Ֆունկցիայի էքստրեմում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Extrema example original.svg

Ֆունկցիայի էքստրեմում, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է մինիմումի կետ, իսկ եթե ամենամեծին՝ մաքսիմումի կետ։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։

Սահմանումներ[խմբագրել]

Եթե f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0, ապա f.-ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե \dot{U}(x_0), ապա \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).։

  • ։ x_0 է կոչվում f, ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի \dot{U}(x_0) հարթություն, որի համար
  • ։ \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա x_0-ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։
  • x_0 է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
  • ։ \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
  • ։ \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

f(x_0) ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։

Նշում[խմբագրել]

M, տարածությունում բաժանված f, ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ f(x) = x,\; x\in (-1,1).

Հիմնական էքստրեմումների գոյության պարտատիր պայմաններ[խմբագրել]

  • Ֆերմայի թեորեմից հետևվում է՝
Օրինակ, եթե x_0~f ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է x_0 տարածքում, ապա
կա՛մ ~f'(x_0) գոյություն չունի, կա՛մ ~f'(x_0) = 0.

Բավականաչափ պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար[խմբագրել]

  • Օրինակ, եթե f\in C(x_0)-ն շարունակական է x_0\in M^0, տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ ~f'_+(x_0), f'_-(x_0) , ապա
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0

պայմանում x_0-ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

ապա x_0 հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի x_0 կետը

  • ։ ~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

պայմանում x_0-ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

պայմանում x_0-ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

  • ։ f ֆունկցիան x_0 կետում դիֆերենցելի է n անգամ և f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0, իսկ f^{(n)}(x_0)\ne 0։

Եթե n-ն հաշվելի է և f^{(n)}(x_0)<0, ապա x_0 հիմնական մաքսիմումի կետն է։ Եթե n-ն հաշվելի է և f^{(n)}(x_0)>0, ապա x_0-ն հիմնական մինիմումի կետն է։ Եթե n-ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։

Տես նաև[խմբագրել]

Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա

(ռուսերեն)