Ածանցման կանոններ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի ածանցման հիմնական կանոնները։

Ածանցման տարրական կանոններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են[1][2]՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում[3]։

Ածանցումը գծային է[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական և ֆունկցիաների և և իրական թվերի համար ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ -ի հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Մասնավոր դեպքեր․

  • Հաստատում արտադրիչի կանոն՝
  • Գումարման կանոն՝
  • Հանման կանոն՝

Բազմապատկման կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h(x) = f(x) g(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

Դիֆերենցումը որպես արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե f ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան g-ն է, այսինքն՝ և ապա

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բազմանդամի ածանցիալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե, որտեղ ապա

Երբ սա ապա հետևաբար՝ ։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական չանհետացող f ֆունցիայի դեպքում ֆունցկայի ածանցյալն է՝

որտեղ f-ը զրոյական չէ։

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

Քանորդների կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե f և g ֆունկցիաների համար

որտեղ g-ը զրոյական չէ։

Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

Ընդհանուր աստիճանային կանոն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական f և g ֆունկցիաների համար՝

եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են[4]։

Հատուկ դեպքերից են՝

  • եթե , ապա երբ a-ն տարբեր է զրոյից իսկ x-ը՝ դրական։
  • Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ ։

Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

այս հավասարումը ճիշտ է կամայական c-ի համար, բայց դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական c թիվի համար, բայց դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

Լոգարիթմական ածանցյալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․

եթե f-ը դրական է։

Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։ Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ ։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են միջակայքում և արտահայտում է կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ ) ։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

, and

Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գամմա ֆունկցիա

որտեղ -ն դիգամմա ֆունկցիան է

Ռիմանի զետա ֆունկցիա

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-150861-2.
  2. Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, 978-0-07-162366-7.
  3. Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, 978-0-07-161569-3
  4. «The Exponent Rule for Derivatives»։ Math Vault (en-US)։ 2016-05-21։ Վերցված է 2019-07-25 

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7.
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-57507-2.
  • Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-86153-3
  • NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-19225-5.