Քառակուսային հավասարում

Քառակուսային հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ $ax^2 + bx + c = 0$, որտեղ $a \ne 0$.

Լուծման բանաձևի ստացումը

Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ՝

$ax^2 + bx + c = 0$
$ax^2 + bx =-c$

Հավասարման կողմերը բազմապատկում ենք $4a$-ով ու գումարում $b^2$՝
$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = -4ac + b^2$
$(2ax + b)^2 = -4ac + b^2$
$2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}$

Բնական գործակիցներով հավասարում

Բնական $a,~b,~c$ գործակիցներով քառակուսային հավասարումը կարող է ունենալ 0-ից 2 լուծում՝ կախված տարբերիչի՝ $D=b^2 - 4ac$ ընդունած արժեքից:

• երբ $D > 0$, հավասարումն ունի 2 լուծում, և դրանք կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով՝

  $x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
  $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$       (1)

• երբ $D = 0$, հավասարումն ունի 1 լուծում (այլ կերպ ասում են, որ հավասարման 2 լուծումներն էլ նույնն են, կամ հավասար են)՝

  $x = \frac{-b}{2a}$

• երբ $D < 0$, հավասսարումը լուծում չունի:

Բերված տեսքի քառակուսային հավասարում

$x^2 + bx + c = 0$ տեսքի քառակուսային հավասարումները, որտեղ հավասարման ավագ գործակիցը՝ $a$-ն հավասար է 1-ի, կոչվում են բերված տեսքի: Բերված տեսքի հավասարման լուծման բանաձևը ունի հետևյալ տեսքը՝

$x_{1,2}= -\frac b2 \pm \sqrt{\left( \frac b2 \right)^2-c}.$

Վիետի թեորեմը

     Հիմնական հոդված ՝ Վիետի թեորեմ:

Բերված տեսքի $x^2 + bx + c = 0$ հավասարման լուծումների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը՝ երրորդ գործակցին՝ նույն նշանով՝

$x_1 + x_2 = -b, \qquad\qquad x_1x_2 = c$

Եթե հավասարումը բերված տեսքի չէ ($ax^2 + bx + c = 0$), վիետի թեորեմը կունենա հետևյալ տեսքը՝

$x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.$

Քառակուսային հավասարումը արտադրիչների վերլուծելը

Եթե հայտնի են հավասարման բոլոր լուծումները, այն կարելի է վերլուծել արտադրիչների:

$~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

Եթե հավասարման տարբերիչը զրո է, այս առընչությունը դառնում է կրճատ բազմապատկման հավասարումներից մեկը: