Շոշափողակոյտ

Մաթեմատիկայում, դիֆերենցեալ բազմաձևութեան շոշափողակոյտը դա ինքնին դիֆերենցեալ բազմաձևութիւն է, որը բաղկացած է բազմաձևութեան բոլոր շոշափող տարածութիւններից։ $\displaystyle M$ բազմաձեւութիւնը, որպէս բազմութիւն իրենից պարզապէս ներկայացնում է շոշափող տարածութիւնների կոարտադրեալ (անջատ միաւորում)՝

$TM=\coprod_{p\in M} T_p M.$

Սակայն պէտք է ի նկատի ունենալ, որ տարածութիւնը տոպոլոգիպէս եւ իր դիֆերենցեալ կառուցուածքով կոարտադրեալ չէ։ Մենք կանդրադառնանք շոշափողակոյտի տոպոլոգիային եւ դիֆերենցեալ կառուցուածքին յաջորդիւ։ Շոշափողակոյտը գալիս է նաեւ բնական պրոյեկցիայով առ $\displaystyle M$

$\pi:TM\twoheadrightarrow M,$

որ բաւարարում է հետեւեալ հաւասարմանը $\displaystyle \pi(v)=x$, եթէ $v\in T_x M$։ Այս պրոյեկցիայի շնորհիւ շոշափողակոյտը ստանում է (դիֆերենցեալ) վեկտորակոյտի կառուցուածք։

Վեկտորական դաշտերը կարող են բնութագրուել, որպէս $\displaystyle \pi$ պրոյեկցիայի յատոյթներ, այսինքն՝ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ $V:M\rightarrow TM$, այնպէս որ $\pi\circ V=\mathbf{1}_M$: Վերջապէս, նշենք, որ շոշափողակոյտի դուալ վեկտորակոյտը կոչւում է, ինչպէս կարելի էր սպասել, կոշոշափողակոյտ։ Այն օգտագործւում է բազմաձեւութիւնների վրա ինտեգրելու նպատակով։

Սահմանում

Շոշափողակոյտը սահմանելու նպատակներից մէկը այն է, որ այն լինի վեկտորակոյտ։ Այս պատճառով էլ, շոշափողակոյտի սահմանումը ըստ էութեան, վեկտորակոյտի (կամ աւելի ընդհանուր՝ ֆիբրակոյտի) կառուցում է։ Թող $\displaystyle M$-ը լինի մեր բազմաձեւութիւնը, եւ թող $\displaystyle \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in \mathcal{A}}$-ն լինի $\displaystyle M$-ի դիֆերեցեալ կառուցուածքին համապասխանող մաքսիմալ դիֆերենցելի ատլասը։ Անցման ֆունկցիաները՝ $\displaystyle \rho_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\rightarrow GL_n(\mathbb{R})$, սահմանւում են, որպէս $\displaystyle \rho_{\alpha\beta}(p)= D\left(\varphi_\alpha^{-1}\circ\varphi_\beta\right)\big|_p$ բոլոր $p\in U_\alpha\cap U_\beta$-երի համար: Այստեղ, $\displaystyle D$-ով էր նշանակւում $\mathbb{R}^n$-ից $\mathbb{R}^n$ ֆունկցիայի ածանցեալ մատրիցը։ Կարելի է հեշտութեամբ ստուգել, որ այս անցման ֆունկացիաները, մէկ՝ անընդյատ են, երկրորդ՝ բաւարարում են կոցիկլի պայմանին։ Այսպիսով՝ այս անցման ֆունկցիաները սահմանում են տոպոլոգիական բազմաձեւութիւն, եւ այս պահին մենք չենք էլ կարող պահանջել աւելին, քանզի՝ ոչ մի երաշխաւորում չունենք, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են։ Սակայն, կարելի է ասել աւելին․ շոշափողակոյտի դիֆերենցելիութեան կարգը մէկով ցածր է բազմաձեւութեան դիֆերենցելիութեան կարգից։ Իսկ եթէ մեր բազմաձեւութիւնը ողորկ է, ապա նրա շոշափողակոյտն էլ է ողորկ։ Մենք մեր ուշադրութիւնը կսեւեռենք վերջիններիս, քանզի դրանք լայն կիրառում ունեն։ Ամեն այսպիսի վեկտորակոյտի կառուցում գալիս է բնական պրոյեկցիայով։ Պրոյեկցիան կլինի այն ֆունցիան, որ բաւարարում է հետեւեալ կոմուտատիւ դիագրամին․

որտեղ $\displaystyle\rho$-ն քանորդումն է, ըստ $\displaystyle\rho_{\alpha\beta}$ անցման ֆունկցիաների։ Շոշափողակոյտը սահմանելուց մենք օգտուեցինք մաքսիմալ ատլասից զուտ, որպէսզի սահմանման առումով խնդիրներ չլինեն։ Իրականում, ցանկացած ատլասի օգտագործումը կբերի դիֆեոմորֆիկ բազմաձեւութեան կառուցման, որը համատեղելի է պրոյեկցիայի հետ։

Կարելի նաեւ $\displaystyle M$-ը կանոնաւոր կերպով սուզել $\displaystyle TM$-ի մէջ։ Հետեւեալ դիագրամ ցոյց է տալիս, թէ ինչպէս

Այստեղ $\displaystyle \iota_\alpha:U_\alpha\rightarrow U_\alpha\times \mathbb{R}^n$ ֆունկցիան $\displaystyle \pi_\alpha$-ի յատոյթն է, որ $\displaystyle\iota_\alpha(p)=(p,0)$:

Որպէս Ֆունկտոր

Թող $\displaystyle \mathbf{Smooth}$-ով նշանակուի ողորկ բազմաձեւութիւնների կատեգորիան։ Սա այն կատեգորիան է, որում օբյեկները ողորկ բազմաձեւութիւններն են, իսկ մորֆիզմները՝ նրանց միջեւ անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաները։ Մենք կարող ենք սահմանել շոշափողացման ֆունկտոր, $\displaystyle T:\mathbf{Smooth}\rightarrow \mathbf{Smooth}$: Նշանակումը մեզ յուշում է, որ $T$-ն ուղղարկում է բազմաձութիւնը իր շոշափողակոյտին։

Իսկ մորֆիզմները դէպի ու՞ր են արտապատկերւում։ Ենթադրել տրուած է $\displaystyle f:M\rightarrow N$ անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիան։ $\displaystyle Tf$-ն այն ֆունկցիան է, որ արտապատկերում է $T_pM\subseteq TM$ ենթաբազմութիւնը $T_{f(p)}N\subseteq TN$, ընդ որում՝ $\displaystyle Tf|_{T_pM}=f_*|_p$, որտեղ $\displaystyle f_*|_p$-ն դա $\displaystyle p$-ում $f$-ի ածանցեալն է։ Այս սահմանումով $\displaystyle Tf$-ը կլինի անվերջ դիֆերենցելի։ Ըստ էութեան՝ $\displaystyle Tf$-ը իրենից ներկայացնում է անծանցեալի գաղափարի ընդլայնում։ Հետաքրքիր է այն, որ $T$-ի ֆունկտորութիւնը, դա կոմպոզիցիայի կանոնի ընդհանրացումն է։

Օրինակներ եւ Փաստեր

Միգուցէ ամենատարրական օրինակը դա $T\mathbb{R}^n$-ն է։ Այս շոշափողակոյտն, նոյնն է ինչ $\mathbb{R}^{2n}$-ը: Դա հետեւում է այն փաստից, որ $\{(\mathbb{R}^n,\mathbf{1})\}$-ը ատլաս է։ Դժուար չէ նաեւ նկատել, որ ցանկացած $\mathbb{R}^{n}$-ի բաց $\displaystyle U$ ենթաբազմաձեւութեան համար, ճիշտ է, որ $\displaystyle TU=U\times \mathbb{R}^n$: Տոպոլոգիական համարժէքութիւնը $T\mathbb{R}^n$-ի ու $\mathbb{R}^{2n}$-ի միջեւ կարելի հետեւացնել այն փաստից, որ $\mathbb{R}^n$-ը սեղմելի է։

Որոշ դէպքերում հարմար է լինում դիտարկել բազմաձեւութիւնը, որպէս $\mathbb{R}^n$-ի ենթաբազմաձեւութիւն։ Սա թոյլ է տալիս դիտարկել շոշափողակոյտերը, որպէս $\mathbb{R}^{2n}$-ի ենթաբազմաձեւութիւն։ Ընդհանրապէս՝ եթէ $\displaystyle i:M\hookrightarrow N$ արտապատկերումը սուզում (ողողում) է, ապա սուզում (ողողում) է նաեւ $\displaystyle Ti:TM\rightarrow TN$ արտապատկերումը։ Նաեւ աւելին, եթէ $\displaystyle p$-ն $\displaystyle N$-ում կանոնաւոր կէտ է $\displaystyle f:M\rightarrow N$ արտապատկերման նկատմամբ, ապա ցանկացած $\displaystyle q\in \pi^{-1}(p)$ նոյնպէս կանոնաւոր է $\displaystyle Tf:TM\rightarrow TN$ արտապատկերման նկատմամբ։ Օրինակ՝ մենք ունենք հետեւալն

որտեղ $\displaystyle i$-ն դա սովորական $\displaystyle S^n$ սուզումն է $\mathbb{R}^n$-ի որպէս միաւոր երկարութեամբ կետերի բազմութիւն, իսկ $\displaystyle j$-ը դա նորմ-քառակուսի ֆունկցիան է, այսինքն՝ $j(\mathbf{v})=|\mathbf{v}|^2$: Նկատենք, որ $\displaystyle 1$-ը $\displaystyle j$-ի կանոնաւոր արժէք է, եւ $\displaystyle i(S^n)=j^{-1}(1)$։ Շոշափողացնելով այս յաջորդականութիւնը մենք կստանանք

Կարելի է տեսնել $\displaystyle Tj\circ Ti=T(j\circ i)$ հաստատուն ֆունկցիա է $\displaystyle (1,0)$, քանզի $\displaystyle j\circ i$-ն ֆակտորիզացւում է կէտի միջով։ Այսպիսով՝ $\displaystyle Ti(TS^n)\subseteq (Tj)^{-1}(1,0)$: Նկատենք, $\displaystyle \dim (Ti(TS^n))=2n=\dim ((Tj)^{-1}(1,0))$, եւ որ $\displaystyle Ti(TS^n)$-ը փակ ենթաբազմաձեւութիւն է կապակցուած $\displaystyle (Tj)^{-1}(1,0)$ բազմաձեւութեան մէջ։ Ուրեմն՝ $\displaystyle Ti(TS^n)= (Tj)^{-1}(1,0)=\{(\mathbf{v},\mathbf{u})\in\mathbb{R}^{n+1}\times \mathbb{R}^{n+1}\big||\mathbf{v}|=1, \mathbf{v}\perp\mathbf{u}\}$: Քանի որ $\displaystyle Ti$-ն սուզում է մենք կարող ենք $\displaystyle TS^n$-ը նոյնացնել $\displaystyle \mathbb{R}^{2n}$-ի այս ենթաբազմաձեւութեան հետ։

Յաջորդ օրինակը դա $\displaystyle TS^1$-ն է։ Այս վեկտորակոյտը կրկին տրիւեալ է։ Այդ տեսնելու համար, $\displaystyle S^1$-ը դիտարկել որպէս $\mathbb{C}$-ի Լի ենթախումբ։ Դիտարկել $s: S^1\rightarrow \mathbb{C}^2\approx T\mathbb{C}$, որտեղ $\displaystyle s(z)=(z,iz)$։ Այս ֆունկցիան անվերջ դիֆերենցելի է։ Նկատենք, որ $z\perp iz$ բոլոր $z\in S^1$-ի համար․ այդ իսկ պատճառով $s(S^1)\subseteq TS^1$: Այսպիսով, մենք կարող ենք սահմանափակել $\displaystyle s$-ը որպէս ֆունցիա, $\displaystyle S^1$-ից $\displaystyle TS^1$: Այս ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է յատոյթ, որ ոչ մի կէտում չի չքանում։ Քանի որ $\displaystyle TS^1$-ը միաչափ է, ուրեմն՝ այն տրիւիալ վեկտորակոյտ է։ Նմանատիպ ձեւով, օգտուելով կուատերնիոններից և օկտոնեոններից, կարելի ցոյց տալ, որ $\displaystyle TS^3$-ն ու $\displaystyle TS^7$-ը նոյնպէս տրիւեալ են։

Իրականում՝ $\displaystyle TS^n$-ը տրիւեալ է միայն ու միայն այն դէպքում, երբ $\displaystyle n=1,3,7$ (Բոտ, Ադամս, Ատիյա, Միլնոր, Կեւայրէ)։ Այս փաստը բաւականին դժուար է ապացուցել։ Սակայն դժուար չէ ցոյց տալ այս փաստը զոյգ $\displaystyle n$-երի համար։ Իրոք՝ վեկտորակոյտի տրիւեալութիւնը մասնաւորապէս հետեւացնում է ոչ մի կէտում չչքացող յատոյթի գոյութիւն։ Սակայն $\displaystyle S^n$-ի ցանկացած վեկտորական դաշտ չքանում է գոնէ մէկ կէտում, եթէ $\displaystyle n$-ը զոյգ է։

Ծանօթագրութիւններ

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3
• Allen E. Hatcher, Algebraic Topology Cambridge, (2002) University Press, Cambridge. ISBN 0-521-79540-0
• Allen E. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory