Բեսելի ֆունկցիաներ

Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

$x^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+x{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

որտեղ $\alpha$−ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ $\alpha$ և $(-\alpha )$ առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի $\alpha$-ով հարթ։

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։

Կիրառությունը

Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

• Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
• Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
• Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
• Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
• Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
• Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։

Սահմանումներ

Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված $J_{\alpha }(x)$, դրանք հանդիսանում են լուծումներ, $x=0$ կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական $\alpha$: Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական $\alpha$-ների դեպքում)։

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{(-1)^{m} \over m!\Gamma (m+\alpha +1}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

Այստեղ $\Gamma (z)$-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն $1 \over {\sqrt {x}}$, չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։

Բերված են $J_{\alpha }(x)$ գրաֆիկները $\alpha =0,1,2$ արժեքների համար։

Եթե $\alpha$-ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, $J_{\alpha }(x)$ և $J_{-\alpha }(x)$ ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)$

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։

Բեսելի ինտեգրալներ

$\alpha$ ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

$J_{\alpha }(x)={1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau$

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

$J_{\alpha }(x)={1 \over 2\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau$

Հատկություններ

Օրթոգոնալ

Ենթադրենք $\mu _{1},\mu _{2}$ Բեսելի $J_{\alpha }(x)$ ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

$\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.$

Ասիմպտոտիկա

Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում $(0<x<<{\sqrt {\alpha +1}})$ և ոչ բացասական $\alpha$-ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

$J_{\alpha }(x)\longrightarrow {1 \over {\Gamma (\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{\alpha }$

$Y_{\alpha }(x)\longrightarrow {\begin{cases}{2 \over \pi }[\ln(x/2)+\gamma ]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\-{\Gamma (\alpha ) \over \pi }\left({2 \over \pi }\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\\\end{cases}}$

Որտեղ $\gamma$—Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ $\Gamma$-Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար $(x>>|\alpha ^{2}-{1 \over 4}|)$ բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

$J_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\cos {\left(x-{\alpha \pi \over 2}-{\pi \over 4}\right)}$

$Y_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\sin {\left(x-{\alpha \pi \over 2}-{\pi \over 4}\right)}$

Հիպերերկրաչափական շարք

Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

$J_{\alpha }(z)={(z/2)^{\alpha } \over \Gamma (\alpha +1)}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4)$

Այսպիսով ամբողջ $\alpha$-ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:

Գեներացնող ֆունկցիա

Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

$e^{{z \over 2}\left(w-{1 \over w}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}$

Հարաբերակցություն

Գումարման թեորեմա

Ցանկացած ամբողջ $n$-ի և կոմպլեքս $z_{1},z_{2}$-ի համար կատարվում է`

$J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2})$

Ինտեգրալային արտահայտություններ

Ցանկացած $a$ և $b$ (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

$\int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}$

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

$\int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Գրականություն

• Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.