Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Գամմա ֆունկցիայի մոդուլը՝ \Gamma(z): Ձախից (երբ Re z<0) ֆունկցիան ունի բևեռներ, որոնցում ձգտում է անվերջի: Սակայն աջից (երբ Re z>0) այն բևեռներ չունի՝ ֆունկցիան ամենուրեք վերջավոր է:

Որոշ սահմանումներ[խմբագրել]

 a\in A կետը կոչվում է  A բազմության մեկուսացված կետ, եթե գոյություն ունի այդ կետի այնպիսի շրջակայք, որի հատումը  A բազմության հետ բաղկացած է միայն  a կետից։

 z պարամետրը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխական, եթե այն ներկայացվում է  z=x+iy տեսքով, որտեղ  x= \Re z և  y= \Im z իրական թվեր են, իսկ  i -ն կեղծ միավորն է՝  i=\sqrt{-1} ։

Կոմպլեքս փոփոխականի f(z) ֆունկցիան կոչվում է հոլոմորֆ (երբեմն նաև ռեգուլյար), եթե այն որոշված է \mathbb C կոմպլեքս հարթության որևէ բաց բազմությունում և կոմպլեքս դիֆերենցելի է դրա յուրաքանչյուր կետում։

 c կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի f(z) ֆունկցիայի եզակի կետ, եթե այդ կետում խախտվում է f(z) ֆունկցիայի անալիտիկությունը։

 c կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի f(z) ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե գոյություն ունի այդ եզակի կետի այնպիսի շրջակայք, որում f(z) ֆունկցիան միարժեք է և անալիտիկ։

z_0 մեկուսացված եզակի կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի f(z) ֆունկցիայի բևեռ, որը հոլոմորֆ է այդ կետի որոշակի սնամեջ շրջակայքում, եթե գոյություն ունի այդ ֆունկցիայի սահմանն այդ կետում և  \lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty ։

Բևեռի հայտանիշները[խմբագրել]

  • z_{0} կետը բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ f(z) ֆունկցիայի՝ այդ z_0 կետի սնամեջ շրջակայքում Լորանի շարքի վերլուծության գլխավոր մասը պարունակում է զրոյից տարբեր միայն վերջավոր թվով անդամներ, այսինքն՝


f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}
, որտեղ P(z) —ը Լորանի շարքի գլխավոր մասն է։

Եթե f_{-n} \ne \ 0 , ապա z_0 կետը կոչվում է n-րդ կարգի (պատիկության)բևեռ։ Եթե n=1, ապա բևեռը կոչվում է պարզ (միապատիկ)։

  • z_{0} կետը k-րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty , իսկ  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty
  • z_{0} կետը k-րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն F(z)=\frac{1}{f(z)} ֆունկցիայի k-րդ կարգի զրոն է։


Գրականություն[խմբագրել]

  • Մուսոյան Վ. Կոմպլեքս անալիզ - Եր., ԵՊՀ, 1990։
  • Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ. В 3 т., Т. 1 — М., Наука, 1969.