Բեսելի ֆունկցիաներ
Ուշադրություն, այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք օգնել նախագծին՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով այդ աղբյուրներին հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։ |
Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են:
որտեղ −ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ: Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են: Չնայած նրան, որ և առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի -ով հարթ:
Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին:
Բովանդակություն
Կիրառությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ: Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`
- Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
- Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
- Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
- Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
- Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
- Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում
Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ:
Սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ: Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ:
Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված , դրանք հանդիսանում են լուծումներ, կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական : Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով: Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական -ների դեպքում):
Այստեղ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա: Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական:
Բերված են գրաֆիկները արժեքների համար:
Եթե -ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, և ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ: Բայց եթե
Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են: Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան:
Բեսելի ինտեգրալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը:
Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ:
Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը:
Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Օրթոգոնալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ենթադրենք Բեսելի ֆունկցիայի զրոներն են: Ապա
Ասիմպտոտիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր: Փոքր փաստարկների դեպքում և ոչ բացասական -ի դեպքում նրանք հետևյալն են`
Որտեղ —Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է: Մեծ փաստարկների համար բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`
Հիպերերկրաչափական շարք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով:
Այսպիսով ամբողջ -ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:
Գեներացնող ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`
Հարաբերակցություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Գումարման թեորեմա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ցանկացած ամբողջ -ի և կոմպլեքս -ի համար կատարվում է`
Ինտեգրալային արտահայտություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ցանկացած և (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`
այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.
|