Քառակուսային հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

 \ a x^2 + b x + c = 0 տեսքի հանրահաշվական հավասարումը կոչվում է քառակուսի հավասարում, որտեղ  \ x -ը փոփոխական է, իսկ  \ a ,  \ b և  \ c -ն որոշ թվեր, որտեղ  \ a \neq 0 -ի։
 \ a x^2 + b x + c արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի եռանդամ։
Արմատը  \ x փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում քառակուսի եռանդամը ընդունում է  \ 0 արժեք, իսկ քառակուսի հավասարումը դառնում է նույնություն։
Քառակուսի հավասարման էլեմենտները ունեն իրենց անվանումները՝

  •  \ a -ին անվանում են առաջին կամ ավագ գործակից,
  •  \ b -ին անվանում են երկրորդ կամ x-ի գործակից,
  •  \ c -ին անվանում են ազատ անդամ։

Եթե  \ a x^2 + b x + c = 0 քառակուսի հավասարման  \ a կամ  \ b գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են թերի քառակուսի հավասարում։
Թերի քառակուսի հավասարումները լինում են երեք տիպի՝

  1.  \ a x^2 + c = 0 , որտեղ  \ c \neq 0 ,
  2.  \ a x^2 + b x = 0 , որտեղ  \ b \neq 0 ,
  3.  \ a x^2 = 0 , որտեղ  \ c=0 ,  \ b=0 ։

Քառակուսի հավասարումը, որտեղ  \ a գործակիցը հավասար է  \ 1 -ի, կոչվում է բերված տեսքի քառակուսի հավասարում և ունի այսպիսի տեսք՝  \ x^2 + p x + q = 0   ։
Քառակուսի հավասարումը, որտեղ բոլոր գործակիցները տարբեր են զրոյից կոչվում է լրիվ քառակուսի հավասարում։ Բերված քառակուսի հավասարումը ստացվում է լրիվ քառակուսի հավասարումից հավասարման աջ և ձախ մասերը  \ a գործակցի վրա բաժանելիս։ Այստեղից կստացվի, որ բերված տեսքի քառակուսի հավասարման մեջ  \ p= \frac{b}{a} , իսկ  \ q = \frac{c}{a} ։

Լուծման բանաձևի ստացումը[խմբագրել]

Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ՝

ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx =-c

Հավասարման կողմերը բազմապատկում ենք 4a-ով ու գումարում b^2՝
4a^2x^2 + 4abx + b^2 = -4ac + b^2
(2ax + b)^2 = -4ac + b^2
2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}

Քառակուսի հավասարման իրական արմատների բանաձևը[խմբագրել]

I եղանակ: Արմատների հաշվման ընդհանուր բանաձև[խմբագրել]

Ընդհանուր դեպքում  \ a x^2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար օգտվում ենք ներքևում բերված ալգորիթմից՝ հաշվում ենք քառակուսի հավասարման տարբերիչը՝  \ D -ն, որտեղ  \ D=b^2-4ac ։ Հաճախ տարբերիչին անվանում են դիսկրիմինանտ։

  • եթե  \ D > 0 -ից, ապա քառակուսի հավասարման արմատները երկուսն են, որոնց հաշվվման համար են օգտագործում են  \ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} բանաձևը։
  • եթե  \ D = 0 -ի, ապա քառակուսի հավասարման արմատը մեկն է (որոշ դեպքերում ասում են, որ երկու արմատներն իրար հավասար են կամ համնկնում են)։ Այս դեպքում արմատը հաշվվում է  \ x_1=x_2= \frac{-b}{2a} բանաձևով։
  • եթե  \ D < 0 -ից, ապա քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի։

Մի հավասարումը կարելի է լուծել տարբեր ձևերով, որում լուծման նախապատվությունը ընտրվում է հենց լուծողի կողմից։ Բացի այդ, հաճախ դրա համար որոշ ձևերը շատ ավելի էլեգանտ են, պարզ, քիչ աշխատատար, քան ստանդարտ ձևը։

II եղանակ: Քառակուսի հավասարման արմատորները  \ b գործակցի զույգ լինելու դեպքում[խմբագրել]

ax^2 + 2kx + c = 0 տեսքի հավասարման համար, այսինքն զույգ b-ի համար, որտեղ k=\frac{1}{2}b ընդհանուր բանաձևի փոխարեն կարելի է օգտագործել ավելի պարզ արտահայտություններ։
Ուշադրություն։ Ներքևում բերված բանաձևերը ստացվում են հիմնական բանաձևում b-ի փոխարեն տեղադրելով 2k արժեքը և կատարել ոչբարդ ձևափոխություններ։

Տարբերիչը
Արմատները
ոչբերված բերված  \ D>0 ոչբերված բերված
Հարմար է հաշվել տարբերիչի քարրորդ մասը՝
 \frac{D}{4} =k^2-ac

Այս դեպքում բոլոր անհրաժեշտ հատկությունները պահպանվում են։

 \frac{D}{4}=k^2-c .  x_{1, 2}= \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}  x_{1,2}=-k \pm \sqrt{k^2-c}
 \ D=0  x= \frac{-k}{a}  x=-k

III եղանակ: Ոչամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումներ[խմբագրել]

Ոչամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումներին անհրաժեշտ է մոտենալ առանձնակի ձևով։ Դրա համար դիտարկենք երեք ձև։

 b=0, c=0
 b=0; c \neq 0
 b \neq 0; c=0
ax^2=0;

x^2=0; x=0.

(ձևափոխման գործընթացը ներկայացված է մանրամասնորեն, պրակտիկայում միանգամիցվկարելի է անցնել վերջին տողին)
 ax^2+c=0

 ax^2=-c;  x^2=-\frac{c}{a};  x_{1, 2}= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}:

Եթե -c/a>0, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատներ, եթե -c/a<0, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ։

 ax^2+bx=0;

 x(ax+b)=0;  x=0 կամ  ax+b=0;  x=- \frac{b}{a}:

Այսպիսի հավասարումը պարտադիր ունի երկու իրական արմատներ

IV եղանակ: Գործակիցների մասնակի հարաբերությունների օգտագործում[խմբագրել]

Գոյություն ունեն քառակուսի հավասարումների մասնակի դեպքեր,որոնցում գործակիցները գտնվում են իրար մեջ որոշակի փոխհարաբերությամբ, որն հնարավորություն է տալիս լուծել նրանք բավականի հարմար ձևով։

Քառակուսի հավասարման արմատները, որում ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին[խմբագրել]

Եթե  \ a x^2 + b x + c = 0 քառակուսի հավասարման մեջ ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝  \ a + c = b (խոսքը գնում է իրական գործակիցներով հավասարման մասին), ապա նրա արմատը հանդիսանում է  \ -1 -ը և ազատ անդամի և ավագ գործակցի հարաբերության հակադիր թվին ( -\frac{c}{a}
Հետևաբար, նախքան որևէ քառակուսի հավասարման լուծելը, հարկավոր է ստուգել այս թեորեմի կիրառման հնարավորությունը՝ համեմատել ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը երկրորդ գործակցի հետ։

Քառակուսի հավասարման արմատները, որում բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի[խմբագրել]

Եթե քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի ( \ a + b + c = 0 ), ապա այդպիսի հավասարման արմատը հանդիսանում է  \ 1 -ը և ազատ անդամի և ավագ գործակցի հարաբերությունը ( \frac{c}{a}

Վիետի թեորեմը[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Վիետի թեորեմ

Բերված տեսքի x^2 + bx + c = 0 հավասարման լուծումների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը՝ երրորդ գործակցին՝ նույն նշանով՝

x_1 + x_2 = -b, \qquad\qquad x_1x_2 = c

Եթե հավասարումը բերված տեսքի չէ (ax^2 + bx + c = 0), վիետի թեորեմը կունենա հետևյալ տեսքը՝

x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.

Քառակուսային հավասարումը արտադրիչների վերլուծելը[խմբագրել]

Եթե հայտնի են հավասարման բոլոր լուծումները, այն կարելի է վերլուծել արտադրիչների։

~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Եթե հավասարման տարբերիչը զրո է, այս առընչությունը դառնում է կրճատ բազմապատկման բանաձևերից մեկը։