Ամբողջ թիվ

Ամբողջ թիվ, զրո (0), դրական բնական թիվ (1, 2, 3, և այլն) կամ բացասական ամբողջ թիվ (−1, −2, −3, և այլն)^[1]։ Բացասական թվերը համապատասխան դրական թվերի գումարային հակադարձերն են^[2]։ Բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը հաճախ նշանակվում է $Z$ -ով կամ $\mathbb {Z}$ -ով^[3]^[4]։

Բնական թվերի $\mathbb {N}$ բազմությունը $\mathbb {Z}$ -ի ենթաբազմություն է, որն իր հերթին բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության՝ $\mathbb {Q}$ -ի, ենթաբազմություն է, որը բոլոր իրական թվերի բազմության՝ $\mathbb {R}$ -ի, ենթաբազմություն է^{[Ն 1]}։ Ինչպես բնական թվերը, ամբողջ թվերի $\mathbb {Z}$ բազմությունը նույնպես հաշվելի անվերջ է։ Ամբողջ թվերն այն իրական թվերն են, որոնք կարելի է գրել առանց կոտորակային բաղադրիչի։ Օրինակ՝ 21, 4, 0 և −2048 թվերը ամբողջ թվեր են, մինչդեռ 9.75, $5{\frac {1}{2}}$ և ${\sqrt {2}}$ թվերը ամբողջ չեն^[8]։

Ամբողջ թվերը կազմում են բնական թվեր պարունակող ամենափոքր խումբն ու ամենափոքր օղակը։ Աբստրակտ թվերի տեսությունում ամբողջ թվերը երբեմն կոչվում են ռացիոնալ ամբող թվերը՝ ավելի ընդհանուր հանրահաշվական ամբողջ թվերից տարբերելու համար։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատմականորեն եզրը կիրառվել է 1-ի բազմապատիկ թվերը^[9]^[10] կամ կոտորակի ամբողջ մասը նշելու համար^[11]^[12]։ Սկզբնապես դիտարկվում էին միայն դրական ամբողջ թվերը, ինչի հետևանքով ամբողջ թիվ և բնական թիվ եզրերը հոմանիշներն էին։ Ամբողջ թվի սահմանումը ընդլայնվել է բացասական թվերի կարևորությունը գիտակցելուց հետո^[13]։ Օրինակ՝ Լեոնարդ Էյլերը իր 1765 թվականի «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում ամբողջ թվերը սահմանել է այնպես, որ դրանք ներառեն և՛ դրական, և՛ բացասական թվերը^[14]։ Սակայն, եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում չեն ընդունել բացասական թվերի հասկացությունը մինչև 19-րդ դարի կեսեր^[13]։

Ամբողջ թվերի բազմությունը Z տառով նշանակման ավանդույթը կապված է գերմաներեն Zahlen (թիվ) բառի հետ^[3]^[4] և վերագրվել է Դավիթ Հիլբերտին^[15]։ Այս նշանակման հայտնի ամենավաղ օրինակ կա Նիկոլա Բուրբակի խմբի Մաթեմատիկայի տարրեր (Éléments de mathématique) դասագրքում (1947 թվական)^[3]^[16]։ Սակայն նշանակումը անմիջապես չի ընդունվել, օրինակ մեկ այլ դասագրքում կիրառվել է J տառը^[17], իսկ 1960 թվականին տպարված հոդվածներից մեկում Z-ը օգտագործվել է ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար^[18]։ Սակայն, 1967 թվականից Z-ը լայնորեն կիրառվում էր դրական և բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար^[19]։

Հաճախ $\mathbb {Z}$ սիմվոլի վերտողում կամ ենթատողում ավելացնում են տարբեր նշաններ այլ բազմություններ նշելու համար։ Օրինակ՝ $\mathbb {Z} ^{+}$ , $\mathbb {Z} _{+}$ կամ $\mathbb {Z} ^{>}$ սիմվոլները կիրառվում են դրական ամբողջ թվերը նշելու համար, $\mathbb {Z} ^{0+}$ կամ $\mathbb {Z} ^{\geq }$ սինվոլները կիրառվում են ոչ բացասական ամբողջ թվերը նշելու համար, իսկ $\mathbb {Z} ^{\neq }$ -ով նշանակում են զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը։ Որոշ հեղինակները կիարռում են $\mathbb {Z} ^{*}$ -ը զրոյից տարբեր ամբողջ թվերը նշանակելու համար, մինչդեռ այլ հեղինակներ օգտագործում են այն ոչ բացասական ամբողջ թվերի կամ ${-1, 1}$ բազմության համար։ Բացի դա, $\mathbb {Z} _{p}$ -ով հաճախ նշանակվում է մոդուլ $p$ ամբողջ թվերի, կամ $p$ -ադիկ ամբողջ թվերի նշանակման համար^[20]^[21]։

Հանրահաշվական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամբողջ թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկարություն ունեցող թվային առանցքի վրա դիսկրետ, իրարից հավասարահեռ կետեր։ Վերևի օրինակում ոչ բացասական թվերը կապույտ են, դրականները՝ կարմիր։

Բնական թվերի նման $\mathbb {Z}$ -ը նույնպես փակ է ըստ գումարման և բազմապատկման գործողությունների, այսինքն՝ կամայական երկու ամբողջ թվի գումարը կամ արտադրյալը ամբողջ թիվ է։ Սակայն, զրոյի և բացասական թվերի ներմուծման շնորհիվ $\mathbb {Z}$ ամբողջ թվերը փակ են նաև ըստ հանման^[22]։

Ամբողջ թվերը կազմում են միավորով օղակ, որն ամենապարզն է հետևյալ իմաստով․ կամայական միավորով օղակի համար գոյություն ունի եզակի օղակային հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերից դեպի այդ օղակ։ Այս ընդհանրացված հատկությունը, մասնավորապես օղակների կատեգորիայում նախնական օբյեկտ լինելը, բնութագրում է $\mathbb {Z}$ խումբը։

$\mathbb {Z}$ -ը փակ չէ ըստ բաժանման, քանի որ երկու ամբողջ թվերի քանորդը կարող է ամբողջ թիվ չլինել (օրինակ 1-ը բաժանած 2-ի)։ Ի տարբերություն բնական թվերի, ամբողջ թվերը փակ չեն ըստ աստիճանի բարձրացման, քանի որ արդյունքը կարող է լինել կոտորակ, երբ ցուցիչը բացասական է։

Հետևյալ աղյուսկում կան կամայական $a$ , $b$ և $c$ ամբողջ թվերի բազմապատկման և գումարման որոշ հատկություններ․

Ամբողջ թվերի գումարման և բազմապատկման հատկություններ
	Գումարում	Բազմապատկում
Փակույթ	$a + b$ -ը ամբողջ թիվ է	$a \times b$ -ը ամբողջ թիվ է
Զուգորդականություն	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
Տեղափոխականություն։	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Չեզոք տարրի գոյություն	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
Հակադիր տարրի գոյություն	$a + (- a) = 0$	Միայն միավոր տարրերը ունեն հակադիր ( $-1$ և $1$ ):
Բաշխականություն։	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ and $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
Զրոյի բաժանարարներ		Եթե $a \times b = 0$ , ապա $a = 0$ կամ $b = 0$ (կամ երկուսն էլ)

Գումարման համար նշված առաջին հինգ հատկությունից հետևում է, որ $\mathbb {Z}$ -ը ըստ գումարման աբելյան խումբ է։ Այն նաև ցիկլային խումբ է, քանի որ զրոյից տարբեր զուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել 1 + 1 + ... + 1 կամ (−1) + (−1) + ... + (−1) վերջավոր գումարի տեսքով։ Ընդ որում, ըստ գումարման $\mathbb {Z}$ -ը միակ անսահման ցիկլային խումբն է, քանի որ յուրաքանչյուր այլ անսահման ցուկլային խումբ իզոմորֆ է $\mathbb {Z}$ -ին։

Բազմապատկման համար նշված առաջին չորս հատկություններից հետևում է, որ $\mathbb {Z}$ ըստ բազմապատկման կոմուտատիվ մոնոիդ է։ Սակայն, ոչ բոլոր ամբողջ թվերը ունեն բազմապատկային հակադիր (օրինակ՝ 2-ը), որից հետևում է, որ $\mathbb {Z}$ -ը ըստ բազմապատկման խումբ չէ։

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ More precisely, each system is embedded in the next, isomorphically mapped to a subset.^[5] The commonly-assumed set-theoretic containment may be obtained by constructing the reals, discarding any earlier constructions, and defining the other sets as subsets of the reals.^[6] Such a convention is "a matter of choice", yet not.^[7]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Science and Technology Encyclopedia (անգլերեն). University of Chicago Press. September 2000. էջ 280. ISBN 978-0-226-74267-0.
↑ «Integers: Introduction to the concept, with activities comparing temperatures and money. | Unit 1». OER Commons (անգլերեն).
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Miller, Jeff (2010 թ․ օգոստոսի 29). «Earliest Uses of Symbols of Number Theory». Արխիվացված է օրիգինալից 2010 թ․ հունվարի 31-ին. Վերցված է 2010 թ․ սեպտեմբերի 20-ին.
↑ ^4,0 ^4,1 Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. էջ 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Արխիվացված օրիգինալից 2016 թ․ դեկտեմբերի 8-ին. Վերցված է 2016 թ․ փետրվարի 15-ին.
↑ Partee, Barbara H.; Meulen, Alice ter; Wall, Robert E. (1990 թ․ ապրիլի 30). Mathematical Methods in Linguistics (անգլերեն). Springer Science & Business Media. էջեր 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4. «The natural numbers are not themselves a subset of this set-theoretic representation of the integers. Rather, the set of all integers contains a subset consisting of the positive integers and zero which is isomorphic to the set of natural numbers.»
↑ Wohlgemuth, Andrew (2014 թ․ հունիսի 10). Introduction to Proof in Abstract Mathematics (անգլերեն). Courier Corporation. էջ 237. ISBN 978-0-486-14168-8.
↑ Polkinghorne, John (2011 թ․ մայիսի 19). Meaning in Mathematics (անգլերեն). OUP Oxford. էջ 68. ISBN 978-0-19-162189-5.
↑ Prep, Kaplan Test (2019 թ․ հունիսի 4). GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT (անգլերեն). Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.
↑ Smedley, Edward; Rose, Hugh James; Rose, Henry John (1845). Encyclopædia Metropolitana (անգլերեն). B. Fellowes. էջ 537. «An integer is a multiple of unity»
↑ Encyclopaedia Britannica 1771, էջ. 367
↑ Pisano, Leonardo; Boncompagni, Baldassarre (transliteration) (1202). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [The Book of Calculation] (Manuscript) (լատիներեն). Translated by Sigler, Laurence E. Museo Galileo. էջ 30. «Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.» [And the fractions are always put after the whole, thus first the integer is written, and then the fraction]
↑ Encyclopaedia Britannica 1771, էջ. 83
↑ ^13,0 ^13,1 Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. էջեր 80–109.
↑ Euler, Leonhard (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [Complete Introduction to Algebra] (գերմաներեն). Vol. 1. էջ 10. «Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.» [All these numbers, both positive and negative, are called whole numbers, which are either greater or lesser than nothing. We call them whole numbers, to distinguish them from fractions, and from several other kinds of numbers of which we shall hereafter speak.]
↑ The University of Leeds Review (անգլերեն). Vol. 31–32. University of Leeds. 1989. էջ 46. «Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert.»
↑ Bourbaki, Nicolas (1951). Algèbre, Chapter 1 (ֆրանսերեն) (2nd ed.). Paris: Hermann. էջ 27. «Le symétrisé de N se note Z; ses éléments sont appelés entiers rationnels.» [The group of differences of N is denoted by Z; its elements are called the rational integers.]
↑ Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (Revised ed.). American Mathematical Society. էջ 63. «the set J of all integers»
↑ Society, Canadian Mathematical (1960). Canadian Journal of Mathematics (անգլերեն). Canadian Mathematical Society. էջ 374. «Consider the set Z of non-negative integers»
↑ Bezuszka, Stanley (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 (անգլերեն). Boston College. էջ 69. «Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z.»
↑ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
↑ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
↑ «Integer | mathematics». Encyclopedia Britannica (անգլերեն). Վերցված է 2020 թ․ օգոստոսի 11-ին.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ամբողջ թիվ» հոդվածին։

[8] More precisely, each system is embedded in the next, isomorphically mapped to a subset.^[5] The commonly-assumed set-theoretic containment may be obtained by constructing the reals, discarding any earlier constructions, and defining the other sets as subsets of the reals.^[6] Such a convention is "a matter of choice", yet not.^[7]

[1] Science and Technology Encyclopedia (անգլերեն). University of Chicago Press. September 2000. էջ 280. ISBN 978-0-226-74267-0.

[2] «Integers: Introduction to the concept, with activities comparing temperatures and money. | Unit 1». OER Commons (անգլերեն).

[earliest-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Miller, Jeff (2010 թ․ օգոստոսի 29). «Earliest Uses of Symbols of Number Theory». Արխիվացված է օրիգինալից 2010 թ․ հունվարի 31-ին. Վերցված է 2010 թ․ սեպտեմբերի 20-ին.

[Cameron1998-4] 4,0 ^4,1 Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. էջ 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Արխիվացված օրիգինալից 2016 թ․ դեկտեմբերի 8-ին. Վերցված է 2016 թ․ փետրվարի 15-ին.

[5] Partee, Barbara H.; Meulen, Alice ter; Wall, Robert E. (1990 թ․ ապրիլի 30). Mathematical Methods in Linguistics (անգլերեն). Springer Science & Business Media. էջեր 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4. «The natural numbers are not themselves a subset of this set-theoretic representation of the integers. Rather, the set of all integers contains a subset consisting of the positive integers and zero which is isomorphic to the set of natural numbers.»

[6] Wohlgemuth, Andrew (2014 թ․ հունիսի 10). Introduction to Proof in Abstract Mathematics (անգլերեն). Courier Corporation. էջ 237. ISBN 978-0-486-14168-8.

[7] Polkinghorne, John (2011 թ․ մայիսի 19). Meaning in Mathematics (անգլերեն). OUP Oxford. էջ 68. ISBN 978-0-19-162189-5.

[9] Prep, Kaplan Test (2019 թ․ հունիսի 4). GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT (անգլերեն). Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.

[10] Smedley, Edward; Rose, Hugh James; Rose, Henry John (1845). Encyclopædia Metropolitana (անգլերեն). B. Fellowes. էջ 537. «An integer is a multiple of unity»

[11] Encyclopaedia Britannica 1771, էջ. 367

[12] Pisano, Leonardo; Boncompagni, Baldassarre (transliteration) (1202). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [The Book of Calculation] (Manuscript) (լատիներեն). Translated by Sigler, Laurence E. Museo Galileo. էջ 30. «Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.» [And the fractions are always put after the whole, thus first the integer is written, and then the fraction]

[13] Encyclopaedia Britannica 1771, էջ. 83

[negmath-14] 13,0 ^13,1 Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. էջեր 80–109.

[15] Euler, Leonhard (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [Complete Introduction to Algebra] (գերմաներեն). Vol. 1. էջ 10. «Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.» [All these numbers, both positive and negative, are called whole numbers, which are either greater or lesser than nothing. We call them whole numbers, to distinguish them from fractions, and from several other kinds of numbers of which we shall hereafter speak.]

[16] The University of Leeds Review (անգլերեն). Vol. 31–32. University of Leeds. 1989. էջ 46. «Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert.»

[17] Bourbaki, Nicolas (1951). Algèbre, Chapter 1 (ֆրանսերեն) (2nd ed.). Paris: Hermann. էջ 27. «Le symétrisé de N se note Z; ses éléments sont appelés entiers rationnels.» [The group of differences of N is denoted by Z; its elements are called the rational integers.]

[18] Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (Revised ed.). American Mathematical Society. էջ 63. «the set J of all integers»

[19] Society, Canadian Mathematical (1960). Canadian Journal of Mathematics (անգլերեն). Canadian Mathematical Society. էջ 374. «Consider the set Z of non-negative integers»

[20] Bezuszka, Stanley (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 (անգլերեն). Boston College. էջ 69. «Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z.»

[edexcelc1-21] Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008

[22] LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.

[23] «Integer | mathematics». Encyclopedia Britannica (անգլերեն). Վերցված է 2020 թ․ օգոստոսի 11-ին.

[1]

[2]

[3]

[4]

[Ն 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[5]

[6]

[7]