Բրեզենհեմի ալգորիթմ

Բրեզենհեմի ալգորիթմ
Տեսակ	line drawing algorithm? և midpoint circle algorithm?
Անվանված է	Jack Elton Bresenham?

Բրեզենհեմի ալգորիթմ (անգլ.՝ Bresenham's algorithm), համակարգչային գրաֆիկայի հնագույն ալգորիթմներից է։ Որոշում է պատկերացանցում երկու կետերը միացնող ամենակարճ ճանապարհը։ Այն մշակվել է 1962 թվականին, IBM ընկերությունում, Ջեկ Է․ Բրեզենհեմի կողմից։ Մասնավորապես այն կիրառվում է համակարգչի էկրանին գծեր նկարելու համար։

Ալգորիթմ

Գիծը գծվում է երկու կետերի միջև - $(x_{0},y_{0})$ և $(x_{1},y_{1})$ , որտեղ տրված են սյունը ( $x$ ) և տողը( $y$ ), վերջիններս աճում են դեպի ներքև և աջ( (0,0) սկզբնակետը կլինի ամենավերև և ամենաձախ կետը )։ Սկզբում ենթադրենք, որ գիծը ուղղված է դեպի ներքև և աջ, ինչպես նաև $(x_{1}-x_{0})>(y_{1}-y_{0})$ (այսինքն՝ գիծը հորիզոնական ուղղի հետ կազմում է 45°֊ից փոքր անկյուն)։ Մեր խնդիրն է՝ գտնել այն կետի x և y ֊ը, որն ամենամոտը կլինի ուղղին։

Երկու կետերի միջև ընկած գծի հավասարումը

{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.

Քանի որ $(x_{1}-x_{0})>(y_{1}-y_{0})$ , ապա անհրաժեշտ է դիտարկել x-երը՝ գտնելու համար y֊երը։ y֊ը գտնելու համար անհրաժեշտ է կլորացնել հետևյալ բանաձևից ստացված թիվը (դեպի ավելի փոքր, ամբողջ թիվը)։

y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}

.

Սակայն անհրաժեշտություն չկա գտնել թվի բացարձակ արժեքը, քանի որ բավական է նկատել, որ y֊ը իր արժեքը սկսում է փոխել y0֊ից սկսած։ Ամեն քայլում ընթացիկ x֊ին գումարվում է 1 և արդյունքը բազմապատկվում անկյունային գործակցով, այնուհետև գումարվում y0-ն։ Մեր դեպքում անկյունային գործակիցը բացասական թիվ է (այն հաստատուն է, հետեևաբար կարելի է նախապես հաշվել այն։)։

a={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},

Ամեն քայլում կատարվում է հետևյալ երկու գործողություններից որևէ մեկը՝

y֊ը մնում է նույնը
y-ը փոքրանում 1֊ով

Գործողությունը պարզելու համար հարկավոր է հետևել շեղմանը, որը ընթացիկ x-ի նկատմամբ y-ի և ընթացիկ y֊ի հեռավորությունն է։ Ամեն քայլում x-ը մեծացնելով 1֊ով, շեղումը մեծացնում ենք անկյունային գործակցով։ Եթե շեղումը մեծ է 0.5֊ից, ապա գիծը ավելի մոտ է հաջորդ y-ին, հետևաբար y֊ը փոխում ենք մեկով, հակառակ դեպքում թողնում ենք նույնը՝

Հետևյալ օրինակում plot(x,y) ներկում է պիկսելը, sign(T) վերադարձնում է T֊ի նշանը, abs վերադարձնում է թվի բացարձակ արժեքը։

function line(x0, x1, y0, y1)
real deltax։= x1 - x0
real deltay։= y1 - y0
real error։= 0
real deltaerr։= abs (deltay / deltax) // Ենթադրենք deltax != 0 (գիծը ուղղահայաց չէ),
// կարևոր պայման է, որ deltaerr փոփոխականը կարողանա ընդունել կոտորակային թվեր
int y։= y0
for x from x0 to x1
 plot(x,y)
 error։= error + deltaerr
 while error ≥ 0.5 then
 plot(x, y)
 y։= y + sign(y1 - y0)
 error։= error - 1.0

Այս լուծման բացասական կողմերից մեկն այն է, որ այնպիսի փոփոխականների հետ, ինչպիսին են՝ deltaerr֊ը և error֊ը, համակարգիչները համեմատաբար ավելի դանդաղ են աշխատում։ Այս հարցը հեշտությամբ լուծվում է բոլոր իրական թվերը բազմապատկելով deltax֊ով։ Իրական թվերից վերջնականապես ազատվելու համար՝ error >= 0.5 * deltaerr -ը փոխարինում ենք 2 * error >= deltaerr ֊ով։ Արդյունքում ստանում ենք հետևյալ լուծումը՝

function line(x0, x1, y0, y1)
int deltax։= abs(x1 - x0)
int deltay։= abs(y1 - y0)
int error։= 0
int deltaerr։= deltay
int y։= y0
for x from x0 to x1
 plot(x,y)
 error։= error + deltaerr
 if 2 * error >= deltax
 y։= y - 1
 error։= error - deltax

Ամբողջ թիվը երկուսով բազմապատկելու համար բավարար է կատարել ձախ բիթային տեղաշարժ։ Սակայն եթե թիվը բացասական է, ապա վերջին բիթը կկորցնենք՝ արդյունքում կորցնելով նշանի բիթը։ Դրա համար օգտագործվում են լրացում և շրջում բիթային գործողությունները։