Բորդայի մեթոդ

Բորդայի մեթոդ կամ վաստակի կարգ (անգլ.՝ Borda method or order of merit), դիրքային քվեարկության համակարգ, որի դեպքում ընտրողը թեկնածուներին դասակարգում է ըստ նախընտրության, իսկ յուրաքանչյուր թեկնածու ստանում է միավորներ՝ իր զբաղեցրած տեղի համաձայն. որքան բարձր է նրա դիրքը, այնքան ավելի շատ միավոր է ստանում։ Ամենացածր դասակարգված թեկնածուն (քվեարկողի համար ամենաքիչ նախընտրելի թեկնածուն) ստանում է 0 միավոր, նախավերջինը՝ 1 միավոր և այդպես շարունակ։ Բոլոր քվեաթերթիկների միավորները գումարվում են, և հաղթում է այն թեկնածուն, որը հավաքում է ամենաշատ միավորները։

Բորդայի հաշվարկի մեթոդը մի քանի անգամ անկախ կերպով վերահայտնագործվել է։ Դրա առաջին հայտնի առաջարկը 1435 թվականին արել է Նիկոլաս Կուզացին^[⇨], սակայն համակարգը կոչվում է 18-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և ռազմածովային ինժեներ Ժան-Շառլ դը Բորդայի անունով, որը 1770 թվականին կրկին մշակել է այն։

Սոցիալական ընտրության տեսության մեջ Բորդայի հաշվարկը լայնորեն հայտնի է թե՛ իր բարենպաստ տեսական հատկություններով, թե՛ շահարկումների նկատմամբ զգայունությամբ։ Շահադիտական քվեարկության և թեկնածուների շահադիտական առաջադրման բացակայության պայմաններում Բորդայի մեթոդը սովորաբար ընտրում է լայնորեն ընդունելի տարբերակներ կամ թեկնածուներ, այլ ոչ թե հետևողականորեն առաջնորդվում մեծամասնության նախընտրությամբ։ Երբ թե՛ քվեարկության, թե՛ առաջադրման օրինաչափությունները լիովին պատահական են, Բորդայի մեթոդը, որպես կանոն, ապահովում է հասարակական օգտակարության արդյունավետության բացառիկ բարձր մակարդակ։

Սակայն մեթոդը չափազանց խոցելի է նմանատիպ թեկնածուների առկայությամբ արդյունքների խեղաթյուրման նկատմամբ։ Լրացուցիչ թեկնածուների ազդեցությունը ընտրության արդյունքի վրա սահմանափակված չէ, հնարավոր է, որ ցանկացած քաղաքական ուժ հաղթի ընտրություններում՝ պարզապես առաջադրելով բավարար թվով գրեթե նույնական թեկնածուներ։ Հավասար դասակարգման կամ թերի լրացված քվեաթերթիկների տարածված տարբերակները կարող են նաև շահադիտական ընտրողների համար խրախուսել կանխամտածված ցածր գնահատման մարտավարությունը, ինչի հետևանքով կարող են հաղթել խորապես ոչ հանրաճանաչ թեկնածուներ՝ պարզապես ուշադրությունից դուրս մնալու շնորհիվ։

Այս խնդիրը ծագում է այն պատճառով, որ Բորդայի մեթոդում ընտրողի կողմից նշված ավելի ցածր նախապատվությունը կարող է խանգարել նրա առաջին նախընտրության հաղթանակին։ Թեև Բորդայի մեթոդում ավելի ցածր նախապատվություններին տրվում է ավելի քիչ կշիռ, քան բարձր նախապատվություններին, և այդ պատճառով այս խնդիրը պակաս սուր է, քան որոշ այլ համակարգերում, այն շարունակում է գոյություն ունենալ։

Ավանդական Բորդայի մեթոդն այսօր կիրառվում է Սլովենիայի Ազգային ժողովի երկու էթնիկ փոքրամասնությունների ներկայացուցիչների ընտրության համար, իսկ փոփոխված ձևերով՝ Իսլանդիայի խորհրդարանական ընտրություններում կուսակցական ցուցակներով բաշխվող մանդատների թեկնածուներին որոշելու նպատակով։ Դրա մի տարբերակ, որը հայտնի է որպես Դաուդոլի համակարգ, օգտագործվում է Նաուրուի խորհրդարանի անդամների ընտրության ժամանակ։ Մինչև 1970-ականների սկիզբը մեկ այլ տարբերակ կիրառվում էր Ֆինլանդիայում՝ կուսակցական ցուցակների ներսում առանձին թեկնածուների ընտրության համար։ 1979 թվականից մինչև 2002 թվականը այս մեթոդը կիրառվել է նաև Կիրիբատիում նախագահական ընտրությունների թեկնածուների ընտրության նպատակով։

Բորդայի մեթոդը լայնորեն օգտագործվում է նաև աշխարհի տարբեր մասնավոր կազմակերպությունների և մրցույթների կողմից։

Քվոտային Բորդայի համակարգը բազմահաղթող համամասնական տարբերակ է։

Քվեարկություն և հաշվարկ

Քվեաթերթիկ

Բորդայի հաշվարկը վարկանշային քվեարկության համակարգ է․ ընտրողը թեկնածուներին դասավորում է ըստ նախընտրության։ Օրինակ՝ ընտրողը իր ամենանախընտրած թեկնածուին տալիս է 1, երկրորդին՝ 2, և այդպես շարունակ։ Այս իմաստով այն նման է այլ վարկանշային համակարգերի, օրինակ՝ ակնթարթային երկրորդ փուլով քվեարկությանը, մեկ փոխանցվող ձայնի համակարգին կամ Կոնդորսեի մեթոդներին։ Թեկնածուների գնահատման համար օգտագործվող ամբողջ թվերով վարկանիշները հիմնավորված են Լապլասի կողմից, որը կիրառել է հավանականական մոդել՝ հիմնված մեծ թվերի օրենքի վրա։

Բորդայի հաշվարկը դասվում է դիրքային քվեարկության համակարգերի շարքին, այսինքն՝ բոլոր նախապատվությունները հաշվի են առնվում, բայց տարբեր կշիռներով։ Մյուս լայնորեն կիրառվող դիրքային համակարգը մեծամասնության քվեարկությունն է, որը միավոր է տալիս միայն ամենաբարձր նախընտրությանը։

Յուրաքանչյուր թեկնածու յուրաքանչյուր քվեաթերթիկից ստանում է այնքան միավոր, որքան իրենից ցածր դասավորված թեկնածուների թիվն է․ այսինքն՝ եթե կա n թեկնածու, ապա առաջին նախընտրությունը ստանում է n–1 միավոր, երկրորդը՝ n–2 և այդպես շարունակ։ Հաղթում է այն թեկնածուն, որը հավաքում է ամենաշատ ընդհանուր միավորները։ Օրինակ՝ չորս թեկնածու ունեցող ընտրությունում մեկ քվեաթերթիկի վրա ընտրողի արտահայտած նախընտրությունների համար միավորները կարող են բաշխվել այսպես՝

Վարկանիշ	Թեկնածու	Բանաձև	Միավորներ
1-ին	Էնդրյու	n − 1	3
2-րդ	Բրայան	n − 2	2
3-րդ	Քեթրին	n − 3	1
4-րդ	Դավիթ	n − 4	0

Ենթադրենք, որ կան 3 ընտրողներ՝ U, V և W, որոնցից U-ն և V-ն թեկնածուներին դասակարգում են Ա-Բ-Գ-Դ հերթականությամբ, մինչդեռ W-ն նրանց դասակարգում է Բ-Գ-Դ-Ա հերթականությամբ։

Թեկնածու	U միավորներ	V միավորներ	W միավորներ	ընդհանուր
Էնդրյու	3	3	0	6
Բրայան	2	2	3	7
Քեթրին	1	1	2	4
Դավիթ	0	0	1	1

Այսպիսով, Բրայանը ընտրվում է։

Ստորև բերված է ավելի երկար օրինակ՝ հիմնված Թենեսի նահանգի մայրաքաղաքի կեղծ ընտրությունների վրա։

Հատկություններ

Ընտրությունները որպես գնահատման ընթացակարգեր

Կոնդորսեն ընտրություններին նայում էր որպես գնահատիչները միավորելու փորձ։ Ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր թեկնածու ունի արժանիքի որոշակի ցուցանիշ, և յուրաքանչյուր ընտրող յուրաքանչյուր թեկնածուի արժեքը գնահատում է աղմկոտ (անճշտություններով) գնահատմամբ։ Քվեաթերթիկը թույլ է տալիս ընտրողին թեկնածուներին դասակարգել ըստ գնահատված արժանիքի հերթականության։ Ընտրության նպատակը լավագույն թեկնածուի համակցված գնահատական ստանալն է։ Նման գնահատիչը կարող է ավելի վստահելի լինել, քան դրա առանձին բաղադրիչներից յուրաքանչյուրը։

Փեյթոն Յանգը ցույց է տվել, որ Բորդայի հաշվարկը մոտավորապես տալիս է առավելագույն հավանականության գնահատիչ լավագույն թեկնածուի համար։ Նրա թեորեմը ենթադրում է, որ սխալները անկախ են, այսինքն՝ եթե ընտրողը բարձր է գնահատում որոշակի թեկնածուի, ապա հիմք չկա ենթադրելու, որ նա նույնքան բարձր կգնահատի «նման» թեկնածուներին։ Եթե այս հատկությունը բացակայում է՝ եթե ընտրողը տալիս է փոխկապակցված (կոռելացված) դասակարգումներ համանման հատկանիշներ ունեցող թեկնածուների համար, ապա առավելագույն հավանականության հատկությունը կորում է, և Բորդայի հաշվարկը զգալիորեն ենթարկվում է առաջադրման (նոմինացիոն) ազդեցությունների․ թեկնածուն ավելի հավանական է ընտրվել, եթե քվեաթերթիկում կան նրան նման թեկնածուներ։

Անկարևոր թեկնածուների ազդեցությունը

An election under the Borda count

Բորդայի հաշվարկը հատկապես ենթակա է խեղաթյուրման՝ այն թեկնածուների ներկայությամբ, որոնք իրենք անմիջականորեն չեն դիտարկվում, նույնիսկ այն դեպքում, երբ ընտրողները գտնվում են միևնույն սպեկտրի վրա։ Քվեարկության այն համակարգերը, որոնք բավարարում են Կոնդորսեի չափանիշը, պաշտպանված են այս թուլությունից, քանի որ դրանք ավտոմատ կերպով բավարարում են նաև մեդիան ընտրողի թեորեմը, ըստ որի՝ ընտրության հաղթողը կլինի այն թեկնածուն, որին նախընտրում է մեդիան ընտրողը՝ անկախ նրանից, թե ինչ այլ թեկնածուներ են մասնակցում։

Ենթադրենք, որ կա 11 ընտրող, որոնց դիրքերը սպեկտրի վրա կարելի է գրել որպես 0, 1, ..., 10, և ենթադրենք, որ կա 2 թեկնածու՝ Էնդրյուն և Բրայանը, որոնց դիրքերը ներկայացված են հետևյալ կերպ․

Թեկնածու	Ա	Բ
Դիրք	51⁄4	61⁄4

Մեդիան ընտրող Մարլենը գտնվում է 5-րդ դիրքում, և երկու թեկնածուներն էլ նրա աջ կողմում են, ուստի մենք կսպասեինք, որ կընտրվի Ա-ն։ Սա կարող ենք ստուգել Բորդայի համակարգի համար՝ կառուցելով աղյուսակ, որը ցույց կտա հաշվարկը։ Աղյուսակի հիմնական մասը ներկայացնում է այն ընտրողներին, որոնք առաջին թեկնածուին նախընտրում են երկրորդից՝ ըստ տողերի և սյունակների վերնագրերի, իսկ աջ կողմում գտնվող լրացուցիչ սյունակը տալիս է առաջին թեկնածուի միավորները։

2 1	Ա	Բ		միավոր
Ա	—	0–5		6
Բ	6–10	—		5

Ա-ն իրոք ընտրվում է։

Այժմ ենթադրենք, որ ընտրությանը մասնակցում են ևս երկու լրացուցիչ թեկնածուներ, որոնք գտնվում են ավելի աջ կողմում։

Թեկնածու	Ա	Բ	Գ	Դ
Դիրք	51⁄4	61⁄4	81⁄4	101⁄4

Հաշվարկի աղյուսակը ընդլայնվում է հետևյալ կերպ․

2 1	Ա	Բ	Գ	Դ		միավոր
Ա	—	0–5	0–6	0–7		21
Բ	6–10	—	0–7	0–8		22
Գ	7–10	8–10	—	0–9		17
Դ	8–10	9–10	10	—		6

Երկու լրացուցիչ «դատարկ» թեկնածուների մուտքը թույլ է տալիս Բ-ին հաղթել ընտրություններում։ Նման օրինակներն էին պատճառը, որ Մարկիզ դը Կոնդորսեն պնդում էր, որ Բորդայի հաշվարկը «անխուսափելիորեն տանում է սխալի», քանի որ այն «իր դատողությունները ձևավորելիս հենվում է անկարևոր գործոնների վրա»։

Այլ հատկություններ

Կան մի շարք ֆորմալացված քվեարկության համակարգերի չափանիշներ, որոնց արդյունքները ամփոփված են հետևյալ աղյուսակում։

Սիմուլյացիաները ցույց են տալիս, որ Բորդայի հաշվարկը ունի բարձր հավանականություն ընտրելու Կոնդորսեի հաղթողին, երբ այդպիսին գոյություն ունի, ռազմավարական քվեարկության բացակայության դեպքում և երբ քվեաթերթիկներում դասակարգվում են բոլոր թեկնածուները։

Հավասար կոչումներ

Առաջարկվել են կապված դասակարգումների (հավասար տեղերի) մշակման մի քանի տարբեր մեթոդներ։ Դրանք կարելի է պատկերել՝ օգտագործելով նախկինում քննարկված չորս թեկնածուից բաղկացած ընտրությունը։

Վարկանիշ	Թեկնածու	Միավորներ
1-ին	Էնդրյու	3
2-րդ	Բրայան	2
3-րդ	Քեթրին	1
4-րդ	Դավիթ	0

• Ավանդական Բորդա․ Բորդայի համակարգում, ինչպես սկզբում առաջարկվել էր, յուրաքանչյուր կապված թեկնածու ստանում է նվազագույն միավորների քանակը։ Այսպիսով, եթե ընտրողը Էնդրյուին նշում է որպես իր առաջին նախընտրություն, Բրայանին՝ երկրորդ, իսկ Քեթրինին և Դեյվիդին չի դասակարգում, ապա Էնդրյուն կստանա 3 միավոր, Բրայանը՝ 2, իսկ Քեթրինը և Դեյվիդը՝ 0։ Սա այն դեպքն է, որը Նարոդիցկայան և Ուոլշը կոչում են «կլորացում վերև»։
• Տուրնիրային Բորդա․ յուրաքանչյուր թեկնածու ստանում է կես միավոր յուրաքանչյուր այն թեկնածուի համար, որի հետ նա կապված է, բացի ամբողջական միավորից յուրաքանչյուր այն թեկնածուի համար, որին նա խիստ նախընտրում է։ Օրինակ՝ եթե ընտրողը անտարբեր է Էնդրյուի և Բրայանի միջև, բայց նախընտրում է երկուսին Քեթրինից, իսկ Քեթրինը՝ Դեյվիդից, ապա Էնդրյուն և Բրայանը յուրաքանչյուրը կստանան 2.5 միավոր, Քեթրինը՝ 1, իսկ Դեյվիդը՝ 0։ Սա Նարոդիցկայայի և Ուոլշի կողմից կոչվում է «միջինացում»։
• Փոփոխված Բորդա․ կրկին թույլ է տալիս կապված լինել միայն ընտրողի դասակարգման վերջում։ Այն չդասակարգված թեկնածուներին միավոր չի տալիս, իսկ ամենաքիչ նախընտրելի դասակարգված թեկնածուն ստանում է 1 միավոր, հաջորդը՝ և այլն։ Այսպիսով, եթե ընտրողը Էնդրյուին դասում է Բրայանից վեր և մյուս թեկնածուներին չի դասակարգում, ապա Էնդրյուն կստանա 2 միավոր, Բրայանը՝ 1 միավոր, իսկ Քեթրինը և Դեյվիդը՝ 0։ Սա համարժեք է «կլորացում ներքև»-ին։ Ամենաբարձր նախընտրություն ունեցող թեկնածուն ստանում է տարբեր քանակի միավորներ՝ կախված նրանից, թե քանի թեկնածու է մնացել չդասակարգված։

Ազդեցությունը ռազմավարության վրա

Փոփոխված Բորդայի և տուրնիրային Բորդայի մեթոդները, ինչպես նաև այն Բորդայի տարբերակները, որոնք չեն թույլատրում հավասար դասակարգումներ, հայտնի են նրանով, որ ռազմավարական քվեարկության դեպքում կարող են աղետալի արդյունքներ տալ, մի երևույթ, որը կոչվում է «հնդկահավի ընտրություն»։

Ֆրանսիայի գիտությունների ակադեմիան (որի անդամ էր Բորդան) փորձարկել է Բորդայի համակարգը, սակայն հրաժարվել է դրանից, մասամբ այն պատճառով, որ «ընտրողները սովորեցին, թե ինչպես կարելի է մանիպուլացնել Բորդայի կանոնը»։

Ռազմավարական մանիպուլյացիայի խնդրին ի պատասխան Բորդայի հաշվարկի մեջ Մ. դը Բորդան ասել է․

Mon scrutin n'est fait que pour d'honnêtes gens. Իմ սխեման նախատեսված է միայն ազնիվ մարդկանց համար

Չնայած դրա հրաժարմանը, «կլորացված ներքև» Բորդայի կանոնը ռազմավարական քվեարկության նկատմամբ զգալիորեն ավելի մեղմ արձագանք ունի, քան ավանդական կամ տուրնիրային տարբերակները։ Ռազմավարական քվեարկությունը հիմնականում սահմանափակվում է համեմատաբար մեղմ «միայն մեկ թեկնածուի օգտին քվեարկությամբ», որը ընտրությունը դարձնում է պլյուրալիստական քվեարկության և ազնիվ Բորդայի հաշվարկի խառնուրդի նման, այլ ոչ թե առաջացնում է հնարավոր «հնդկահավի ընտրություն»։

Սլովենիայում, որտեղ կիրառվում է այս կանոնը, ընտրողների մոտավորապես 42 տոկոսը նշում է երկրորդ նախընտրությունը։

Նախապատվությունների պարտադիր սահմանափակում

Բորդայի քվեարկության որոշ իրականացումներ պահանջում են, որ ընտրողները իրենց քվեաթերթիկները սահմանափակեն որոշակի երկարությամբ։

• Կիրիբատում կիրառված տարբերակը 1979-ից մինչև 2002 թվականը օգտագործում էր ավանդական Բորդայի բանաձևը, սակայն ընտրողները դասակարգում էին միայն չորս թեկնածու՝ անկախ նրանից, թե որքան թեկնածու էր առաջադրված։ Այս մոտեցումը հրաժարվեց 2002 թվականի «Բերետիտենտիի ընտրության (փոփոխություն) օրենքի» ընդունումից հետո, որը ուժի մեջ մտավ 2002 թվականի հոկտեմբերի 18-ին։
• «Թոսթմասթերս Ինթերնեշնլ»-ում ելույթների մրցույթները գնահատվում են կրճատված միավորներով՝ 3, 2, 1 սկզբունքով՝ լավագույն երեք թեկնածուների համար։ Հավասար արդյունքների դեպքում կիրառվում է հատուկ քվեաթերթիկ, որը հաշվի չի առնվում, եթե հավասարություն չկա։

Բազմաթիվ հաղթողներ

Բորդայի կողմից ստեղծված համակարգը նախատեսված էր մեկ հաղթող ունեցող ընտրությունների համար, սակայն հնարավոր է նաև իրականացնել Բորդայի հաշվարկ մի քանի հաղթողով՝ որպես հաղթող ճանաչելով ամենաշատ միավորներ ունեցող թեկնածուներին՝ ըստ պահանջվող տեղերի քանակի։ Այլ կերպ ասած, եթե կա երկու տեղ, ապա հաղթում են երկու ամենաշատ միավորներ ունեցող թեկնածուները, երեք տեղի դեպքում՝ երեք ամենաբարձր միավոր ունեցողները և այլն։ Նաուրուում, որտեղ կիրառվում է Բորդայի հաշվարկի բազմատեղ տարբերակը, օգտագործվում են երկու և չորս տեղանոց ընտրատարածքներ։

Քվոտա Բորդայի համակարգը բազմատեղ ընտրատարածքներում համամասնական ներկայացուցչության համակարգ է, որը օգտագործում է Բորդայի հաշվարկը։ Քրիս Գելերի STV-B համակարգը կիրառում է քվոտաներ՝ հաղթողներին ընտրելու համար, բայց վերացնում է ամենացածր Բորդայի միավոր ունեցող թեկնածուին։ Գելեր-ՍՏՎ համակարգը չի վերահաշվարկում Բորդայի միավորները մասնակի ձայների փոխանցումներից հետո, ինչը նշանակում է, որ ձայների մասնակի փոխանցումը ազդում է ընտրական ուժի վրա ընտրության համար, բայց ոչ՝ թեկնածուի հեռացման համար։

Հարակից համակարգեր

Նենսոնի և Բոլդուինի մեթոդները Կոնդորսեի չափանիշին համապատասխանող քվեարկության մեթոդներ են, որոնք հիմնված են Բորդայի միավորների վրա։ Երկուսն էլ իրականացվում են վերացման փուլերի շարքի ձևով՝ նման անհապաղ երկրորդ փուլի քվեարկությանը։

Նենսոնի մեթոդում յուրաքանչյուր փուլում վերացվում են այն բոլոր թեկնածուները, որոնց Բորդայի միջինից ցածր միավոր ունեն, մինչդեռ Բոլդուինի մեթոդում յուրաքանչյուր փուլում վերացվում է ամենացածր միավոր ունեցող թեկնածուն։

Ի տարբերություն Բորդայի հաշվարկի, Նենսոնի և Բոլդուինի մեթոդները մեծամասնության վրա հիմնված Կոնդորսեի մեթոդներ են, քանի որ Կոնդորսեի հաղթողը միշտ ունենում է միջինից բարձր Բորդայի միավոր, իսկ Կոնդորսեի պարտվողը միշտ ունենում է միջինից ցածր Բորդայի միավոր։

Ոչ մեկը այս մեթոդներից մոնոտոն չէ։

Շահադիտական քվեարկության հնարավորություն

Բորդայի հաշվարկը ենթակա է մանիպուլյացիայի թե՛ ռազմավարական քվեարկության, թե՛ ռազմավարական առաջադրման միջոցով։ Դոուդալի համակարգը կարող է ավելի դիմացկուն լինել նման ազդեցությունների նկատմամբ՝ հիմնվելով Կիրիբատում կիրառված փոփոխված Բորդայի հաշվարկի և Նաուրուում կիրառված Դոուդալի համակարգի դիտարկումների վրա, սակայն մինչ այժմ Նաուրուի համակարգի վերաբերյալ քիչ հետազոտություններ են կատարվել։

Մարտավարական քվեարկություն

Բորդայի հաշվարկը հատկապես անսովոր չափով ենթակա է ռազմավարական քվեարկության, նույնիսկ համեմատած քվեարկության այլ համակարգերի մեծ մասի հետ։ Այն ընտրողները, ովքեր քվեարկում են ռազմավարական ձևով՝ իրենց իրական նախապատվությունների փոխարեն, դառնում են ավելի ազդեցիկ։ Ավելի մտահոգիչ է այն, որ եթե բոլորը սկսեն քվեարկել ռազմավարական կերպով, արդյունքը հակված է մոտենալու մեծ հավասարության, որը որոշվում է մասնակի պատահական ձևով։

Երբ ընտրողը կիրառում է «զիջում» ռազմավարությունը, նա ոչ անկեղծ կերպով բարձրացնում է իր երկրորդ կամ երրորդ ընտրության թեկնածուի դիրքը՝ վեր դասելով նրան իր առաջին ընտրությունից, որպեսզի օգնի երկրորդ ընտրությանը հաղթել այն թեկնածուին, ում նա ավելի քիչ է նախընտրում։

Երբ ընտրողը կիրառում է «հետմղում» ռազմավարությունը, նա կարող է օգնել ավելի նախընտրելի թեկնածուին՝ ոչ անկեղծ կերպով իջեցնելով իր ավելի քիչ նախընտրած թեկնածուի դիրքը իր քվեաթերթիկում։

Այս երկու ռազմավարությունների համադրությունը կարող է լինել շատ ուժեղ, հատկապես երբ ընտրությունում թեկնածուների թիվը մեծ է։ Օրինակ՝ եթե կան երկու թեկնածուներ, որոնց ընտրողը համարում է հաղթելու ամենահավանականները, նա կարող է առավելագույնի հասցնել իր ազդեցությունը նրանց մրցակցության վրա՝ իր ավելի նախընտրած թեկնածուին դնելով առաջին տեղում, իսկ ավելի քիչ նախընտրածին՝ վերջին տեղում։

Եթե այդ երկու առաջատարներից ոչ մեկը չի համընկնում նրա անկեղծ առաջին կամ վերջին ընտրության հետ, ապա ընտրողը միաժամանակ կիրառում է և՛ «զիջում», և՛ «հետմղում» ռազմավարությունները։ Եթե բավականաչափ ընտրողներ օգտագործեն նման ռազմավարություններ, ապա արդյունքը այլևս չի արտացոլի ընտրողների անկեղծ նախապատվությունները։

Որպես օրինակ՝ թե որքան ուժեղ կարող է լինել ռազմավարական քվեարկությունը, ենթադրենք, որ Հյուսիսային Ամերիկայի արևելյան ափից 100 հոգանոց խումբ է պլանավորում ճանապարհորդություն։ Նրանք որոշում են օգտագործել Բորդայի հաշվարկը՝ քվեարկելու համար, թե որ քաղաքն են այցելելու։ Երեք թեկնածուներն են Նյու Յորք քաղաքը, Օռլանդոն և Իքալուիթը։

48 մարդ նախընտրում է Օռլանդո / Նյու Յորք / Իքալուիթ,

44 մարդ նախընտրում է Նյու Յորք / Օռլանդո / Իքալուիթ,

4 մարդ նախընտրում է Իքալուիթ / Նյու Յորք / Օռլանդո,

և 4 մարդ նախընտրում է Իքալուիթ / Օռլանդո / Նյու Յորք։

Եթե բոլորը քվեարկեն իրենց իրական նախապատվությամբ, արդյունքը կլինի․

1. Օռլանդո: $(48\times 2)+((44+4)\times 1){=}144$
2. Նյու Յորք: $(44\times 2)+((48+4)\times 1){=}140$
3. Իքալուիթ: $((4+4)\times 2){=}16$

Եթե Նյու Յորքի ընտրողները հասկանում են, որ հավանաբար կպարտվեն, և բոլորը միասին ռազմավարական կերպով փոխում են իրենց հայտարարված նախապատվությունը՝ Նյու Յորք / Իքալուիթ / Օռլանդո ձևով՝ Օռլանդոյին ցած դնելով իրենց քվեաթերթիկում, ապա դա բավական է արդյունքը իրենց օգտին փոխելու համար․

1. նյու Յորք: $(44\times 2)+((48+4)\times 1){=}140$
2. Օռլանդո: $(48\times 2)+(4\times 1){=}100$
3. Իքալուիթ: $((4+4)\times 2)+(44\times 1){=}60$

Այս օրինակում Նյու Յորքի ընտրողներից միայն մի քանիսը պետք է փոխեին իրենց նախապատվությունը՝ արդյունքը շրջելու համար, քանի որ մրցակցությունը շատ մոտ էր․ ընդամենը հինգ ընտրողը բավարար կլիներ, եթե մնացած բոլորը քվեարկեին իրենց իրական նախապատվությամբ։ Սակայն եթե Օռլանդոյի ընտրողները հասկանում են, որ Նյու Յորքի ընտրողները պատրաստվում են ռազմավարական քվեարկել, ապա նրանք նույնպես կարող են ռազմավարական կերպով քվեարկել՝ Օռլանդո / Իքալուիթ / Նյու Յորք ձևով։ Երբ թե՛ Նյու Յորքի, թե՛ Օռլանդոյի բոլոր ընտրողները դա անում են, սակայն, ստացվում է զարմանալի նոր արդյունք․

1. Իքալուիթ: $((4+4)\times 2)+((48+44)\times 1){=}108$
2. Օռլանդո: $(48\times 2)+(4\times 1){=}100$
3. Նյու Յորք: $(44\times 2)+(4\times 1){=}92$

Ռազմավարական քվեարկությունը ուղղորդվում է ստեղծել, և այժմ այն տարբերակը, որը հստակ վերջին տեղում էր, դարձել է հաղթելու վտանգ ունեցող թեկնածու, իսկ բոլոր երեք տարբերակներն էլ գտնվում են չափազանց մոտ արդյունքների մեջ։ Ռազմավարական քվեարկությունը ամբողջությամբ մթագնել է խմբի իրական նախապատվությունները՝ դրանք վերածելով գրեթե մեծ հավասարության։

Ռազմավարական առաջադրում

Բորդայի հաշվարկը խիստ ենթակա է ռազմավարական առաջադրման մի ձևի, որը կոչվում է թիմավորում կամ կլոնավորում։ Սա նշանակում է, որ երբ նույն գաղափարախոսությանը մոտ ավելի շատ թեկնածուներ են առաջադրվում, այդ խմբից որևէ թեկնածուի հաղթելու հավանականությունը մեծանում է։ Սա ցույց է տրված վերևում քննարկված «անկարևոր այլընտրանքների ազդեցություն» օրինակով։ Հետևաբար, Բորդայի հաշվարկի պայմաններում որևէ քաղաքական խմբի ձեռնտու է առաջադրել որքան հնարավոր է շատ թեկնածուներ։ Օրինակ՝ նույնիսկ մեկ մանդատ ունեցող ընտրությունում քաղաքական կուսակցության համար կարող է շահավետ լինել ընտրությանը մասնակցել բազմաթիվ թեկնածուներով։ Այս առումով Բորդայի հաշվարկը տարբերվում է մի շարք այլ մեկ հաղթողով համակարգերից, օրինակ՝ «առաջինը հասնում է նպատակին» (պլյուրալիստական) համակարգից, որտեղ չափից շատ թեկնածուներ առաջադրելը կարող է վնասել կուսակցությանը։ Այդպիսի համակարգերում ձայների «բաժանումը» կարող է բերել «սփոյլեր» ազդեցության, որը նվազեցնում է որևէ թեկնածուի ընտրվելու հնարավորությունը։

Ռազմավարական առաջադրումը կիրառվում է Նաուրուում, ըստ պատգամավոր Ռոլանդ Կունի, որտեղ խմբերը առաջադրում են մի քանի «բուֆեր թեկնածուներ», որոնք իրականում չեն ակնկալվում հաղթել, որպեսզի նվազեցնեն իրենց հիմնական մրցակիցների միավորները։ Սակայն այս ռազմավարական առաջադրման ազդեցությունը զգալիորեն նվազեցվում է այն պատճառով, որ այնտեղ կիրառվում է ոչ թե պարզ թվաբանական, այլ հարմոնիկ առաջընթաց։ Քանի որ հարմոնիկ շարքը անսահման է, տեսականորեն հնարավոր է ցանկացած թեկնածուի ընտրել (անկախ նրանից որքան ոչ պոպուլյար է), եթե առաջադրվեն բավականաչափ կլոններ։ Սակայն գործնականում նման կլոնների անհրաժեշտ քանակը հավանաբար կգերազանցեր Նաուրուի ընդհանուր բնակչության թվաքանակը։

Օրինակ

Այսպիսով, ենթադրվում է, որ ընտրողները նախընտրում են թեկնածուներին իրենց հայրենի քաղաքին մոտ լինելու կարգով։ Ստանում ենք հետևյալ միավորների հաշվարկը՝ 100 ընտրողի համար․

Ընտրողներ Թեկնածու	Մեմֆիս	Նեշվիլ	Նոքսվիլ	Չատանուգա		Միավոր
Մեմֆիս	42×3=126	0	0	0		126
Նեշվիլ	42×2 = 84	26×3 = 78	17×1 = 17	15×1 = 15		194
Նոքսվիլ	0	26×1 = 26	17×3 = 51	15×2 = 30		107
Չատանուգա	42×1 = 42	26×2 = 52	17×2 = 34	15×3 = 45		173

Հետևաբար, Նեշվիլը ընտրվում է։

Դաուդոլի համակարգ

Դաուդալի կանոնների համաձայն՝ աղյուսակը կլինի հետևյալը.

Ընտրողներ Թեկնածու	Մեմֆիս	Նեշվիլ	Նոքսվիլ	Չատանուգա		Միավոր
Մեմֆիս	42×1=42	26×1/4 = 6.5	17×1/4 = 4.25	15×1/4 = 3.75		56.5
Նեշվիլ	42×1/2 = 21	26×1 = 26	17×1/3 = 5.6667...	15×1/3 = 5		57.667...
Նոքսվիլ	42×1/4 = 10.5	26×1/3 = 8.333...	17×1 = 17	15×1/2 = 7.5		43.667...
Չատանուգա	42×1/3 = 14	26×1/2 = 13	17×1/2 = 8.5	15×1 = 15		50.5

Ինչպես Բորդայի սովորական կանոններում, Նեշվիլը կհաղթի։

Ընթացիկ օգտագործում

Քաղաքական կիրառումներ

Բորդայի հաշվարկը օգտագործվում է Սլովենիայում որոշ քաղաքական ընտրություններում և օգտագործվել է Խաղաղօվկիանոսյան Կիրիբատի պետությունում մինչև 2002 թվականը։ Նմանատիպ կանոն կիրառվում է նաև Նաուրուում։

Սլովենիայում Բորդայի հաշվարկը օգտագործվում է Ազգային ժողովի 90 անդամներից երկուսին ընտրելու համար․ մեկը ներկայացնում է էթնիկ իտալացիների ընտրատարածքը, մյուսը՝ հունգարական փոքրամասնության ընտրատարածքը։

Նաուրուի խորհրդարանի անդամները ընտրվում են Բորդայի հաշվարկի մի տարբերակով, որը ներառում է երկու շեղում սովորական կիրառությունից․

• բազմատեղ ընտրատարածքներ՝ երկու կամ չորս մանդատով
• միավորների բաշխման բանաձև, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ դասակարգման համար տրվում են ավելի փոքր կոտորակային միավորներ՝ ոչ թե ամբողջ թվերով

Կիրիբատում նախագահը (Բերետիտենտին) ընտրվում է բազմակուսակցական համակարգով, սակայն մինչև 2002 թվականը Բորդայի հաշվարկի տարբերակն օգտագործվում էր երեք կամ չորս թեկնածուներ ընտրելու համար, որոնք պետք է մասնակցեին նախագահական ընտրությանը։ Ընտրատարածքը կազմված էր օրենսդիր մարմնի անդամներից (Մանեաբա)։ Օրենսդիր մարմնի ընտրողները դասակարգում էին միայն չորս թեկնածու, իսկ մնացած բոլոր թեկնածուները ստանում էին զրո միավոր։ Առնվազն 1991 թվականից ռազմավարական քվեարկությունը կարևոր դեր ուներ առաջադրման գործընթացում։

Նաուրուի Հանրապետությունը անկախացել է Ավստրալիայից 1968 թվականին։ Անկախությունից առաջ և դրանից հետո երեք տարի շարունակ Նաուրուն օգտագործում էր անհապաղ երկրորդ փուլի քվեարկություն՝ համակարգը ներմուծելով Ավստրալիայից, սակայն 1971 թվականից սկսած կիրառվում է Բորդայի հաշվարկի տարբերակ։

Փոփոխված Բորդայի հաշվարկը կիրառվել է Իռլանդիայի Կանաչ կուսակցության կողմից՝ իր նախագահին ընտրելու համար։

Բորդայի հաշվարկը կիրառվել է նաև ոչ կառավարական նպատակներով Հյուսիսային Իռլանդիայում որոշ խաղաղության համաժողովներում, որտեղ այն օգտագործվել է համաձայնություն ձևավորելու համար մասնակիցների միջև, այդ թվում՝ Շինն Ֆեյնի անդամների, Ուլստերի միութենականների և UDA-ի քաղաքական թևի ներկայացուցիչների մասնակցությամբ։

Այլ կիրառումներ

Բորդայի հաշվարկի մեթոդը Միացյալ Նահանգների մի շարք կրթական հաստատություններում կիրառվում է ընտրությունների ժամանակ․

• Միչիգանի համալսարան — Կենտրոնական ուսանողական կառավարություն
• Գրականության, գիտության և արվեստների քոլեջի ուսանողական կառավարություն
• Միսուրիի համալսարան — Հետբուհական և մասնագիտական խորհրդի պաշտոնատար անձանց ընտրություն
• Կալիֆոռնիայի համալսարան, Լոս Անջելես — Հետբուհական ուսանողական ասոցիացիայի պաշտոնատար անձանց ընտրություն
• Հարվարդի համալսարան — Բակալավրիատի խորհրդի անդամների ընտրություն (2018 թվականի դրությամբ)
• Հարավային Իլինոյսի համալսարան, Քարբոնդեյլ — Դասախոսական սենատի պաշտոնատար անձանց ընտրություն
• Արիզոնայի պետական համալսարան — Մաթեմատիկայի և վիճակագրության բաժնի ժողովի պաշտոնատար անձանց ընտրություն
• Ուիթոն քոլեջ (Մասաչուսեթս) — հանձնաժողովների դասախոսական կազմի անդամների ընտրություն
• Ուիլյամ և Մերիի քոլեջ — Բիզնեսի կառավարման դպրոցի դասախոսական անձնակազմի հանձնաժողովի անդամների ընտրություն (հավասար արդյունքի դեպքում՝ որպես հավասարության հաղթահարման մեխանիզմ)։

Բորդայի հաշվարկը ընտրություններում օգտագործվում է որոշ մասնագիտական ​​և տեխնիկական ընկերությունների կողմից.

• Միջազգային կրիոկենսաբանական ընկերություն. Կառավարիչների խորհուրդ։
• ԱՄՆ ցորենի և գարու քոսի նախաձեռնություն. Հետազոտական ​​​​ոլորտի կոմիտեների անդամներ։
• X.Org հիմնադրամ. Տնօրենների խորհուրդ։

Բաց գրաֆիկական գրադարանի ճարտարապետական վերանայման խորհուրդը Բորդայի հաշվարկի մեթոդն օգտագործում է որպես գործառույթների ընտրության եղանակներից մեկը։

Հանրային խոսքի աշխարհի չեմպիոնի մրցույթում, որը կազմակերպում է Խոսքի վարպետների միջազգային կազմակերպությունը, հաղթողը որոշվում է Բորդայի հաշվարկի մեթոդով։ Դատավորները դասակարգում են իրենց լավագույն երեք խոսնակներին՝ առաջինին տալով երեք միավոր, երկրորդին՝ երկու, երրորդին՝ մեկ միավոր։ Չդասակարգված բոլոր թեկնածուները ստանում են զրո միավոր։

Ձևափոխված Բորդայի հաշվարկի մեթոդը կիրառվում է Միջազգային տնտեսագիտության և կառավարման ուսանողների միության՝ Միացյալ Նահանգների անդամ կոմիտեի նախագահի ընտրության ժամանակ։

Եվրատեսիլ երգի մրցույթում կիրառվում է Բորդայի հաշվարկի զգալիորեն փոփոխված տարբերակը՝ միավորների այլ բաշխմամբ։ Յուրաքանչյուր քվեաթերթիկում հաշվի են առնվում միայն լավագույն տասը մասնակիցները։ Ամենաշատ նախընտրությունը ստացած մասնակիցը ստանում է 12 միավոր, երկրորդ տեղը զբաղեցրածը՝ 10 միավոր, իսկ հաջորդ ութ մասնակիցները՝ համապատասխանաբար 8-ից մինչև 1 միավոր։ Թեև այս համակարգը մշակվել է հստակ հաղթող ապահովելու նպատակով, այն երբեմն հանգեցրել է չափազանց սերտ մրցակցության և նույնիսկ ոչ-ոքի արդյունքի։

Բորդայի հաշվարկի մեթոդը կիրառվում է նաև գինու մրցանակների շնորհման ժամանակ՝ Խաղողագործության և գինեգործության ավստրալական ընկերակցության կողմից, ինչպես նաև ինքնավար ռոբոտների ֆուտբոլի մրցաշարում, որը կազմակերպվում է Գերմանիայի Բրեմենի համալսարանի հաշվարկային տեխնոլոգիաների կենտրոնում։

Ֆինլանդիայի «Ընկերակցությունների մասին» օրենքը համամասնական ընտրություններ անցկացնելու համար նախատեսում է Բորդայի հաշվարկի երեք տարբեր ձևափոխված տարբերակ։ Բոլոր տարբերակներում, ինչպես Նաուրուի ընտրական համակարգում, կիրառվում են կոտորակային հաշվարկներ։ Միևնույն ժամանակ, ֆիննական ընկերակցությունները կարող են ընտրել նաև ընտրությունների անցկացման այլ եղանակներ։

Սպորտային մրցանակներ

Բորդայի հաշվարկի մեթոդը լայնորեն կիրառվում է նաև մարզական պարգևների շնորհման ժամանակ։ Միացյալ Նահանգներում այն օգտագործվում է, մասնավորապես, հետևյալ դեպքերում.

• Բեյսբոլի գլխավոր լիգայի «Ամենաարժեքավոր խաղացող» մրցանակի շնորհման ժամանակ,
• Հայսմանի գավաթի դափնեկրի որոշման ժամանակ (համալսարանական ամերիկյան ֆուտբոլ),
• Համալսարանական մարզական թիմերի դասակարգման ժամանակ, այդ թվում՝ Լրատվամիջոցների հարցման վարկանիշում և Մարզիչների հարցման վարկանիշում։

Տեղեկատվության որոնման մեջ

Բորդայի հաշվարկի մեթոդը առաջարկվել է նաև որպես դասակարգումների համախմբման մեթոդ տեղեկատվության որոնման ոլորտում։ Այդ դեպքում փաստաթղթերը դասակարգվում են միաժամանակ մի քանի չափանիշների հիման վրա, իսկ ստացված առանձին դասակարգումները հետագայում միավորվում են մեկ ընդհանուր դասակարգման մեջ։ Այս մեթոդում դասակարգման չափանիշները դիտարկվում են որպես քվեարկողներ, իսկ համախմբված դասակարգումը ստացվում է նրանց «քվեաթերթիկների» նկատմամբ Բորդայի հաշվարկի մեթոդի կիրառման արդյունքում։

Նմանություն մարզական մրցաշարերի հետ

Մարզական մրցաշարերում հաճախ նպատակ է դրվում կազմել մասնակիցների դասակարգումը՝ հիմնվելով նրանց միջև անցկացված զույգ հանդիպումների արդյունքների վրա, որտեղ հաղթանակի համար շնորհվում է մեկ միավոր, ոչ-ոքիի համար՝ կես միավոր, իսկ պարտության համար՝ զրո միավոր։ (Որոշ դեպքերում կիրառվում է նույն սկզբունքի կրկնապատկված տարբերակը՝ համապատասխանաբար 2, 1 և 0 միավոր)։

Այս համակարգը համարժեք է Բորդայի հաշվարկի մեթոդին, եթե մեկ ընտրողի կողմից երկու թեկնածուների միջև արտահայտված յուրաքանչյուր նախապատվություն դիտարկվի որպես մեկ մարզական հանդիպում։ Այն նաև համարժեք է Կոպլենդի մեթոդին, եթե երկու թեկնածուների միջև ընտրողների ընդհանուր նախապատվությունը դիտարկվի որպես մեկ մարզական հանդիպման արդյունք։

Այս միավորների հաշվարկման համակարգը միջազգային շախմատում ընդունվել է XIX դարի կեսերին, իսկ Անգլիայի ֆուտբոլային լիգայում՝ 1888–1889 թվականների մրցաշրջանից սկսած։

Պատմություն

Ենթադրվում է, որ Բորդայի հաշվարկի մեթոդը առնվազն չորս անգամ մշակվել է միմյանցից անկախ.

• Ռամոն Լյուլը (1232–1315/1316) 1283 թվականին գրված «Բլանկեռնա» վեպում նկարագրել է վանահորուհու ընտրության կարգը։ Այդ ընտրակարգը համարժեք է Բորդայի հաշվարկի մեթոդի՝ Բորդայի կողմից ներկայացված երկու համարժեք սահմանումներից երկրորդին։
• Նիկոլաս Կուզացին (1401–1464) իր «Կաթոլիկ համաձայնության մասին» աշխատությունում (1433) առաջին անգամ ներկայացրել է Բորդայի հաշվարկի մեթոդի նկարագրությունը և, թեև անհաջող, առաջարկել է այն կիրառել Սրբազան Հռոմեական կայսրության կայսեր ընտրության ժամանակ։ Հայտնի է, որ Կուզացին կարդացել էր Լյուլի մեկ այլ աշխատություն, սակայն ներկայացրել է մեթոդի այլ սահմանում և, ըստ երևույթին, կամ ծանոթ չի եղել «Բլանկեռնա»-ում նկարագրված եղանակին, կամ չի գիտակցել, որ այն համարժեք է իր ներկայացրած մեթոդին։
• Ժան-Շառլ դը Բորդան (1733–1799) մշակել է այս համակարգը որպես Ֆրանսիայի գիտությունների ակադեմիայի անդամների ընտրության արդար եղանակ։ Նա այն ներկայացրել է ակադեմիային 1784 թվականին և հետագայում հրապարակել «Հուշագիր քվեարկությամբ անցկացվող ընտրությունների մասին» աշխատության մեջ, որը լույս է տեսել «Ֆրանսիայի թագավորական գիտությունների ակադեմիայի պատմություն» ժողովածուում։ 1795–1800 թվականներին Բորդայի հաշվարկի մեթոդը ակադեմիայի անդամների ընտրության միակ կիրառվող եղանակն էր, մինչև որ Նապոլեոնի նախաձեռնությամբ այն լրացվեց այլ ընտրական մեթոդներով։
• Չարլզ Լ. Դոջսոնը (գրական անունով՝ Լուիս Քերոլ, 1832–1898) «Ընտրությունների անցկացման տարբեր եղանակների քննարկում» աշխատությունում (1883) առաջարկել է Բորդայի հաշվարկի մի տարբերակ՝ Օքսֆորդի համալսարանի Քրայսթ Չըրչ քոլեջում կրթաթոշակի շնորհման քվեարկության համար։ Քոլեջի անդամները կիրառել են այդ մեթոդը, սակայն պարզել են, որ գոյություն ունի թեկնածու, որը հաղթում էր յուրաքանչյուր մրցակցի հետ զույգ համեմատության դեպքում, բայց չէր ճանաչվել հաղթող (այսինքն՝ խախտվել էր Կոնդորսեի չափանիշը)։ Արդյունքում քվեարկության արդյունքները մերժվել են, և կրթաթոշակը շնորհվել է այդ թեկնածուին։ Հաջորդ տարի Դոջսոնը առաջարկել է իր մեթոդը փոխարինել Կոպլենդի մեթոդին նմանվող համակարգով, իսկ 1876 թվականին «Երկուսից ավելի հարցերի շուրջ քվեարկության մեթոդ» աշխատությունում առաջարկել է Բորդայի և Կոպլենդի մեթոդների համակցված տարբերակը։ Ըստ երևույթին, նա ծանոթ չի եղել ո՛չ Բորդայի, ո՛չ էլ Կոնդորսեի աշխատություններին։

Ծանոթագրություններ

Մեջբերված աշխատանքներ

• McLean, Iain (1990 թ․ ապրիլ). «The Borda and Condorcet Principles: Three Medieval Applications». Social Choice and Welfare. 7 (2): 99–108. doi:10.1007/BF01560577. JSTOR 41105942. S2CID 120618785.
• McLean, Iain; Urken, Arnold B.; Hewitt, Fiona (1995). Classics of Social Choice (անգլերեն). University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-10450-5.
• McLean, Iain (2019). «Voting». In Wilson, Robin; Moktefi, Amirouche (eds.). The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll). Oxford University Press.

Գրականություն

• Szpiro, George G. (2010). Numbers Rule: The Vexing Mathematics of Democracy, from Plato to the Present: a popular account of the history of the study of voting methods.
• Emerson, Peter (2007). Designing an All-Inclusive Democracy: Consensual Voting Procedures for use in Parliaments, Councils and Committees. Springer-Verlag
  • 978-3-540-33163-6 (Print)
  • 978-3-540-33164-3 (online)
• Reilly, Benjamin (2002). «Social Choice in the South Seas: Electoral Innovation and the Borda Count in the Pacific Island Countries». International Political Science Review. 23 (4): 355–372. doi:10.1177/0192512102023004002. S2CID 3213336.
• Saari, Donald G. (2000). «Mathematical Structure of Voting Paradoxes: II. Positional Voting». Journal of Economic Theory. 15 (1): 511–528. doi:10.1007/s001990050002. S2CID 195227181. SSRN 195769.
• Saari, Donald G. (2001). Chaotic Elections!. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2847-2: Describes various voting systems using a mathematical model, and supports the use of the Borda count.
• Saari, Donald G. (2008). Disposing Dictators, Demystifying Voting Paradoxes: Social Choice Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51605-1: This expository, largely non-technical book is the first to find positive results showing that the situation is not anywhere as dire and negative as we have been led to believe.
• Toplak, Jurij (2006). «The parliamentary election in Slovenia, October 2004». Electoral Studies. 25 (4): 825–831. doi:10.1016/j.electstud.2005.12.006.
• Adelsman, Rony M.; Whinston, Andrew B. (1977). «Sophisticated Voting with Information for Two Voting Functions». Journal of Economic Theory. 15 (1): 145–159. doi:10.1016/0022-0531(77)90073-4.
• Hulkower, Neal D.; Neatrour, John (2019). «The Power of None». SAGE Open. 9 (1). doi:10.1177/2158244019837468. ISSN 2158-2440. S2CID 151079205: This paper looks at adding None of the candidates as a binding option for the Borda Count and proves that it uniquely satisfies five rational properties.

Արտաքին հղումներ

• Eric Pacuit, "Voting Methods", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
• The de Borda Institute, Northern Ireland
• Voters Choose, USA: A Borda Count advocacy and research group based in the United States
• Complexity of Control of Borda Count Elections: thesis by Nathan F. Russell
• Scoring Rules on Dichotomous Preferences: article by Marc Vorsatz, mathematically comparing the Borda count to approval voting under specific conditions.
• A program to implement the Condorcet and Borda rules in a small-n election: article by Iain McLean and Neil Shephard.
• (fr) Élections au scrutin: Borda's original French text (1781) in a high definition PDF file.
• QuickVote(չաշխատող հղում)  – A website that calculates Borda count results. For comparison, it also calculates the winner according to plurality, instant-runoff, Kemeny–Young, and other voting methods.