Հերոնի բանաձև

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ p = \frac{a + b + c}2.

Ապացույց.

S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma},

որտեղ \ \gamma՝ եռանկյան a և b կիղմերով կազմված անկյունն է ։ Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,

Այստեղից՝

\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},

Ուրեմն

\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=
={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=
={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).

Նկատելով, որ a+b+c=2p, a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, c-a+b=2p-2a, ստանում ենք՝

\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Այսպիսով

S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

Տես նաև[խմբագրել]

Հղումներ[խմբագրել]