Բեսելի ֆունկցիաներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են:

որտեղ −ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ: Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են: Չնայած նրան, որ և առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի -ով հարթ:

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին:

Կիրառությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ: Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

  • Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
  • Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
  • Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
  • Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
  • Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
  • Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ:

Սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ: Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ:

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված , դրանք հանդիսանում են լուծումներ, կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական : Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով: Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական -ների դեպքում):

Այստեղ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա: Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական:

Բերված են գրաֆիկները արժեքների համար:

График функции Бесселя первого рода J

Եթե -ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, և ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ: Բայց եթե

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են: Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան:

Բեսելի ինտեգրալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը:

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ:

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը:

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրթոգոնալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք Բեսելի ֆունկցիայի զրոներն են: Ապա

Ասիմպտոտիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր: Փոքր փաստարկների դեպքում և ոչ բացասական -ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

Որտեղ —Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է: Մեծ փաստարկների համար բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

Հիպերերկրաչափական շարք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով:

Այսպիսով ամբողջ -ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:

Գեներացնող ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

Հարաբերակցություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարման թեորեմա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցանկացած ամբողջ -ի և կոմպլեքս -ի համար կատարվում է`

Ինտեգրալային արտահայտություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցանկացած և (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.