Քառակուսային հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Քառակուսային հավասարում, մաթեմատիկակական հավասարում, որն ունի հետևյալ տեսքը՝ ax^2 + bx + c = 0, որտեղ a \ne 0.

Լուծման բանաձևի ստացումը[խմբագրել]

Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ՝

ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx =-c

Հավասարման կողմերը բազմապատկում ենք 4a-ով ու գումարում b^2՝
4a^2x^2 + 4abx + b^2 = -4ac + b^2
(2ax + b)^2 = -4ac + b^2
2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}

Բնական գործակիցներով հավասարում[խմբագրել]

Բնական a,~b,~c գործակիցներով քառակուսային հավասարումը կարող է ունենալ 0-ից 2 լուծում՝ կախված տարբերիչի՝ D=b^2 - 4ac ընդունած արժեքից։

  • երբ D > 0, հավասարումն ունի 2 լուծում, և դրանք կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով՝
    x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}
    x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}       (1)
  • երբ D = 0, հավասարումն ունի 1 լուծում (այլ կերպ ասում են, որ հավասարման 2 լուծումներն էլ նույնն են, կամ հավասար են)՝
    x = \frac{-b}{2a}
  • երբ D < 0, հավասսարումը լուծում չունի։

Բերված տեսքի քառակուսային հավասարում[խմբագրել]

x^2 + bx + c = 0 տեսքի քառակուսային հավասարումները, որտեղ հավասարման ավագ գործակիցը՝ a-ն հավասար է 1-ի, կոչվում են բերված տեսքի։ Բերված տեսքի հավասարման լուծման բանաձևը ունի հետևյալ տեսքը՝

x_{1,2}= -\frac b2 \pm \sqrt{\left( \frac b2 \right)^2-c}.

Վիետի թեորեմը[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված ՝ Վիետի թեորեմ

Բերված տեսքի x^2 + bx + c = 0 հավասարման լուծումների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը՝ երրորդ գործակցին՝ նույն նշանով՝

x_1 + x_2 = -b, \qquad\qquad x_1x_2 = c

Եթե հավասարումը բերված տեսքի չէ (ax^2 + bx + c = 0), վիետի թեորեմը կունենա հետևյալ տեսքը՝

x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.

Քառակուսային հավասարումը արտադրիչների վերլուծելը[խմբագրել]

Եթե հայտնի են հավասարման բոլոր լուծումները, այն կարելի է վերլուծել արտադրիչների։

~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Եթե հավասարման տարբերիչը զրո է, այս առընչությունը դառնում է կրճատ բազմապատկման բանաձևերից մեկը։