Բաժանելիություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ: Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա:

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե որևէ և ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի ամբողջ թիվ, որ , ապա ասում են, որ թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա կամ՝ թիվը տրոհում է թիվը:

Ընդ որում թիվը կոչվում է թվի բաժանարար, թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է թվի բազմապատիկ, իսկ թիվը կոչվում է թիվը թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ:

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը: Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները:

Նշանակումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է թվի վրա, կամ՝ որ թիվը թվի բազմապատիկն է:
  • նշանակում է, որ թիվը տրոհում է թիվը, կամ, որ նույնն է՝ թիվը թվի բաժանարարն է:

Առնչվող սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը: Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր: Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ:
  • -ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար:
  • Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար: Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը:
  • Անկախ ամբողջ թվի՝ ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.
    որտեղ :
Այս առնչության մեջ թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ թիվը՝ թիվը թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ: Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն:
թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ թիվը թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի:
  • Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես , այնպես էլ թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար: Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ և : Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ:
  • Երկու և ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ թիվը, և՛ թիվը բաժանվում է թվի վրա, կամ ո՛չ թիվը, և ո՛չ էլ թիվը չի բաժանվում նրա վրա:
  • Ասում են, որ թիվը թվի բազմապատիկ է, եթե թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա: Եթե թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է և թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ: Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է և թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ:

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ ամբողջ թվեր են:
  • Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.
  • Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.
  • Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.
, ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ:
  • Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.
  • Ցանկացած ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի ամբողջ թիվ, որի դեպքում
  • Եթե և ապա Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե և ապա
  • Որպեսզի անհրաժեշտ է և բավարար, որ
  • Եթե ապա
  • Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
    • անդրադարձական է, այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.
    • փոխանցական է, այսինքն՝ եթե և ապա
    • հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե և ապա
Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ և սակայն

Բաժանարարների քանակը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

Այստեղ -ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ -ի համար Դիրիխլեն ստացել է արժեքը: Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին): Սակայն, -ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան )[1][2][3]:

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես , ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան[4]: Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ :

Ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
  2. И. М. Виноградов Аналитическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  3. Weisstein, Eric W., "Dirichlet Divisor Problem", MathWorld.
  4. В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
  • Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6
  • Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]