրերի պարզ քանակ (այսինքն՝ $N (z 0)$ ): Այն, հետևաբար, իզոմորֆ է $N (z 0)$ մոդուլով ամբողջ թվերի դաշտին։

Մյուս կողմից, եթե $z 0$ -ն իներտ պարզ թիվ է (այսինքն՝ $N (z 0) = p 2$ -ն այնպիսի պարզ թվի քառակուսի է, որը համադրելի է 3-ի ըստ 4 մոդուլի), ապա մնացորդների դասերի դաշտն ունի $p 2$ տարր, և այն հանդիսանում է $p$ տարրերով պարզ դաշտի (ամբողջ թվեր ըստ $p$ մոդուլի) 2-րդ աստիճանի ընդլայնում (միակը՝ ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմ)։

Պրիմիտիվ մնացորդների խումբ և Էյլերի ֆունկցիա

Ամբողջ թվերի մոդուլների վերաբերյալ շատ թեորեմներ (և դրանց ապացույցներ) կարող են անմիջապես փոխանցվել գաուսյան ամբողջ թվերի մոդուլներին, եթե մոդուլի բացարձակ արժեքը փոխարինվի նորմով։ Սա հատկապես վերաբերում է պրիմիտիվ մնացորդների դասերի խմբին (նաև կոչվում է ամբողջ թվերի բազմապատկական խումբ ըստ n մոդուլի) և Էյլերի ֆունկցիային։ $z$ մոդուլի պրիմիտիվ մնացորդների դասերի խումբը սահմանվում է որպես դրա մնացորդների դասերի այն ենթաբազմությունը, որը պարունակում է բոլոր այն $a$ մնացորդների դասերը, որոնք փոխադարձաբար պարզ են $z$ -ի հետ, այսինքն՝ $(a, z) = 1$ ։ Ակնհայտ է, որ այս համակարգը կազմում է բազմապատկական խումբ։ Դրա տարրերի քանակը նշանակվում է $ϕ (z)$ -ով (համանմանորեն սովորական ամբողջ թվերի համար գրվող Էյլերի $φ (n)$ ֆունկցիային)։

Գաուսյան պարզ թվերի համար անմիջապես հետևում է, որ ϕ(p) = p2 − 1, իսկ կամայական բաղադրյալ գաուսյան ամբողջ թվերի համար՝

z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}

Էյլերի արտադրյալի բանաձևը կարող է արտածվել հետևյալ տեսքով.

\phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)

որտեղ արտադրյալը պետք է կազմվի $z$ -ի բոլոր $p m$ պարզ բաժանարարների վրայով (որտեղ $ν m > 0$ )։ Նաև Էյլերի կարևոր թեորեմը կարող է անմիջապես փոխանցվել, բոլոր այն $a$ թվերի համար, որոնց դեպքում $(a, z) = 1$ , տեղի ունի $a ϕ (z) \equiv 1 (mod z)$ համադրությունը։

Պատմական ակնարկ

Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակը ներմուծվել է Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի կողմից՝ չորրորդ աստիճանի փոխադարձության վերաբերյալ իր երկրորդ մենագրության մեջ (1832 թվական)^[7]։ Քառակուսային փոխադարձության թեորեմը (որը նրան առաջին անգամ հաջողվել է ապացուցել 1796 թվականին) կապում է $x 2 \equiv q (mod p)$ համադրության լուծելիությունը $x 2 \equiv p (mod q)$ համադրության լուծելիության հետ։ Նմանապես, խորանարդային փոխադարձությունը կապում է $x 3 \equiv q (mod p)$ լուծելիությունը $x 3 \equiv p (mod q)$ լուծելիության հետ, իսկ երկքառակուսային (կամ չորրորդ աստիճանի) փոխադարձությունը կապ է $x 4 \equiv q (mod p)$ և $x 4 \equiv p (mod q)$ համադրությունների միջև։ Գաուսը պարզեց, որ երկքառակուսային փոխադարձության օրենքն ու դրա լրացումները շատ ավելի հեշտ էր ձևակերպել և ապացուցել որպես պնդումներ «ամբողջ կոմպլեքս թվերի» (այսինքն՝ գաուսյան ամբողջ թվերի) մասին, քան որպես պնդումներ սովորական ամբողջ թվերի մասին։

Ծանոթագրության մեջ նա նշում է, որ Էյզենշտեյնի ամբողջ թվերը բնական տիրույթ են խորանարդային փոխադարձության վերաբերյալ արդյունքները ձևակերպելու և ապացուցելու համար, և մատնանշում է, որ ամբողջ թվերի նմանատիպ ընդլայնումները համապատասխան տիրույթներ են ավելի բարձր աստիճանի փոխադարձության օրենքների ուսումնասիրության համար։

Այս աշխատությունը ոչ միայն ներմուծեց գաուսյան ամբողջ թվերը և ապացուցեց, որ դրանք միակ արտադրիչների վերլուծության տիրույթ են, այլև ներմուծեց նորմ, միավոր, պրիմար և կապակցված տարր հասկացությունները, որոնք այժմ ստանդարտ են հանրահաշվական թվերի տեսության մեջ։

Չլուծված խնդիրներ

Չլուծված խնդիրների մեծ մասը կապված է հարթության վրա գաուսյան պարզ թվերի բաշխման հետ։

Գաուսի շրջանի խնդիրը ինքնին չի վերաբերում գաուսյան ամբողջ թվերին, այլ փոխարենը հարցնում է կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոնացված տրված շառավղով շրջանի ներսում ամբողջ թվային ցանցի կետերի քանակը։ Սա համարժեք է տրված արժեքից փոքր նորմով գաուսյան ամբողջ թվերի քանակի որոշմանը։

Գոյություն ունեն նաև վարկածներ և չլուծված խնդիրներ գաուսյան պարզ թվերի վերաբերյալ։ Դրանցից երկուսն են.

Իրական և կեղծ առանցքներն ունեն գաուսյան պարզ թվերի անվերջ բազմություն՝ 3, 7, 11, 19, ... և դրանց կապակցված տարրերը։ Կա՞ն արդյոք այլ ուղիղներ, որոնց վրա գոյություն ունեն անվերջ թվով գաուսյան պարզ թվեր։ Մասնավորապես, կա՞ն անվերջ թվով $1 + ki$ տեսքի գաուսյան պարզ թվեր^[8]։
Հնարավո՞ր է արդյոք գնալ դեպի անվերջություն՝ օգտագործելով գաուսյան պարզ թվերը որպես քայլքի քարեր և կատարելով միատեսակ սահմանափակ երկարության քայլեր։ Սա հայտնի է որպես գաուսյան խրամատի խնդիր. այն առաջադրվել է 1962 թվականին Բազիլ Գորդոնի կողմից և մնում է չլուծված^[9]^[10]։

Ծանոթագրություններ

1 2 Fraleigh (1976, էջ. 286)
↑ Stein, Robert G. «Exploring the Gaussian Integers». The Two-Year College Mathematics Journal. 7 (4): 4–10. doi:10.1080/00494925.1976.11974454.
↑ Fraleigh (1976, էջ. 289)
↑ Fraleigh (1976, էջ. 288)
↑ Fraleigh (1976, էջ. 287)
↑ Gauss (1831, էջ. 546)
↑ Kleiner (1998)
↑ Ribenboim, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV (Hardy & Littlewood's conjecture E and F)
↑ Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. 2004. էջեր 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
↑ «A stroll through the Gaussian primes». The American Mathematical Monthly. 105 (4): 327–337. 1998. doi:10.2307/2589708. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002.

Գրականություն

Gauss, C. F. (1831), «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.», Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen, 7: 89–148; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. A German translation of this paper is available online in ″H. Maser (ed.): Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik. Springer, Berlin 1889, pp. 534″.
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Kleiner, Israel (1998). «From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory». Elem. Math. 53 (1): 18–35. doi:10.1007/s000170050029. Zbl 0908.16001.
The New Book of Prime Number Records (3rd ed.). New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001.
Henry G. Baker (1993). «Complex Gaussian Integers for "Gaussian Graphics"». ACM SIGPLAN Notices. 28 (11): 22–27. doi:10.1145/165564.165571. S2CID 8083226.

[Fraleigh_1976_286-1] 1 2 Fraleigh (1976, էջ. 286)

[2] Stein, Robert G. «Exploring the Gaussian Integers». The Two-Year College Mathematics Journal. 7 (4): 4–10. doi:10.1080/00494925.1976.11974454.

[3] Fraleigh (1976, էջ. 289)

[4] Fraleigh (1976, էջ. 288)

[5] Fraleigh (1976, էջ. 287)

[6] Gauss (1831, էջ. 546)

[7] Kleiner (1998)

[8] Ribenboim, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV (Hardy & Littlewood's conjecture E and F)

[9] Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. 2004. էջեր 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

[10] «A stroll through the Gaussian primes». The American Mathematical Monthly. 105 (4): 327–337. 1998. doi:10.2307/2589708. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]