Հերմիտի բազմանդամներ

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!

;

Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!

.

Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների ( $n=0,1,...,10$ ) համար։

H_{0}(x)=1\,

H_{1}(x)=x\,

H_{2}(x)=x^{2}-1\,

H_{3}(x)=x^{3}-3x\,

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,

։

Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ ( $n=0,1,...,10$ ) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

H_{0}(x)=1\,

H_{1}(x)=2x\,

H_{2}(x)=4x^{2}-2\,

H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,

Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

$H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,$

Հատկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$H_{n}(x)$ բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ $n$ թիվը։ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots$ :

$x=0$ -ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,

,

H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,

. (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

$H_{n}(x)$ բազմանդամը կարելի է պատկերասնել $n\times n$ մատրիցի որոշչի տեսքով։

$H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Գումարման բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.

Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ . ապա

n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)

.

$n=2$ , $a_{1}=a_{2}=1$ , $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$ . ապա

2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

.

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ . ապա

n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)

.

$n=2$ , $a_{1}=a_{2}=1$ , $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$ . ապա

2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

.

Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրթոգոնալություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ $(-\infty ,+\infty )$ ինտերվալում $e^{-x^{2}/2}\,\!$ կամ $e^{-x^{2}}\,\!$ զանգվածով, կախված սահմանումից։

\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}

,

\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}

, (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

որտեղ $\delta _{mn}$ -ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։ Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական $p$ ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).$

Դրանից բխում է կապ $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$ ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}$

Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},$ Որտեղ ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ $\Gamma (x)$ -ը գամմա ֆունկցիան է։

Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես $f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},$ -ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.$ Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

\mathrm {ch} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\mathrm {sh} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),

\cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),

Դիֆերենցիալ հավասարումները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$H_{n}(x)$ Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

$y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,$

Եթե $n$ հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)\,$ ,

որտեղ $A,B$ կամայական հաստատուններ են, իսկ $h_{n}(x)$ ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝ $e^{x^{2}/2}$ և $\int _{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz$ միջոցով։