Լոգարիթմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
\log_2 x-ի գրաֆիկը

Լոգարիթմ,(հունարեն՝ λόγος-«բառ»,«հարաբերություն» և ἀριθμός-«թիվ»)[1] b թվի լոգարիթմ a հիմքով, որտեղ a>0, a \neq 1, կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել a հիմքը b թիվը ստանալու համար:[2]

Այն նշանակում են \log_a b տեսքով և կարդում «լոգարիթմ a հիմքով b»:

Սահմանումից հետեվում է, որ x=\log_a b հավասարումը համարժեք է a^x=b հավասարմանը: Օրինակ \log_2 8=3, քանի որ 2^3=8: Լոգարիթմի հաշվումը հաճախ անվանում են լոգարիթմում:

a և b թվերը հաճախ իրական թվեր են, սակայն կան նաև կոմպլեքս լոգարիթմներ:

Իրական լոգարիթմներ[խմբագրել]

\log_a b արտահայտությունը որոշված է այն և միայն այն դեպքում, երբ b>0, a>0, a \neq 1:

Լայն կիրառություն ունեն հետևյալ տեսքի լոգարիթմները.

  • Բնական. հիմքը հանդիսանում է Էյլերի թիվը (e).
  • Տասնորդական.lg b, հիմքը հանդիսանում է 10-ը.
  • Երկուական.log_2 b, հիմքը հանդիսանում է 2-ը:

Սրանք լայն կիրառություն ունեն օրինակ ինֆորմատիկայում,շատ դիսկրետ մաթեմատիկական բաժանումներում և այլն:

Հատկություններ[խմբագրել]

Հիմնական լոգարիթմական նույնություններ[խմբագրել]

Լոգարիթմի սահմանումից հետևում է հիմնական լոգարիթմական նույնութըունը. a^{\log_a b} =b Ապացուցում: Եթե \log_a b=\log_a c, ապա a^{log_a b} = a^{log_a c} , որտեղից հետևում է, որ b=c:

Լոգարիթմի միավորը և թիվը

\log_a 1=0;\log_a a=1

Բանաձև Օրինակ
Արտադրյալ  \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \,  \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5 \,
Քանորդ \log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \,  \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3
Աստիճան \log_a(x^p) = p \log_a (x) \,  \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,
Արմատ \log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p \,  \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978