Շոշափողակոյտ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում, դիֆերենցեալ բազմաձևութեան շոշափողակոյտը դա ինքնին դիֆերենցեալ բազմաձևութիւն է, որը բաղկացած է բազմաձևութեան բոլոր շոշափող տարածութիւններից։ \displaystyle M բազմաձևութիւնը, որպէս բազմութիւն իրենից պարզապէս ներկայացնում է շոշափող տարածութիւնների կոարտադրեալ (անջատ միաւորում)՝

TM=\coprod_{p\in M} T_p M.

Սակայն պէտք է ի նկատի ունենալ, որ տարածութիւնը տոպոլոգիպէս և իր դիֆերենցեալ կառուցուածքով կոարտադրեալ չէ։ Մենք կանդրադառնանք շոշափողակոյտի տոպոլոգիային և դիֆերենցեալ կառուցուածքին յաջորդիւ։ Շոշափողակոյտը գալիս է նաև բնական պրոյեկցիայով առ \displaystyle M

 \pi:TM\twoheadrightarrow M,

որ բաւարարում է հետևեալ հաւասարմանը \displaystyle \pi(v)=x, եթէ v\in T_x M։ Այս պրոյեկցիայի շնորհիւ շոշափողակոյտը ստանում է (դիֆերենցեալ) վեկտորակոյտի կառուցուածք։

Վեկտորական դաշտերը կարող են բնութագրուել, որպէս \displaystyle \pi պրոյեկցիայի յատոյթներ, այսինքն՝ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ V:M\rightarrow TM, այնպէս որ \pi\circ V=\mathbf{1}_M։ Վերջապէս, նշենք, որ շոշափողակոյտի դուալ վեկտորակոյտը կոչւում է, ինչպէս կարելի էր սպասել, կոշոշափողակոյտ։ Այն օգտագործւում է բազմաձևութիւնների վրա ինտեգրելու նպատակով։

Սահմանում[խմբագրել]

Շոշափողակոյտը սահմանելու նպատակներից մէկը այն է, որ այն լինի վեկտորակոյտ։ Այս պատճառով էլ, շոշափողակոյտի սահմանումը ըստ էութեան, վեկտորակոյտի (կամ աւելի ընդհանուր՝ ֆիբրակոյտի) կառուցում է։ Թող \displaystyle M-ը լինի մեր բազմաձևութիւնը, և թող \displaystyle \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in \mathcal{A}}-ն լինի \displaystyle M-ի դիֆերեցեալ կառուցուածքին համապասխանող մաքսիմալ դիֆերենցելի ատլասը։ Անցման ֆունկցիաները՝ \displaystyle \rho_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\rightarrow GL_n(\mathbb{R}), սահմանւում են, որպէս \displaystyle \rho_{\alpha\beta}(p)= D\left(\varphi_\alpha^{-1}\circ\varphi_\beta\right)\big|_p բոլոր p\in U_\alpha\cap U_\beta-երի համար։ Այստեղ, \displaystyle D-ով էր նշանակւում \mathbb{R}^n-ից \mathbb{R}^n ֆունկցիայի ածանցեալ մատրիցը։ Կարելի է հեշտութեամբ ստուգել, որ այս անցման ֆունկացիաները, մէկ՝ անընդյատ են, երկրորդ՝ բաւարարում են կոցիկլի պայմանին։ Այսպիսով՝ այս անցման ֆունկցիաները սահմանում են տոպոլոգիական բազմաձեւութիւն, և այս պահին մենք չենք էլ կարող պահանջել աւելին, քանզի՝ ոչ մի երաշխաւորում չունենք, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են։ Սակայն, կարելի է ասել աւելին․ շոշափողակոյտի դիֆերենցելիութեան կարգը մէկով ցածր է բազմաձևութեան դիֆերենցելիութեան կարգից։ Իսկ եթէ մեր բազմաձևութիւնը ողորկ է, ապա նրա շոշափողակոյտն էլ է ողորկ։ Մենք մեր ուշադրութիւնը կսևեռենք վերջիններիս, քանզի դրանք լայն կիրառում ունեն։ Ամեն այսպիսի վեկտորակոյտի կառուցում գալիս է բնական պրոյեկցիայով։ Պրոյեկցիան կլինի այն ֆունցիան, որ բաւարարում է հետևեալ կոմուտատիւ դիագրամին․

DefinitionOfTangentBundleProjection.gif

որտեղ \displaystyle\rho-ն քանորդումն է, ըստ \displaystyle\rho_{\alpha\beta} անցման ֆունկցիաների։ Շոշափողակոյտը սահմանելուց մենք օգտուեցինք մաքսիմալ ատլասից զուտ, որպէսզի սահմանման առումով խնդիրներ չլինեն։ Իրականում, ցանկացած ատլասի օգտագործումը կբերի դիֆեոմորֆիկ բազմաձևութեան կառուցման, որը համատեղելի է պրոյեկցիայի հետ։

Կարելի նաև \displaystyle M-ը կանոնաւոր կերպով սուզել \displaystyle TM-ի մէջ։ Հետևեալ դիագրամ ցոյց է տալիս, թէ ինչպէս

DefinitionOfTangentBundleInclusion.gif

Այստեղ \displaystyle \iota_\alpha:U_\alpha\rightarrow U_\alpha\times \mathbb{R}^n ֆունկցիան  \displaystyle \pi_\alpha-ի յատոյթն է, որ \displaystyle\iota_\alpha(p)=(p,0)։

Որպէս Ֆունկտոր[խմբագրել]

Թող \displaystyle \mathbf{Smooth}-ով նշանակուի ողորկ բազմաձևութիւնների կատեգորիան։ Սա այն կատեգորիան է, որում օբյեկները ողորկ բազմաձևութիւններն են, իսկ մորֆիզմները՝ նրանց միջև անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաները։ Մենք կարող ենք սահմանել շոշափողացման ֆունկտոր, \displaystyle T:\mathbf{Smooth}\rightarrow \mathbf{Smooth}։ Նշանակումը մեզ յուշում է, որ T-ն ուղղարկում է բազմաձութիւնը իր շոշափողակոյտին։

Իսկ մորֆիզմները դէպի ու՞ր են արտապատկերւում։ Ենթադրել տրուած է \displaystyle f:M\rightarrow N անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիան։ 
\displaystyle Tf-ն այն ֆունկցիան է, որ արտապատկերում է T_pM\subseteq TM ենթաբազմութիւնը T_{f(p)}N\subseteq TN, ընդ որում՝ \displaystyle Tf|_{T_pM}=f_*|_p, որտեղ \displaystyle f_*|_p-ն դա \displaystyle p-ում f-ի ածանցեալն է։ Այս սահմանումով \displaystyle Tf-ը կլինի անվերջ դիֆերենցելի։ Ըստ էութեան՝ \displaystyle Tf-ը իրենից ներկայացնում է անծանցեալի գաղափարի ընդլայնում։ Հետաքրքիր է այն, որ T-ի ֆունկտորութիւնը, դա կոմպոզիցիայի կանոնի ընդհանրացումն է։

Օրինակներ եւ Փաստեր[խմբագրել]

Միգուցէ ամենատարրական օրինակը դա T\mathbb{R}^n-ն է։ Այս շոշափողակոյտն, նոյնն է ինչ \mathbb{R}^{2n}-ը։ Դա հետևում է այն փաստից, որ \{(\mathbb{R}^n,\mathbf{1})\}-ը ատլաս է։ Դժուար չէ նաև նկատել, որ ցանկացած \mathbb{R}^{n}-ի բաց \displaystyle U ենթաբազմաձևութեան համար, ճիշտ է, որ \displaystyle TU=U\times \mathbb{R}^n։ Տոպոլոգիական համարժէքութիւնը T\mathbb{R}^n-ի ու \mathbb{R}^{2n}-ի միջև կարելի հետևացնել այն փաստից, որ \mathbb{R}^nսեղմելի է։

Որոշ դէպքերում հարմար է լինում դիտարկել բազմաձևութիւնը, որպէս \mathbb{R}^n-ի ենթաբազմաձևութիւն։ Սա թոյլ է տալիս դիտարկել շոշափողակոյտերը, որպէս \mathbb{R}^{2n}-ի ենթաբազմաձևութիւն։ Ընդհանրապէս՝ եթէ \displaystyle i:M\hookrightarrow N արտապատկերումը սուզում (ողողում) է, ապա սուզում (ողողում) է նաև \displaystyle Ti:TM\rightarrow TN արտապատկերումը։ Նաև աւելին, եթէ \displaystyle p\displaystyle N-ում կանոնաւոր կէտ է \displaystyle f:M\rightarrow N արտապատկերման նկատմամբ, ապա ցանկացած \displaystyle q\in \pi^{-1}(p) նոյնպէս կանոնաւոր է \displaystyle Tf:TM\rightarrow TN արտապատկերման նկատմամբ։ Օրինակ՝ մենք ունենք հետևալն

ExactnSphereManifoldSequence.gif

որտեղ \displaystyle i-ն դա սովորական \displaystyle S^n սուզումն է \mathbb{R}^n-ի որպէս միաւոր երկարութեամբ կետերի բազմութիւն, իսկ \displaystyle j-ը դա նորմ-քառակուսի ֆունկցիան է, այսինքն՝ j(\mathbf{v})=|\mathbf{v}|^2։ Նկատենք, որ \displaystyle 1\displaystyle j-ի կանոնաւոր արժէք է, և \displaystyle i(S^n)=j^{-1}(1)։ Շոշափողացնելով այս յաջորդականութիւնը մենք կստանանք

TangentificationOfExactnSphereSequenceManifold.gif

Կարելի է տեսնել \displaystyle Tj\circ Ti=T(j\circ i) հաստատուն ֆունկցիա է \displaystyle (1,0), քանզի \displaystyle j\circ i-ն ֆակտորիզացւում է կէտի միջով։ Այսպիսով՝ \displaystyle Ti(TS^n)\subseteq (Tj)^{-1}(1,0)։ Նկատենք, \displaystyle \dim (Ti(TS^n))=2n=\dim ((Tj)^{-1}(1,0)), և որ \displaystyle Ti(TS^n)-ը փակ ենթաբազմաձևութիւն է կապակցուած \displaystyle (Tj)^{-1}(1,0) բազմաձևութեան մէջ։ Ուրեմն՝ \displaystyle Ti(TS^n)= (Tj)^{-1}(1,0)=\{(\mathbf{v},\mathbf{u})\in\mathbb{R}^{n+1}\times \mathbb{R}^{n+1}\big||\mathbf{v}|=1, \mathbf{v}\perp\mathbf{u}\}։ Քանի որ \displaystyle Ti-ն սուզում է մենք կարող ենք \displaystyle TS^n-ը նոյնացնել \displaystyle \mathbb{R}^{2n}-ի այս ենթաբազմաձևութեան հետ։

Յաջորդ օրինակը դա \displaystyle TS^1-ն է։ Այս վեկտորակոյտը կրկին տրիւեալ է։ Այդ տեսնելու համար, \displaystyle S^1-ը դիտարկել որպէս \mathbb{C}-ի Լի ենթախումբ։ Դիտարկել s: S^1\rightarrow \mathbb{C}^2\approx T\mathbb{C}, որտեղ \displaystyle s(z)=(z,iz)։ Այս ֆունկցիան անվերջ դիֆերենցելի է։ Նկատենք, որ z\perp iz բոլոր z\in S^1-ի համար․ այդ իսկ պատճառով s(S^1)\subseteq TS^1։ Այսպիսով, մենք կարող ենք սահմանափակել \displaystyle s-ը որպէս ֆունցիա, \displaystyle S^1-ից \displaystyle TS^1։ Այս ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է յատոյթ, որ ոչ մի կէտում չի չքանում։ Քանի որ \displaystyle TS^1-ը միաչափ է, ուրեմն՝ այն տրիւիալ վեկտորակոյտ է։ Նմանատիպ ձևով, օգտուելով կուատերնիոններից և օկտոնեոններից, կարելի ցոյց տալ, որ \displaystyle TS^3-ն ու \displaystyle TS^7-ը նոյնպէս տրիւեալ են։

Իրականում՝ \displaystyle TS^n-ը տրիւեալ է միայն ու միայն այն դէպքում, երբ \displaystyle n=1,3,7 (Բոտ, Ադամս, Ատիյա, Միլնոր, Կևայրէ)։ Այս փաստը բաւականին դժուար է ապացուցել։ Սակայն դժուար չէ ցոյց տալ այս փաստը զոյգ \displaystyle n-երի համար։ Իրոք՝ վեկտորակոյտի տրիւեալութիւնը մասնաւորապէս հետևացնում է ոչ մի կէտում չչքացող յատոյթի գոյութիւն։ Սակայն \displaystyle S^n-ի ցանկացած վեկտորական դաշտ չքանում է գոնէ մէկ կէտում, եթէ \displaystyle n-ը զոյգ է։

Ծանօթագրութիւններ[խմբագրել]

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3
  • Allen E. Hatcher, Algebraic Topology Cambridge, (2002) University Press, Cambridge. ISBN 0-521-79540-0
  • Allen E. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory