Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Նկար 1 Երկրաչափության մեջ Բրետշնայդերի բանաձևը կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի,
α
{\displaystyle \alpha \,}
γ
{\displaystyle \gamma \,}
A
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
[
1
+
cos
(
α
+
γ
)
]
.
{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}
հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է,
α
{\displaystyle \alpha }
γ
{\displaystyle \gamma }
Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդը ։
△
D
A
B
{\displaystyle \triangle DAB}
△
B
C
D
{\displaystyle \triangle BCD}
A
1
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}
A
2
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}
A
1
=
a
b
sin
α
2
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}={\dfrac {ab\sin \alpha }{2}}}
A
2
=
c
d
sin
γ
2
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\dfrac {cd\sin \gamma }{2}}}
A
2
=
1
4
(
a
2
b
2
sin
2
α
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
+
c
2
d
2
sin
2
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\dfrac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma +c^{2}d^{2}\sin ^{2}\gamma \right)}
ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝
e
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
α
{\displaystyle e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }
e
2
=
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
γ
{\displaystyle e^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
այստեղից՝
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
α
=
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
γ
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
հավասարման երկու կողմերին գումարելով
2
a
b
cos
α
−
c
2
−
d
2
{\displaystyle 2ab\cos \alpha -c^{2}-d^{2}}
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
=
2
a
b
cos
α
−
2
c
d
cos
γ
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\cos \alpha -2cd\cos \gamma }
կամ՝
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
=
4
a
2
b
2
cos
2
α
−
8
a
b
c
d
⋅
cos
α
cos
γ
+
4
c
2
d
2
cos
2
γ
{\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -8abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +4c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma }
հավասարումը, որը համարժեք է
1
4
(
a
2
b
2
cos
2
α
−
2
a
b
c
d
⋅
cos
α
cos
γ
+
c
2
d
2
cos
2
γ
)
−
1
16
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma \right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=0}
արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos \left({x-y}\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
A
2
=
1
4
(
a
2
b
2
+
c
2
d
2
−
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
)
−
1
16
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}}
A
2
=
1
16
(
4
a
2
b
2
+
4
c
2
d
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
)
−
1
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
A
2
=
1
16
(
−
a
4
−
b
4
−
c
4
−
d
4
+
2
a
2
b
2
+
2
a
2
c
2
+
2
a
2
d
2
+
2
b
2
c
2
+
2
b
2
d
2
+
2
c
2
d
2
)
−
1
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
A
2
=
1
16
(
−
a
4
−
b
4
−
c
4
−
d
4
+
2
a
2
b
2
+
2
a
2
c
2
+
2
a
2
d
2
+
2
b
2
c
2
+
2
b
2
d
2
+
2
c
2
d
2
+
8
a
b
c
d
−
8
a
b
c
d
)
−
1
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd-8abcd\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
A
2
=
1
16
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
⋅
(
a
−
b
+
c
+
d
)
⋅
(
a
+
b
−
c
+
d
)
⋅
(
a
+
b
+
c
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
−
1
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}(-a+b+c+d)\cdot (a-b+c+d)\cdot (a+b-c+d)\cdot (a+b+c-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
A
2
=
(
s
−
a
)
⋅
(
s
−
b
)
⋅
(
s
−
c
)
⋅
(
s
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
−
1
2
a
b
c
d
⋅
cos
(
α
+
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
A
2
=
(
s
−
a
)
⋅
(
s
−
b
)
⋅
(
s
−
c
)
⋅
(
s
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
⋅
(
1
+
cos
(
α
+
γ
)
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \left(1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)}
A
2
=
(
s
−
a
)
⋅
(
s
−
b
)
⋅
(
s
−
c
)
⋅
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\dfrac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems . Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
E. W. Hobson : A Treatise on Plane Trigonometry . Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy )C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German )
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German ) 
![{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
