Արտածական վիճակագրություն

Արտածական վիճակագրություն

Type of reasoning

Ենթակատեգորիա	• occurrent  • գործընթաց   • Մտահանգում
Հետազոտվում է	inferential statistics

Արտածական վիճակագրություն, տվյալների վերլուծություն, հիմքում ընկած հավանականության բաշխման հատկությունները պարզելու գործընթացն է։ Արտածական վիճակագրական վերլուծությունը նպատակ ունի եզրահանգումներ անել ընդհանուր բազմության մասին, օրինակ՝ հիպոթեզներ փորձարկել և գնահատումներ ստանալ։ Ընդունվում է, որ դիտարկված տվյալների բազմությունը վերցված է ավելի մեծ ընդհանուր բազմությունից։

Արտածական վիճակագրությունը հակադրվում է նկարագրական վիճակագրությանը։ Նկարագրական վիճակագրությունը զբաղվում է միայն դիտարկված տվյալների հատկություններով և չի հիմնվում այն ենթադրության վրա, որ տվյալները վերցված են ավելի մեծ ընդհանուր բազմությունից։ Մեքենայական ուսուցման մեջ «արտածում» տերմինը երբեմն օգտագործվում է այլ իմաստով՝ նշանակելով «կանխատեսում կատարել արդեն ուսուցված մոդելի միջոցով»։ Այս համատեքստում մոդելի հատկությունները պարզելու գործընթացը կոչվում է ուսուցում կամ սովորում, իսկ մոդելի կիրառումը կանխատեսման համար կոչվում է արտածում, ոչ թե կանխատեսում։

Ներածություն

Արտածական վիճակագրությունը ձևակերպումներ է անում ընդհանուր բազմության վերաբերյալ՝ օգտագործելով այդ բազմությունից նմուշառման որևէ ձևով ստացված տվյալներ։ Տրված է մի հիպոթեզ ընդհանուր բազմության մասին, որի վերաբերյալ ցանկանում ենք եզրահանգումներ անել․ արտածական վիճակագրությունը բաղկացած է, նախ տվյալները առաջացնող գործընթացի վիճակագրական մոդելի ընտրությունից և հետո այդ մոդելից բխող ձևակերպումների (եզրահանգումների) ստացումից։

Կոնիշին և Կիտագավան նշում են, որ «արտածական վիճակագրության խնդիրների մեծ մասը կարելի է դիտարկել որպես վիճակագրական մոդելավորման հետ կապված խնդիրներ»։ Նմանապես, Դեյվիդ Քոքսը նշել է. «Թե ինչպես է առարկայական խնդիրը թարգմանվում վիճակագրական մոդելի, հաճախ վերլուծության ամենակարևոր մասն է»։

Արտածական վիճակագրության արդյունքը վիճակագրական դատողությունն է։ Վիճակագրական դատողությունների ամենատարածված տեսակներից են՝

• կետային գնահատում, այսինքն՝ որոշակի արժեք, որը լավագույնս մոտավորեցնում է հետաքրքրող որևէ պարամետր,
• միջակայքային գնահատում, օրինակ՝ վստահության միջակայք կամ բազմության գնահատում։ Վստահության միջակայքը նմուշային տվյալների հիման վրա կառուցված միջակայք է, այնպես որ եթե նույն ընթացակարգը կրկնվի բազմաթիվ անկախ նմուշների համար (մաթեմատիկորեն՝ սահմանում), ստացված միջակայքների որոշակի հաստատուն բաժինը (օրինակ՝ 95%՝ 95% վստահության միջակայքի դեպքում) կպարունակի պարամետրի իրական արժեքը, այսինքն՝ ընդհանուր բազմության պարամետրը,
• հավատալի միջակայք, այսինքն՝ արժեքների մի բազմություն, որը պարունակում է, օրինակ, հետին հավատի 95%-ը,
• հիպոթեզի մերժում,
• Կլաստեր-անալիզ կամ դասակարգում տարբեր խմբերի

Մոդելներ և ենթադրություններ

Ցանկացած վիճակագրական եզրակացություն պահանջում է որոշակի ենթադրություններ։ Վիճակագրական մոդելը ենթադրությունների համախումբ է, որը վերաբերում է դիտարկված տվյալների և դրանց նման տվյալների առաջացման գործընթացին։ Վիճակագրական մոդելների նկարագրությունները սովորաբար ընդգծում են հետաքրքրող ընդհանուր բազմության այն մեծությունների դերը, որոնց վերաբերյալ ցանկանում ենք եզրահանգումներ անել։ Նկարագրական վիճակագրությունը սովորաբար օգտագործվում է որպես նախնական փուլ՝ մինչև ավելի ձևական եզրակացություններ կատարելը։

Մոդելների / ենթադրությունների աստիճան

Վիճակագիրները տարբերակում են մոդելավորման ենթադրությունների երեք մակարդակ՝

• Լիովին պարամետրիկ՝ Տվյալների առաջացման գործընթացը նկարագրող հավանականության բաշխումները ենթադրվում է, որ ամբողջությամբ սահմանվում են հավանականության բաշխումների մի ընտանիքով, որը ներառում է միայն վերջավոր թվով անհայտ պարամետրեր։ Օրինակ՝ կարելի է ենթադրել, որ ընդհանուր բազմության արժեքների բաշխումը իրականում նորմալ է, անհայտ միջինով և դիսպերսիայով, և որ տվյալների բազմությունները ստացվում են «պարզ» պատահական նմուշառման միջոցով։ Ընդհանրացված գծային մոդելների ընտանիքը լայնորեն կիրառվող և ճկուն պարամետրիկ մոդելների դաս է։
• Ոչ պարամետրիկ՝ Տվյալների առաջացման գործընթացի վերաբերյալ կատարվող ենթադրությունները շատ ավելի քիչ են, քան պարամետրիկ վիճակագրության մեջ, և երբեմն կարող են լինել նվազագույն։ Օրինակ՝ յուրաքանչյուր շարունակական հավանականության բաշխում ունի մեդիան, որը կարելի է գնահատել նմուշային մեդիանով կամ Հոջես–Լեման–Սենի գնահատչով, որն ունի լավ հատկություններ այն դեպքում, երբ տվյալները ստացվում են պարզ պատահական նմուշառման միջոցով։
• Կիսապարամետրիկ՝ Այս տերմինը սովորաբար նշանակում է լիովին պարամետրիկ և ոչ պարամետրիկ մոտեցումների «միջանկյալ» ենթադրություններ։ Օրինակ՝ կարելի է ենթադրել, որ ընդհանուր բազմության բաշխումն ունի վերջավոր միջին։ Բացի այդ, կարելի է ենթադրել, որ ընդհանուր բազմության մեջ միջին արձագանքի մակարդակը կախված է որևէ համակցական փոփոխականից իսկապես գծային ձևով (պարամետրիկ ենթադրություն), բայց չկատարել որևէ պարամետրիկ ենթադրություն այդ միջինի շուրջ տատանումների (դիսպերսիայի) մասին, այսինքն՝ հոմոսկեդաստիկության կամ հետերոսկեդաստիկության գոյության կամ ձևի վերաբերյալ։ Ավելի ընդհանուր առմամբ, կիսապարամետրիկ մոդելները հաճախ կարելի է բաժանել «կառուցվածքային» և «պատահական տատանումների» բաղադրիչների։ Մեկ բաղադրիչը մշակվում է պարամետրիկ, իսկ մյուսը՝ ոչ պարամետրիկ ձևով։ Լայնորեն հայտնի Կոքսի մոդելը կիսապարամետրիկ ենթադրությունների օրինակ է։

Վավեր մոդելների և ենթադրությունների կարևորություն

Ամփոփելով՝ վերևում ցուցադրված պատկերը ներկայացնում է հիստոգրամ՝ նորմալության ենթադրությունը գնահատելու համար, որը կարելի է պատկերացնել որպես զանգաձևի (bell curve) ներքևում հավասարաչափ տարածված տվյալներ։

Ինչպիսի մակարդակի ենթադրություններ էլ արվեն, ընդհանուր առմամբ ճիշտ կարգավորած վիճակագրական արտածումը պահանջում է, որ այդ ենթադրությունները լինեն ճիշտ, այսինքն՝ տվյալների առաջացման մեխանիզմները իրականում ճիշտ սահմանված լինեն։

«Պարզ» պատահական նմուշառման վերաբերյալ սխալ ենթադրությունները կարող են անվավեր դարձնել վիճակագրական եզրակացությունը։ Ավելի բարդ՝ կիսապարամետրիկ և լիովին պարամետրիկ ենթադրություններն էլ կարող են լուրջ խնդիրների պատճառ դառնալ։ Օրինակ՝ Կոքսի մոդելի սխալ կիրառումը որոշ դեպքերում կարող է հանգեցնել սխալ եզրահանգումների։ Ընդհանուր բազմության նորմալ բաշխման վերաբերյալ սխալ ենթադրությունները նույնպես անվավեր են դարձնում ռեգրեսիայի վրա հիմնված որոշ եզրակացություններ։ Մարդկային ընդհանուր բազմությունների նմուշառման մեջ պարամետրիկ մոդելների կիրառումը մասնագետների մեծ մասի կողմից դիտարկվում է թերահավատորեն. «նմուշառման վիճակագիրների մեծ մասը, երբ ընդհանրապես զբաղվում է վստահության միջակայքներով, սահմանափակվում է միայն շատ մեծ նմուշների վրա հիմնված «գնահատիչների» վերաբերյալ ձևակերպումներով, որտեղ կենտրոնական սահմանային թեորեմը ապահովում է, որ այդ [գնահատիչները] ունենան գրեթե նորմալ բաշխումներ»։ Մասնավորապես, նորմալ բաշխումը «լիովին անիրատեսական և աղետալիորեն անխոհեմ ենթադրություն կլիներ, եթե գործ ունենայինք որևէ տեսակի տնտեսական ընդհանուր բազմության հետ»։ Այստեղ կենտրոնական սահմանային թեորեմն ասում է, որ նմուշային միջինի բաշխումը «շատ մեծ նմուշների դեպքում» մոտավորապես նորմալ է, եթե սկզբնական բաշխումը չունի ծանր պոչեր։

Մոտավոր բաշխումներ

Հիմնական հոդվածներ՝ Վիճակագրական հեռավորություն և Մոտարկումների տեսություն

Քանի որ նմուշային վիճակագրությունների ճշգրիտ բաշխումները որոշելը դժվար է, մշակվել են բազմաթիվ մեթոդներ դրանց մոտավոր գնահատման համար։

Փոքր կամ վերջավոր նմուշների դեպքում մոտավոր բաշխումների արդյունքները չափում են, թե որքան մոտ է սահմանային բաշխումը նմուշային վիճակագրության իրական բաշխմանը։ Օրինակ՝ 10,000 անկախ նմուշների դեպքում նորմալ բաշխումը մոտավորապես կրկնապատկում է նմուշային միջինի բաշխումը՝ երկու թվանշանի ճշտությամբ, շատ ընդհանուր բազմությունների համար՝ ըստ Բերի–Էսսեն թեորեմի։ Սակայն պրակտիկ նպատակների համար նորմալ մոտավորումը լավ է տալիս նույնիսկ 10 կամ ավելի անկախ նմուշների դեպքում՝ ըստ մոդելավորման ուսումնասիրությունների և վիճակագիրների փորձի։ 1950-ականներին Կոլմոգորովի աշխատանքի արդյունքում առաջադեմ վիճակագրությունը օգտագործում է մոտավորման տեսություն և ֆունկցիոնալ վերլուծություն՝ մոտավորման սխալը քանակական գնահատելու համար։ Այս մոտեցմամբ ուսումնասիրվում է հավանականության բաշխումների մետրիկ երկրաչափությունը, իսկ մոտավորման սխալը գնահատվում է, օրինակ, Քյուլլբեք-Լայբլերի դիվերգենցիայով, Բրեգմանի դիվերգենցիայով և Հայլինգերի հեռավորությամբ։

Անսահմանափակ մեծ նմուշների դեպքում սահմանային արդյունքները, ինչպես կենտրոնական սահմանային թեորեմն, նկարագրում են նմուշային վիճակագրության սահմանային բաշխումը (եթե այն գոյություն ունի)։ Սահմանային արդյունքները չեն վերաբերում վերջավոր նմուշներին և իրականում իրենց համար անէական են վերջավոր նմուշների դեպքում։ Սակայն սիմպտոտիկ տեսությունը հաճախ օգտագործվում է վերջավոր նմուշների հետ աշխատելիս։ Օրինակ՝ սահմանային արդյունքները հաճախ կիրառվում են դեպքերիի ընդհանուր մեթոդը և ընդհանուր գնահատման հավասարումները հիմնավորելու համար, որոնք տարածված են էկոնոմետրիկայում և կենսաչափական վիճակագրության մեջ։ Սահմանային բաշխման և իրական բաշխման միջև տարբերության չափը կարելի է գնահատել սիմուլյացիայի միջոցով։ Սահմանային արդյունքների էյուրիստիկ կիրառումը վերջավոր նմուշների վրա սովորական պրակտիկա է, հատկապես ցածր չափսի մոդելների դեպքում, որոնց հավանականության ֆունկցիան լոգարիթմային կոնկավ է (օրինակ՝ մեկ պարամետրային էքսպոնենցիալ ընտանիքներ)։

Given the difficulty in specifying exact distributions of sample statistics, many methods have been developed for approximating these.

Պատահականացման վրա հիմնված մոդելներ

Տե՛ս նաև՝ Նմուշահանում

Տվյալների որևէ հավաքածու, որը ստացվել է պատահականացման դիզայնի միջոցով, հնարավորություն է տալիս սահմանել տվյալների վիճակագրության պատահականացման բաշխումը՝ չեզոք հիպոթեզի ներքո։ Սա կատարվում է գնահատելով վիճակագրական տեստը բոլոր հնարավոր պլանների համար, որոնք կարող էին ստեղծվել պատահականացման դիզայնի միջոցով։ Հաճախական արտածման դեպքում պատահականացումը թույլ է տալիս դատողությունները հիմնել հենց պատահականացման բաշխման վրա, այլ ոչ թե սուբյեկտիվ մոդելի վրա, ինչը հատկապես կարևոր է հարցումների նմուշառման և փորձարկումների ցուցադրման ժամանակ։ Պատահականացված ուսումնասիրություններից ստացված վիճակագրական արտածումնները սովորաբար ավելի պարզ են և ուղիղ, քան շատ այլ իրավիճակներում։ Բայեսյան արտածումների դեպքում էլ պատահականացումը կարևոր է։ Օրինակ, հարցումների նմուշառման դեպքում նմուշառումը առանց փոխարինման ապահովում է նմուշի փոխանակելիությունը ընդհանուր բազմության հետ, իսկ պատահականացված փորձարկումներում պատահականացումը թույլ է տալիս ընդունել «պատահական բացակայություն» ենթադրությունը համակցական ինֆորմացիայի վերաբերյալ։

Օբյեկտիվ պատահականացումը թույլ է տալիս իրականացնել ճիշտ ինդուկտիվ ընթացակարգեր։ Շատ վիճակագիրներ նախընտրում են պատահականացման վրա հիմնված վերլուծություն այն տվյալների համար, որոնք ստեղծվել են լավ սահմանված պատահականացման ընթացակարգերով։ Այնուամենայնիվ, այն ոլորտներում, որտեղ զարգացած են տեսական գիտելիքները և փորձարարական վերահսկողությունը, պատահականացված փորձարկումները կարող են ավելացնել փորձարկման ծախսերը՝ առանց բարելավելու եզրակացությունների որակը։ Նմանապես, առաջատար վիճակագրական իշխանությունները խորհուրդ են տալիս պատահականացված փորձարկումների արդյունքները, քանի որ դրանք թույլ են տալիս ավելի վստահելի եզրակացություններ, քան նույն երևույթների դիտարկական ուսումնասիրությունները։ Սակայն լավ դիտարկական ուսումնասիրությունը կարող է լինել ավելի օգտակար, քան վատ պատահականացված փորձարկումը։

Պատահականացված փորձարկման վիճակագրական վերլուծությունը կարող է հիմնվել հենց փորձարկման արձանագրված պատահականացման պլանի վրա և չի պահանջում սուբյեկտիվ մոդել։

Այնուամենայնիվ, որոշ հիպոթեզներ հնարավոր չէ փորձարկել օբյեկտիվ վիճակագրական մոդելների միջոցով, որոնք ճշգրիտ նկարագրում են պատահականացված փորձարկումները կամ պատահական նմուշները։ Կիրառության որոշ դեպքերում նման պատահականացված ուսումնասիրությունները կարող են լինել ոչ տնտեսական կամ ոչ էթիկապես ընդունելի։

Մոդել հիման վրա պատահականացված փորձարկումների վերլուծություն

Պատահականացված փորձարկումների տվյալների վերլուծության ժամանակ ստանդարտ պրակտիկա է հղվել վիճակագրական մոդելին, օրինակ՝ գծային կամ լոգարիթմային մոդելներին։ Սակայն մոդելի ընտրությունը պետք է առաջնորդվի հենց պատահականացման սխեմայով։ Անհնարին է ընտրել համապատասխան մոդել առանց փորձարկման պատահականացման մեխանիզմի իմացության։ Եթե փորձարկման տվյալները վերլուծվեն առանց փորձարարական արձանագրության և պատահականացման սխեմայի հաշվի առնելու, հնարավոր են լուրջ շեղող արդյունքներ։ Հաճախ հանդիպող սխալների մեջ են՝ փորձարկման ընթացքում կիրառված բլոկավորման անտեսումը, նույն փորձարարական միավորի կրկնվող չափումները խառնելը տարբեր փորձարարական միավորների անկախ կրկնությունների հետ։ Այս սկզբունքները կարևոր են, որպեսզի վերլուծությունը ճշգրիտ արտացոլի տվյալների կառուցվածքն ու պատահականացման դիզայնը։

Մոդելազուրկ պատահականացման արտածում

Մոդելազուրկ մոտեցումները լրացնում են մոդել-հիմնված մեթոդները, որոնք հաճախ օգտագործում են իրականությունը պարզեցնող ռազմավարություններ։ Մոդելազուրկ տեխնիկաները համակցում, զարգացնում, խմբավորում և ուսուցանում են ալգորիթմները՝ դինամիկ կերպով հարմարվելով գործընթացի կոնտեքստային առանձնահատկություններին և սովորելով դիտարկումների ներքին բնութագրերը։

Օրինակ, մոդելազուրկ պարզ գծային ռեգրեսիան կարող է հիմնվել երկու տարբեր դիզայն վրա՝

• Պատահական դիզայն, որտեղ դիտարկումների զույգերը՝ $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\cdots ,(X_{n},Y_{n})$ անկախ են և նույնաձև բաշխված են:
• Դետերմինիստ դիզայն՝ որտեղ $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ փոփոխականները դետերմինիստական են, բայց համապատասխան արձագանքող փոփոխականները $Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n}$​ պատահական են և անկախ, ընդհանուր պայմանական բաշխմամբ՝ $P\left(Y_{j}\leq y|X_{j}=x\right)=D_{x}(y)$, որը անկախ է ինդեքս $j$-ից։

Մոդելազուրկ պատահականացման արտածումը կախված է որոշ բաշխման՝$D_{x}(.)$, կանոնավորության պայմաններից, օրինակ՝ ֆունկցիոնալ հարթությունից։ Օրինակ, ընդհանուր բազմության պայմանական միջինը՝ $\mu (x)=E(Y|X=x)$ կարող է գնահատվել հետևողականորեն տեղային միջին կամ տեղային պոլինոմային համապատասխանման միջոցով, ենթադրելով, որ $\mu (x)$ հարթ է։ Բացի այդ, տարբերվող նմուշներից կամ սիմուլյացիայով կարելի է կառուցել վստահության միջակայքներ ընդհանուր բազմության հատկությունների համար, այս դեպքում՝ պայմանական միջինի $\mu (x)$համար։

Արտածման պարադիգմներ

Արտածական վիճակագրական տարբեր դպրոցներ են ձևավորվել։ Այս դպրոցները, կամ պարադիգմները, միմյանցից լիովին անկախ չեն, և այն մեթոդները, որոնք լավ են գործում մեկ պարադիգմի շրջանակում, հաճախ ունեն նաև գրավիչ մեկնաբանություններ այլ պարադիգմների շրջանակում։

Բանդյոպադհյայը և Ֆորսթերը նկարագրում են չորս պարադիգմ․ դասական (կամ ֆրեկվենտիստական) պարադիգմը, բայեսյան պարադիգմը, հավանականության վրա հիմնված պարադիգմը և Ակաիկյան տեղեկատվական չափանիշի վրա հիմնված պարադիգմը։

Հաճախականական արտածում

Այս պարադիգմը առաջարկությունների հավաստիությունը գնահատում է՝ դիտարկելով կրկնվող նմուշառումներն ընդհանուր բազմության բաշխումից, որոնք հանգեցնում են տվյալ պահին առկա տվյալների նման տվյալահավաքների ստացմանը։ Կրկնվող նմուշառման պայմաններում տվյալահավաքի հատկությունները ուսումնասիրելով՝ կարելի է քանակապես գնահատել վիճակագրական առաջարկության հաճախականական հատկությունները, թեև գործնականում այդ քանակական գնահատումը կարող է դժվար իրագործելի լինել։

Հաճախական արտածման օրինակներ

• p-արժեք
• Վստահության միջակայք
• Զրոյական հիպոթեզի նշանակալիության ստուգում

Հաճախականական արտածման օբյեկտիվություն և որոշման տեսություն

Հաճախականական արտածման (կամ դասական արտածման) մեկնաբանություններից մեկն այն է, որ այն կիրառելի է միայն հաճախականական հավանականության իմաստով, այսինքն՝ որպես բազմության բաշխումից կրկնվող նմուշառման արդյունք։ Սակայն Նեյմանի մոտեցումը այդ ընթացակարգերը զարգացնում է մինչփորձարարական հավանականությունների տեսանկյունից։ Այսինքն՝ փորձն սկսելուց առաջ սահմանվում է եզրահանգման ընդունման կանոն այնպես, որ ճիշտ լինելու հավանականությունը վերահսկվի համապատասխան ձևով․ այդպիսի հավանականությունը պարտադիր չէ, որ ունենա հաճախականական կամ կրկնվող նմուշառման մեկնաբանություն։ Ի հակադրություն դրան, բայեսյան արտածումը աշխատում է պայմանական հավանականությունների միջոցով (այսինքն՝ դիտարկված տվյալներով պայմանավորված հավանականություններով), մինչդեռ հաճախականական արտածումը հիմնվում է մարգինալ հավանականությունների վրա (թեև՝ անհայտ պարամետրերով պայմանավորված)։

Նշանակալիության ստուգման և վստահության միջակայքների հաճախականական մեթոդները կարող են կառուցվել՝ առանց օգտակարության ֆունկցիաների հաշվառման։ Սակայն հաճախականական վիճակագրության որոշ տարրեր, մասնավորապես վիճակագրական որոշման տեսությունը, ներառում են օգտակարության ֆունկցիաներ։ Մասնավորապես, օպտիմալ արտածման հաճախականական զարգացումները (օրինակ՝ նվազագույն դիսպերսիա ունեցող անշեղ գնահատիչները կամ համասեռ առավելագույն հզորության թեստերը) օգտագործում են կորուստի ֆունկցիաներ, որոնք գործում են որպես (բացասական) օգտակարության ֆունկցիաներ։ Կորուստի ֆունկցիաները պարտադիր չէ, որ բացահայտ ձևով սահմանվեն, որպեսզի վիճակագրական տեսաբանները կարողանան ապացուցել, որ որևէ վիճակագրական ընթացակարգ ունի օպտիմալության հատկություն։ Այնուամենայնիվ, կորուստի ֆունկցիաները հաճախ օգտակար են օպտիմալության հատկությունները ձևակերպելու համար․ օրինակ, մեդիան-անշեղ գնահատիչները օպտիմալ են բացարձակ արժեքի կորուստի ֆունկցիայի դեպքում, քանի որ նվազեցնում են սպասվող կորուստը, իսկ նվազագույն քառակուսիների գնահատիչները օպտիմալ են քառակուսային սխալի կորուստի ֆունկցիայի դեպքում, քանի որ նույնպես նվազեցնում են սպասվող կորուստը։

Թեպետ հաճախականական արտածում կիրառող վիճակագիրները պետք է ինքնուրույն ընտրեն հետաքրքրող պարամետրերը և կիրառվող գնահատիչը կամ թեստային վիճակագրությունը, ակնհայտորեն արտահայտված օգտակարության ֆունկցիաների և նախնական բաշխումների բացակայությունը նպաստել է նրան, որ հաճախականական ընթացակարգերը լայնորեն ընկալվեն որպես «օբյեկտիվ»։

Բայեսյան արտածում

Բայեսյան հաշվողական մեթոդը նկարագրում է համոզմունքների աստիճանները՝ օգտագործելով հավանականությունների «լեզուն»․ համոզմունքները դրական են, համախառնվում են միավորի մեջ և ենթարկվում են հավանականությունների ակսիոմներին։ Բայեսյան արտածումը օգտագործում է առկա հետին համոզմունքները որպես հիմք վիճակագրական առաջարկություններ կազմելու համար։ Բայեսյան մոտեցումը կիրառելու համար գոյություն ունեն մի քանի տարբեր հիմնավորումներ։

բայեսյան արտածման օրինակներ

• Վստահելի միջակայք՝ միջակայքային գնահատման համար
• Բայեսյան գործակիցներ՝ մոդելների համեմատության համար

Բայեսյան արտածում, սուբյեկտիվություն և որոշման տեսություն

Շատ ոչ ֆորմալ բայեսյան արտածումներ հիմնված են հետին «ինտուիտիվորեն ընդունելի» ամփոփումների վրա։ Օրինակ՝ հետին միջինը, մեդիան և մոդը, ամենաբարձր հետին խտությամբ միջակայքները և Բայեսի գործակիցները՝ բոլորը կարող են հիմնավորվել այս կերպ։ Թեպետ այս տեսակի արտածումների համար օգտվողի օգտակարության ֆունկցիան պարտադիր չէ նշված լինի, այդ ամփոփումները բոլորն էլ որոշ չափով կախված են նշված նախնական համոզմունքներից և սովորաբար դիտվում են որպես սուբյեկտիվ եզրահանգումներ։ (Առաջարկվել են նաև նախնական բաշխումների կառուցման մեթոդներ, որոնք արտաքին տվյալների կարիք չունեն, սակայն դրանք դեռ ամբողջությամբ զարգացած չեն)։

Ֆորմալորեն, բայեսյան ինֆերենցիան կալիբրվում է բացահայտ նշված օգտակարության կամ կորուստի ֆունկցիայի հիման վրա։ «Բայեսի կանոնը» այն է, որը առավելագույնացնում է սպասվող օգտակարությունը՝ հետին անորոշության վրա միջինացնելով։ Այսպիսով, ֆորմալ բայեսյան արտածումն ավտոմատորեն ապահովում է օպտիմալ որոշումներ և որոշման տեսության իմաստով։ Նախաձեռնված ենթադրություններով, տվյալներով և օգտակարությամբ բայեսյան արտածումը կարելի է իրականացնել գրեթե ցանկացած խնդիրների համար, թեև ոչ բոլոր վիճակագրական եզրահանգումները պետք է ունենան բայեսյան մեկնաբանություն։ Որոշ ոչ ֆորմալ վերլուծություններ, որոնք չեն կիրառվում ֆորմալ բայեսյան շրջանակում, կարող են լինել տրամաբանորեն անհամապատասխան։ Բայեսյան ընթացակարգերի առանձնահատկություններից մեկը, որոնք օգտագործում են ճիշտ նախընտրություններ (այսինքն՝ մեկին ինտեգրացվող), այն է, որ դրանք երաշխավորում են տրամաբանական համապատասխանություն։ Բայեսյան ինֆերենցիայի որոշ կողմնակիցներ պնդում են, որ արտածումը պետք է տեղի ունենա այս որոշման տեսության շրջանակում, և որ բայեսյան արտածումը չպետք է ավարտվի հետին համոզմունքների գնահատմամբ և ամփոփմամբ։

Հավանականության վրա հիմնված արտածում

Հավանականության վրա հիմնված արտածումը այն պարադիգմն է, որն օգտագործվում է վիճակագրական մոդելի պարամետրերը գնահատելու համար՝ հիմնվելով դիտարկված տվյալների վրա։ Հավանականությունական մոտեցումը վիճակագրությանը կիրառվում է հավանականության ֆունկցիայի միջոցով, որը նշվում է որպես $L(x|\theta )$ և որոշում է տվյալ x-ը դիտարկելու հավանականությունը՝ ընդունելով, որ պարամետրերի $\theta$ կոնկրետ հավաքածու է ընտրված։ Հավանականության վրա հիմնված արտածման նպատակը գտնել այն պարամետրերի արժեքների հավաքածուն, որը առավելագույնացնում է հավանականության ֆունկցիան, կամ համարժեք՝ առավելագույնացնում է տվյալների դիտարկման հավանականությունը։

Հավանականության վրա հիմնված արտածման ընթացակարգի հիմնական քայլերը

1. Վիճակագրական մոդելի ձևակերպում Ընդգծվում է վիճակագրական մոդելը՝ հիմնված ընթացիկ խնդրի վրա, նշելով բաշխման ենթադրությունները և դիտարկված տվյալների և անհայտ պարամետրերի միջև կապը։ Մոդելը կարող է լինել պարզ (օրինակ՝ նորմալ բաշխում հայտնի դիսպերսիայով) կամ բարդ (օրինակ՝ հիերարխիկ մոդել բազմաստիճան պատահական ազդեցություններով)։
2. Հավանականության ֆունկցիայի կառուցում Վիճակագրական մոդելի հիման վրա կառուցվում է հավանականության ֆունկցիան, որը հաշվարկվում է որպես դիտարկված տվյալների համատեղ հավանականության խտության կամ զանգվածային ֆունկցիայի ֆունկցիա անհայտ պարամետրերի առումով։ Այս ֆունկցիան ներկայացնում է տվյալների դիտարկման հավանականությունը պարամետրերի տարբեր արժեքների համար։
3. Հավանականության ֆունկցիայի առավելագույնացում Հաջորդ քայլը գտնել այն պարամետրերի արժեքների հավաքածուն, որը առավելագույնացնում է հավանականության ֆունկցիան։ Սա կարելի է իրականացնել տարբեր օպտիմալացման տեխնիկաներով, օրինակ՝ թվային օպտիմալացման ալգորիթմներով։ Արդյունքում ստացվում են ամենամեծ հավանականության գնահատիչներ (MLEs), որոնք սովորաբար նշվում են որպես ${\bar {y}}$։
4. Անորոշության գնահատում MLE–ները ստանալուց հետո կարևոր է գնահատել պարամետրերի անորոշությունը։ Սա կարելի է անել՝ հաշվարկելով ստանդարտ շեղումները, վստահության միջակայքները կամ իրականացնելով հիպոթեզների ստուգումներ՝ օգտագործելով ասիմպտոտիկ տեսություն կամ սիմուլյացիոն տեխնիկաներ, օրինակ՝ bootstrap մեթոդը։
5. Մոդելի ստուգում Պարամետրերի գնահատումից և անորոշության գնահատումից հետո կարևոր է գնահատել վիճակագրական մոդելի հուսալիությունը։ Սա ներառում է մոդելի ենթադրությունների ստուգում և մոդելի համապատասխանության գնահատում տվյալների նկատմամբ՝ goodness-of-fit թեստերի, մնացորդների վերլուծության կամ գրաֆիկական ախտորոշիչների միջոցով։
6. Եզրահանգում և մեկնաբանում Վերջապես, գնահատված պարամետրերի և մոդելի գնահատման հիման վրա կատարվում է վիճակագրական արտածում։ Սա ներառում է բազմության պարամետրերի վերաբերյալ եզրահանգումներ անել, կանխատեսումներ կատարել կամ հիպոթեզներ ստուգել՝ հիմնվելով գնահատված մոդելի վրա

Այլ պարադիգմներ արտածման համար

Նվազագույն նկարագրության երկարություն

Նվազագույն նկարագրության երկարության (MDL) սկզբունքը մշակվել է տեղեկատվության տեսությունից և Կոլմոգորովի բարդության տեսությունից բխող գաղափարներից։ MDL սկզբունքը ընտրում է այն վիճակագրական մոդելները, որոնք առավելագույնս սեղմում են տվյալները։ Արտածումը իրականացվում է առանց այն ենթադրության, որ գոյություն ունեն հակառակող կամ չվերադարձվող «տվյալներ արտադրող մեխանիզմներ» կամ տվյալների համար հավանականության մոդելներ, ինչպես կարող է լինել ֆրեկվենտիստական կամ բայեսյան մոտեցումների դեպքում։

Եթե, այնուամենայնիվ, իրականում գոյություն ունի «տվյալներ արտադրող մեխանիզմ», ապա Շենոնի աղբյուրային կոդավորման տեսության համաձայն այն տալիս է տվյալների MDL նկարագրությունը՝ միջինորեն և ասիմպտոտիկորեն։ Նկարագրության երկարությունը (կամ նկարագրական բարդությունը) նվազեցնելու գործընթացում, MDL գնահատումը նման է ամենամեծ հավանականության գնահատման (MLE) և մեծագույն հետին հավանականություն գնահատման մեթոդներին (բայեսյան նախնական բաշխումն առավելագույն էնտրոպիայի հիման վրա)։ Սակայն MDL մեթոդը խուսափում է ենթադրելու, որ հիմնարար հավանականության մոդելը հայտնի է։ MDL սկզբունքը կարելի է կիրառել նաև առանց ենթադրությունների, օրինակ՝ այն, որ տվյալները առաջացել են անկախ նմուշառումներից։

MDL սկզբունքը կիրառվել է տեղեկատվության տեսության մեջ հաղորդակցության կոդավորման, գծային ռեգրեսիայի մեջ, և տվյալների մայնինգի մեջ։

MDL–ին հիմնված արտածման ընթացակարգերի գնահատումը հաճախ կիրառում է հաշվարկային բարդության տեսության տեխնիկաներ կամ չափանիշներ։

Ֆիդուցիալ արտածում

Ֆիդուցիալ արտածումը վիճակագրական արտածման մի մոտեցում էր, որը հիմնված էր ֆիդուցիալ հավանականության վրա, որը հայտնի է նաև որպես «ֆիդուցիալ բաշխում»։ Հետագա ուսումնասիրություններում այս մոտեցումը կոչվել է անորոշ սահմանված, գերազանցորեն սահմանափակ կիրառելիությամբ, և նույնիսկ խաբեբայական։ Այնուամենայնիվ, այս հակադրությունը նման է այն հակադրությանը, որը ցույց է տալիս, որտեղ «վստահության բաշխումը» ոչ իրավասու հավանականության բաշխում չէ, և քանի որ սա չի անվավերացրել վստահության միջակայքների կիրառումը, այն պարտադիր չէ, որ անվավերացնի ֆիդուցիալ փաստարկներից ստացված եզրահանգումները։ Երեկ Ֆիշերի ֆիդուցիալ փաստարկի սկզբնական աշխատանքը փորձ է արվել վերակազմակերպել՝ որպես արտածման տեսության հատուկ դեպք, որը օգտագործում է վերին և ստորին հավանականություններ։

Կառուցվածքային արտածում

Բարնարդը, զարգացնելով Ֆիշերի և Պիթմենի գաղափարները 1938–1939 թվականներին, մշակեց «կառուցվածքային արտածում» կամ «պիվոտային արտածում»՝ մոտեցում, որը օգտագործում է կապակցված հավանականություններ խմբային ընտանիքների վրա։ Բարնարդը վերաձևակերպեց ֆիդուցիալ արտածման հիմքում ընկած փաստարկները՝ սահմանափակված մոդելների դասի համար, որոնց վրա «ֆիդուցիալ» ընթացակարգերը հստակ սահմանված և օգտակար կլինեին։ Դոնալդ Ֆրեյզերը մշակեց ստրուկտուրալ արտածման ընդհանուր տեսություն, հիմնված խմբային տեսության վրա, և կիրառեց այն ուղղակի մոդելների վրա։ Ֆրեյզերի ձևակերպած տեսությունը խիստ կապեր ունի որոշման տեսության և բայեսյան վիճակագրության հետ և կարող է ապահովել օպտիմալ ֆրեկվենտիստական որոշումների կանոններ, եթե դրանք գոյություն ունեն։

Կանխատեսիչ արտածում

Կանխատեսիչ արտածումը վիճակագրական արտածման մի մոտեցում է, որը շեշտադրում է ապագա դիտարկումների կանխատեսումը՝ հիմնված անցյալի դիտարկումների վրա։

Սկզբնական շրջանում կանխատեսիչ արտածումը հիմնված էր դիտարկելի պարամետրերի վրա, և այն հանդիսանում էր հավանականության ուսումնասիրության գլխավոր նպատակ, սակայն 20-րդ դարում այն կորցրեց իր ժողովրդականությունը նոր պարամետրային մոտեցման պատճառով, որը մշակեց Բրունո դե Ֆինետին։ Այս մոտեցումը դիտարկվող երևույթները մոդելավորում էր որպես ֆիզիկական համակարգ, որը դիտարկվում է սխալներով (օրինակ՝ երկնային մեխանիկա)։ Դե Ֆինետիի բանակցելիության գաղափարը՝ այն, որ ապագա դիտարկումները պետք է վարվեն նման անցյալի դիտարկումներին, լայն ճանաչում ստացավ անգլախոս աշխարհում նրա 1937 թվականի հոդվածի ֆրանսերենից անգլերեն 1974 թվականի թարգմանության շնորհիվ և այնուհետ կիրառվել է վիճակագրների, ինչպես Սեյմուր Գեյսերը կողմից։

Տես նաև

• Որոշումների տեսություն
• Դիսպերս վերլուծություն
• Նկարագրական վիճակագրություն
• Ոճաչափություն
• Մակածություն

Ծանոթագրություններ

Աղբյուրներ

• Bandyopadhyay, P. S.; Forster, eds. (2011), Philosophy of Statistics, Elsevier.
• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001). Mathematical statistics: Basic and selected topics. Vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-850363-5. MR 0443141.
• David R. Cox|Cox, D. R. (2006). Principles of Statistical Inference, Cambridge University Press. 0-521-68567-2.
• Ronald A. Fisher|Fisher, R. A. (1955), "Statistical methods and scientific induction", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 17, 69–78. (criticism of statistical theories of Jerzy Neyman and Abraham Wald)
• Freedman, D. A. (2009). Statistical Models: Theory and practice (revised ed.). Cambridge University Press. էջեր xiv+442 pp. ISBN 978-0-521-74385-3. MR 2489600.
• David A. Freedman|Freedman, D. A. (2010). Statistical Models and Causal Inferences: A Dialogue with the Social Sciences (Edited by David Collier (political scientist)|David Collier, Jasjeet S. Sekhon|Jasjeet Sekhon, and Philip B. Stark), Cambridge University Press.
• Hampel, Frank R. (2003 թ․ փետրվար). «The proper fiducial argument». Seminar für Statistik, Eidgenössische Technische Hochschule. 114. doi:10.3929/ethz-a-004526011.
• Hansen, Mark H.; Yu, Bin (2001 թ․ հունիս). «Model Selection and the Principle of Minimum Description Length: Review paper». Journal of the American Statistical Association. 96 (454): 746–774. CiteSeerX 10.1.1.43.6581. doi:10.1198/016214501753168398. JSTOR 2670311. MR 1939352. S2CID 14460386. Արխիվացված է օրիգինալից 2004-11-16-ին.
• Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Introduction to Experimental Design (Second ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.
• Kolmogorov, Andrei N. (1963). «On tables of random numbers». Sankhyā Ser. A. 25: 369–375. MR 0178484. Reprinted as Kolmogorov, Andrei N. (1998). «On tables of random numbers». Theoretical Computer Science (journal)|Theoretical Computer Science. 207 (2): 387–395. doi:10.1016/S0304-3975(98)00075-9. MR 1643414.
• Konishi S., Kitagawa G. (2008), Information Criteria and Statistical Modeling, Springer.
• Kruskal, William (1988 թ․ դեկտեմբեր). «Miracles and statistics: the casual assumption of independence (ASA Presidential Address)». Journal of the American Statistical Association. 83 (404): 929–940. doi:10.2307/2290117. JSTOR 2290117.
• Lucien Le Cam|Le Cam, Lucian. (1986) Asymptotic Methods of Statistical Decision Theory, Springer. 0-387-96307-3
• [David S. Moore|Moore, D. S.; McCabe, G. P.; Craig, B. A. (2015), Introduction to the Practice of Statistics, Eighth Edition, Macmillan.
• Neyman, Jerzy (1956). «Note on an article by Sir Ronald Fisher». Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 18 (2): 288–294. doi:10.1111/j.2517-6161.1956.tb00236.x. JSTOR 2983716. (reply to Fisher 1955)
• Charles Sanders Peirce|Peirce, C. S. (1877–1878), "Illustrations of the logic of science" (series), Popular Science Monthly, vols. 12–13. Relevant individual papers:
  • (1878 March), "The Doctrine of Chances", Popular Science Monthly, v. 12, March issue, pp. 604–615. Internet Archive Eprint.
  • (1878 April), "The Probability of Induction", Popular Science Monthly, v. 12, pp. 705–718. Internet Archive Eprint.
  • (1878 June), "The Order of Nature", Popular Science Monthly, v. 13, pp. 203–217.Internet Archive Eprint.
  • (1878 August), "Deduction, Induction, and Hypothesis", Popular Science Monthly, v. 13, pp. 470–482. Internet Archive Eprint.
• Charles Sanders Peirce|Peirce, C. S. (1883), "A Theory of probable inference", Studies in Logic, pp. 126-181, Little, Brown, and Company. (Reprinted 1983, John Benjamins Publishing Company, 90-272-3271-7)
• Freedman, D.A; Pisani, R.; Purves, R.A. (1978). Statistics. New York: W.W. Norton, Inc.|W. W. Norton & Company.
• Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994). Parametric Statistical Theory. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-013863-4. MR 1291393.
• Rissanen, Jorma (1989). Stochastic Complexity in Statistical Inquiry. Series in Computer Science. Vol. 15. Singapore: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0859-3. MR 1082556.
• Soofi, Ehsan S. (2000 թ․ դեկտեմբեր). «Principal information-theoretic approaches (Vignettes for the Year 2000: Theory and Methods, ed. by George Casella)». Journal of the American Statistical Association. 95 (452): 1349–1353. doi:10.1080/01621459.2000.10474346. JSTOR 2669786. MR 1825292. S2CID 120143121.
• Traub, Joseph F.; Wasilkowski, G. W.; Wozniakowski, H. (1988). Information-Based Complexity. Academic Press. ISBN 978-0-12-697545-1.
• Zabell, S. L. (1992 թ․ օգոստոս). «R. A. Fisher and Fiducial Argument». Statistical Science. 7 (3): 369–387. doi:10.1214/ss/1177011233. JSTOR 2246073.

Հավելյալ գրականություն

• Casella, G., Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. Duxbury Press. 0-534-24312-6
• Freedman, D.A. (1991). «Statistical models and shoe leather». Sociological Methodology. 21: 291–313. doi:10.2307/270939. JSTOR 270939.
• Held L., Bové D.S. (2014). Applied Statistical Inference—Likelihood and Bayes (Springer).
• Lenhard, Johannes (2006). «Models and Statistical Inference: the controversy between Fisher and Neyman–Pearson» (PDF). British Journal for the Philosophy of Science. 57: 69–91. doi:10.1093/bjps/axi152. S2CID 14136146.
• Lindley, D (1958). «Fiducial distribution and Bayes' theorem». Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 20: 102–7. doi:10.1111/j.2517-6161.1958.tb00278.x.
• Rahlf, Thomas (2014). "Statistical Inference", in Claude Diebolt, and Michael Haupert (eds.), "Handbook of Cliometrics ( Springer Reference Series)", Berlin/Heidelberg: Springer.
• Reid, N.; Cox, D. R. (2014). «On Some Principles of Statistical Inference». International Statistical Review. 83 (2): 293–308. doi:10.1111/insr.12067. hdl:10.1111/insr.12067. S2CID 17410547.
• Sagitov, Serik (2022). "Statistical Inference". Wikibooks. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Statistical_Inference.pdf
• Young, G.A., Smith, R.L. (2005). Essentials of Statistical Inference, CUP. 0-521-83971-8

Արտաքին հղումներ

• Statistical Inference – lecture on the MIT OpenCourseWare platform
• Statistical Inference – lecture by the National Programme on Technology Enhanced Learning
• An online, Bayesian (MCMC) demo/calculator is available at causaScientia
• Statistical Inference – interactive Coggle diagram