Բերտրանի խնդիր

Ժոզեֆ Բերտրան

Բերտրանի թեորեմը, դասական մեխանիկայի թեորեմ է, որը սահմանում է, որ կենտրոնական ուժի այնպիսի պոտենցիալներից, որոնք ունեն կապված ուղեծրեր, գոյություն ունեն միայն երկու տեսակ կենտրոնական ուժի (ռադիալ) սկալյար պոտենցիալներ այնպիսի հատկությամբ, որ բոլոր կապված ուղեծրերը նաև փակ ուղեծրեր են:

Առաջին նման պոտենցիալը հակադարձ քառակուսիների կենտրոնական ուժն է, ինչպիսին է գրավիտացիոն կամ էլեկտրաստատիկ պոտենցիալը․

$$V(r)=-{\frac {k}{r}}$$ ուժով $$f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}.$$

Երկրորդը ռադիալ հարմոնիկ օսցիլյատորի պոտենցիալն է․

$$V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$$ ուժով $$f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-kr.$$

Թեորեմը անվանվել է իր հայտնաբերողի՝ Ժոզեֆ Բերտրանի անունով։

Դուրս բերում

Ուժի աստիճանային կախվածության փոքր փոփոխությունները հանգեցնում են ուղեծրերի զգալի տարբերություններին։

Բոլոր ձգող կենտրոնական ուժերը կարող են առաջացնել շրջանաձև ուղեծրեր, որոնք բնականաբար փակ ուղեծրեր են։ Պահանջվող միակ պայմանն այն է, որ կենտրոնական ուժը ճշգրիտ հավասարվի կենտրոնաձիգ ուժին, որը որոշում է տվյալ շառավղի համար անհրաժեշտ անկյունային արագությունը։ Ոչ-կենտրոնական ուժերը (այսինքն՝ կախված անկյունային փոփոխականներից և շառավղից) այստեղ չեն դիտարկվում, քանի որ դրանք ընդհանուր առմամբ չեն առաջացնում շրջանաձև ուղեծրեր։

$r$ շառավղով շարժման հավասարումը՝ $m$ զանգվածով մասնիկի համար, որը շարժվում է $V(r)$ կենտրոնական պոտենցիալում, տրվում է շարժման հավասարումներով․

$$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},$$

որտեղ՝ $\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$, իսկ անկյունային իմպուլսը $L=mr^{2}\omega$ պահպանվում է։ Շրջանաձև ուղեծրերի դեպքում ձախ կողմի առաջին անդամը զրո է, և կիրառվող ներս ուղղված ուժը ${\frac {dV}{dr}}$ բավարարում է կենտրոնաձիգության պահանջին $mr^{2}\omega$։

Անկյունային իմպուլսի սահմանումը թույլ է տալիս անցում կատարել անկախ փոփոխականից $t$ դեպի $\theta$․

$${\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},$$

ստանալով շարժման նոր հավասարում, որը ժամանակից անկախ է․

$${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.$$

Այս հավասարումը քվազիգծային է դառնում փոփոխականի փոխարկմամբ $u\equiv {\frac {1}{r}}$ և երկու կողմերը բազմապատկելով ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$-ով (տես նաև Բինեի հավասարում)․

$${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}.$$

Ինչպես նշվեց, բոլոր կենտրոնական ուժերը կարող են առաջացնել շրջանաձև ուղեծրեր որոշակի սկզբնական արագության դեպքում։ Սակայն, եթե ներմուծվում է որոշակի ռադիալ արագություն, այդ ուղեծրերը պարտադիր չէ որ կլինեն կայուն կամ փակ։ Այստեղ ցույց է տրվում, որ կայուն և ճշգրիտ փակ ոչ-շրջանաձև ուղեծրերի անհրաժեշտ պայմանը հակադարձ քառակուսների ուժն է կամ ռադիալ հարմոնիկ օսցիլյատորի պոտենցիալը։

Բերտրանի խնդրի վերջնական արդյունքը՝

$$\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)\left(4-\beta ^{2}\right)=0.$$

Հետևաբար, այն միակ պոտենցիալները, որոնք կարող են առաջացնել կայուն փակ ոչ-շրջանաձև ուղեծրեր, հակադարձ-քառակուսների ուժի օրենքն է ($\beta =1$) և ռադիալ հարմոնիկ օսցիլյատորի պոտենցիալը ($\beta =2$)։ Լուծումը $\beta =0$ համապատասխանում է կատարյալ շրջանաձև ուղեծրերին, ինչպես նշվեց վերևում։

Գրականություն

• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Santos, F. C.; Soares, V.; Tort, A. C. (2011). «An English translation of Bertrand's theorem». Latin American Journal of Physics Education. 5 (4): 694–696. arXiv:0704.2396. Bibcode:2007arXiv0704.2396S.
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). «A Comprehensive Proof of Bertrand's Theorem». SIAM Review. 65 (2): 563–588. doi:10.1137/21M1436658. ISSN 0036-1445. S2CID 258585586.