Դե Գուայի թեորեմ

Դե Գուայի թեորեմ, Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակ։

Թեորեմը պնդում է, որ եթե խորանարդը հատենք հարթությամբ այնպես, որ նրա գագաթներից մեկը կտրվի խորանարդից, ապա այդպիսի կտրված խորանարդի մակերեսների համար կգործի հետևյալ առնչությունը (նայեք աջի նկարը)՝

$S_{ABC}^{2}=S_{ABO}^{2}+S_{BOC}^{2}+S_{AOC}^{2}.\$

Ընդհանրացում

Պյութագորասի և դե Գուայի թեորեմները n-սիմպլեքսի մասին ընդհանուր թեորեմի մասնավոր դեպքեր են (n = 2, 3), երբ անկյունը ուղիղ է։ Սա էլ, իր հերթին, ավելի ընդհանուր թեորեմի մասնավոր դեպք է, որը կարող է ձևակերպվել այսպես՝

Դիցուք U-ն $\mathbb {R} ^{n}$-ի k-չափանի աֆինական ենթատարածության չափելի ենթաբազմություն է (այսպիսով $k\leq n$)։ Ճիշտ k տարր ունեցող կամայական $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ ենթաբազմության համար $U_{I}$-ով նշանակենք $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$-ի գծային թաղանթի վրա U-ի օրթոգոնալ պրոյեցիան, ընդ որում $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ և $e_{1},\ldots ,e_{n}$-ը $\mathbb {R} ^{n}$-ի ստանդարտ բազիս է։ Ապա

$$\operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),$$

որտեղ $\operatorname {vol} _{k}(U)$-ը U-ի k-չափանի ծավալն է, իսկ գումարը արված է ճիշտ k տարր ունեցող բոլոր $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ ենթաբազմությունների համար։

Պատմություն

Ժան Պաուլ դե Գուա դե Մալվեսը (1713–1785) հրատարակել է թեորեմը 1783 թվականին, սակայն նույն ժամանակ մի փոքր ավելի ընդհանրացված տարբերակ հրատարակվել է մեկ այլ ֆրանսիացի մաթեմատիկոս՝ Շարլ դե Տինսաու դ'Ամոնդանսը (1746–1818)։ Ամեն դեպքում թեորեմը Յոհան Ֆաուլհաբերին (1580–1635) և Ռենե Դեկարտին (1596–1650) հայտնի էր շատ ավելի վաղ։