Բազմանդամների սյունակով բաժանում

Հանրահաշվի մեջ բազմանդամների սյունակով բաժանում (կամ անկյունով), $f(x)$ բազմանդամի $g(x)$ բազմանդամի վրա, որի աստիճանը փոքր է կամ հավասար $f(x)$ բազմանդամի աստիճանին, բաժանման ալգորիթմ։ Ալգորիթմն իրենից ներկայացնում է թվերի սյունակով բաժանման ընդհանրացված ձևը, որը հեշտությամբ իրականացվում է ձեռքով։

Կամայական $f(x)$ և $g(x)$, $g(x)\neq 0$ բազմանդամների համար գոյություն ունեն $q(x)$ և $r(x)$ միակ բազմանդամներն այնպես, որ

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}$,

ընդ որում $r(x)$ -ն ունի ավելի ցածր աստիճան, քան $g(x)$-ը։

Բազմանդամների սյունակով բաժանման ալգորիթմի նպատակը հանդիսանում է $q(x)$ քանորդի և $r(x)$ մնացորդի որոնումը տրված $f(x)$ բաժանելիի և $g(x)$ ոչ զրոյական բաժանարարի համար.

Օրինակ

Ցույց տանք, որ

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}$

Բաժանումից ստացված քանորդն ու մնացորդը կարող ենք գտնել հետևյալ քայլերի կատարման արդյունքում.

1. Բաժանելիի առաջին անդամը բաժանում ենք բաժանարարի մեծ անդամի վրա, արդյունքը գրում ենք գծի տակ $\left(x^{3}/x=x^{2}\right)$:

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}$

2. Բաժանարարը բազմապատկում ենք վերևում ստացված արդյունքով (քանորդի առաջին անդամով)։ Արդյունքը գրում ենք բաժանելիի առաջին երկու անդամների տակ $\left(x^{2}\cdot \left(x-3\right)=x^{3}-3x^{2}\right)$:

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}$

3. Բազմանդամներից ստացված արտադրյալը հանում ենք բաժանելիից, արդյունքը գրում ենք գծի տակ։$\left(x^{3}-12x^{2}+0x-42-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-9x^{2}+0x-42\right)$.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}$

4. Կրկնում ենք նախորդ երեք քայլերը, որպես բաժանելի օգտագործելով գծի տակ գտնվող բազմանդամը։

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}$

5. Կրկնում ենք 4-րդ քայլը։

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}$

6. Ալգորիթմի վերջ։

Այսպիսով, $q(x)=x^{2}-9x-27$ բազմանդամը քանորդն է, իսկ $r(x)=-123$՝ մնացորդը։

Տես նաև

• Գորների սխեմա
• Բեզուի թեորեմ
• Ռուֆինիի կանոն
• Էվկլիդի օղակ
• Գրյորբների բազիս