Քերոլի թիվ

Քերոլի թիվ, $4^{n}-2^{n+1}-1$ տեսքի ամբողջ թիվ։ Որոշվում է նաև համարժեք բանաձևով՝ $(2^{n}-1)^{2}-2$։ Առաջին մի քանի Քերոլի թվերն են՝ −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 (A093112-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

Քերոլի թվերն առաջին անգամ ուսումնասիրել է Քլեթուս Էմանուելը։ Նա այս թվերն անվանել է իր ընկերոջ՝ Քերոլ Գ․ Կիրնոնի անունով։

Ցանկացած n > 2 թվի համար, n-րդ Քերոլի թվի երկուական տեսքը բաղկացած է n − 2 հատ իրար հաջորդող մեկերից, մեկ զրոյից և ևս n + 1 հատ իրար հաջորդող մեկերից, կամ, հանրահաշվորեն ներկայացնելու դեպքում՝

$\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}$

Այսպես, օրինակ, 47-ի երկուական տեսքը 101111 է, 223-ինը՝ 11011111 և այլն։ Մերսենի 2n-րդ պարզ թվի և Քերոլի n-րդ թվի միջև եղած տարբերությունը հավասար է $2^{n+1}$-ի։ Սա հնարավորություն է տալիս Քերոլի թվերն արտահայտել ևս մեկ համարժեք բանաձևով՝ $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$։ Քայնի n-րդ թվի և Քերոլի n-րդ թվի միջև եղած տարբերությունը հավասար է երկուսի (n + 2)-րդ աստիճանին՝ $2^{n+2}$։

Սկսած 7-ից, յուրաքանչյուր երրորդ Քերոլի թիվը բաժանվում է 7-ի։ Այդիսկ պատճառով, որպեսզի Քերոլի թիվը լինի պարզ թիվ, նրա n ինդեքսը չպետք է լինի 3x + 2 տեսքի, որտեղ x > 0։ Առաջին մի քանի Քերոլի պարզ թվերն են՝ 7, 47, 223, 3967, 16127 (A091516-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)։

2007 թվականի հուլիսի դրությամբ, ամենամեծ հայտնի Քերոլի պարզ թիվը n = 253987-ի դեպքում ստացվող Քերոլի թիվն է, որն բաղկացած է 152916 թվանշաններից։ Այն հայտնաբերվել է Քլեթուս Էմանուելը 2007 թ․ մայիս ամսին՝ օգտագործելով MultiSieve և PrimeFormGW ծրագրերը։ Այդ թիվը 40-րդ Քերոլի պարզ թիվն է։

Քերոլի 7-րդ թվի և Քերոլի 5-րդ պարզ թվի՝ 16127-ի, թվանշանները հակառակ դասավորելու դեպքում ստացվողը նույնպես պարզ թիվ։ Քերոլի 12-րդ թիվը և Քերոլի 7-րդ պարզ թիվը՝ 16769023-ը, նույնպես ունի այդ հատկությունը։

Արտաքին հղումներ

• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)